INTUITION BEHIND THE OPTIMAL STRUCT

INTUITION BEHIND THE OPTIMAL STRUCTURE
The optimal beamforming direction in (10) consists of two main parts: 1) the channel vector hk between the BS and the intended user k; and 2) the matrix (IN + ∑_(i=1)^K▒〖 λ_i/σ^2 〗 h_i h_i^H)-1 . Beamforming in the same direction as the channel (i.e.,W ̃_k^((MRT))=h_k/‖h_k ‖ ) is known as maximum ratio transmission (MRT) or matched filtering [8]. This selection maximizes the received signal power p_k |h_k^H w ̃_k |^2 at the intended user, because ( công thức (CT) 12) .due to the Cauchy-Schwarz inequality. This is the optimal beamforming direction for K = 1, but not when there are multiple users because the inter-user interference is unaccounted for in MRT. This is basically what the multiplication of hk with (IN + ∑_(i=1)^K▒〖 λ_i/σ^2 〗 h_i h_i^H)-1 (before normalization) takes care of; it rotates

MRT to reduce the interference that is caused in the co-user directions h_1, . . . , h_(k-1), h_(k+1), . . . , h_k. This interpretation is illustrated in Figure 2, where the optimal beamforming lies somewhere in between MRT and the vector that is orthogonal to all co-user channels. The optimal beamforming direction depends ultimately on the utility function f(.. ). However, the parameter λi ≥ 0 can be seen as the priority of user i, where a larger value means that other users’ beamforming vectors will be more orthogonal to h_i . b
Asymptotic Properties
Next, we study the asymptotic beamforming properties. In the low signal-to-noise ratio (SNR) case,
represented by σ^2 → ∞, the system is noise-limited and the beamforming matrix in (11) converges to (CT13) where the matrix inverse vanishes and P_(σ^2 → ∞) denotes the asymptotic power allocation. This implies that 〖w 〗_K^* is a scaled version of the channel vector h_k, which is equivalent to MRT.
At high SNRs, given by σ^2 → 0, the system is interference-limited. We focus on the case N ≥K with at least one spatial degree-of-freedom per user—this is the meaningful operating regime for SDMA. To avoid singularity in the inverse when σ2 is small, we use the identity 〖(I + AB) 〗^(-1)A =A 〖(I + BA) 〗^(-1) and rewrite (11) as W^*=〖H(σ^2 I_K+ ΛH^H H)〗^(-1) P ̃^□(1/2) where P ̃ =diag(p_1 〖/‖(σ^2 I_K+ ΛH^H H )^(-1) h_1 ‖〗^2,…,p_k/‖(σ^2 I_K+ ΛH^H H )^(-1) h_K ‖^2 ) denotes the corresponding rewritten power allocation matrix. It now follows that (CT14) where the term σ^2 I_K vanishes when σ^2 → 0 and P ̃_(σ^2→0) denotes the asymptotic power allocation. This solution is known as channel inversion or zero-forcing beamforming (ZFBF) [9], because it contains the pseudo-inverse H(H^H H )^(-1) of the channel matrix H^H. Hence, H^H W_(σ^2→0)^*=Λ^(-1) P ̃_(σ^2→0) is a diagonal matrix. Since the off-diagonal elements are of the form h_i^H w_k^* = 0 for i # k, this beamforming causes zero inter-user interference by projecting hk onto the subspace that is orthogonal to the co-user channels.
The asymptotic properties are intuitive if we look at the SINR in (2). The noise dominates over the interference at low SNRs, thus we should use MRT to maximize the signal power without caring about interference. On the contrary, the interference dominates over the noise at high SNRs, thus we should
use ZFBF to remove it. We recall from Figure 2 that MRT and ZFBF are also the two extremes from a
geometric perspective and the optimal beamforming at arbitrary SNR balance between these extremes.
Another asymptotic regime has received much attention: the use of very large arrays where the number
of antennas, N, goes to infinity in the performance analysis [3]. A key motivation is that the squared
channel norms (‖h_k ‖^2) are proportional to N, while the cross-products (|h_i^H h_k | for i # k) increase more
slowly with N (the exact scaling depends on the channel models). Hence, the user channels become
orthogonal as N → ∞, which reduces interference and allows for less transmit power. Observe that σ^2 I_K+ ΛH^H H≈ΛH^H H for large N, since only the elements of H^H H grow with N. Similar to (14),
one can then prove that ZFBF is asymptotically optimal. MRT performs relatively well in this regime due
to the asymptotic channel orthogonality, but will not reach the same performance as ZFBF [3, Table 1].
Relationship to Receive Beamforming
There are striking similarities between transmit beamforming in the downlink and receive beamforming in the uplink, but also fundamental differences. To describe these, we consider the uplink scenario where the same K users are transmitting to the same BS. The received signal r ∈ C^Nx1at the BS is
r=∑_(i=1)^K▒〖h_i s_i+ n〗, where user k transmits the data signal sk using the uplink transmit power qk. The receiver noise n has zero mean and the covariance matrix σ^2 I_N . The uplink SINR for the signal from user k is (CT15)
Where V_k∈C^Nx1 is the unit-norm receive beamforming vector used by the BS to spatially discriminate the signal sent by user k from the interfering signals. The uplink SINR in (15) is similar to the downlink SINR in (2), but the noise term is scaled by ‖v‖^2 and the indices are swapped in the interference term: ‖h_k^H w_i ‖^2 in the downlink is replaced by q_i ‖h_k^H v_k ‖^2 in the uplink. The latter is because downlink interference originates from the beamforming vectors of other users, while uplink interference arrives through the channels from other users. This tiny difference has a fundamental impact on the optimization, because the uplink SINR of user k only contains its own receive beamforming vector v_k. We can therefore optimize the beamforming separately for each k ( CT16).
The solution follows since this is the maximization of a generalized Rayleigh quotient [7]. Note that the same receive beamforming is optimal irrespective of which function of the uplink SINRs we want to optimize. In fact, (16) also minimizes the mean squared error (MSE) between the transmitted signal and the processed received signal, thus it is known as the Wiener filter and minimum MSE (MMSE) filter [9]. The optimal transmit and receive beamforming have the same structure; the Wiener filter in (16) is obtained from (10) by setting λk equal to the uplink transmit power qk. This parameter choice is only optimal for the downlink in symmetric scenarios, as discussed later. In general, the parameters are different because the uplink signals pass through different channels (thus, the uplink is affected by variations in the channel norms), while everything that reaches a user in the downlink has passed through a single channel [4].
Heuristic Transmit Beamforming
It is generally hard to find the optimal λ-parameters, but the beamforming structure in (10) and (11)
serves as a foundation for heuristic beamforming; that is, we can select the parameters judiciously and
hope for close-to-optimal beamforming. If we make all the parameters equal, λk = λ for all k, we obtain (CT17)
The heuristic beamforming in (17) is known as regularized zero-forcing beamforming [10] since the
identity matrix acts as a regularization of the ZFBF in (14). Regularization is a common way to achieve
numerical stability and robustness to channel uncertainty. Since there is only a single parameter λ in
regularized ZFBF, it can be optimized for a certain transmission scenario by conventional line search.
The sum property ∑_(i=1)^K▒〖λ_i=P〗suggests that we set the parameter in regularized ZFBF equal to
the average transmit power: λ = P/K . This parameter choice has a simple interpretation, because the
corresponding beamforming directions (IN + ∑_(i=1)^K▒〖 P/(σ^2 K)〗 h_i h_i^H)-1hk are the ones that maximize the ratio
of the desired signal power to the noise power plus the interference power caused to other users; in other
words, (CT18)
This heuristic performance metric is identical to maximization of the uplink SINR in (15) for equal uplink powers qi = P/K. Hence, (18) is solved, similar to (16), as a generalized Rayleigh quotient. The idea of maximizing the metric in (18) has been proposed independently by many authors and the resulting beamforming has received many different names. The earliest work might be [11] from 1995, where the authors suggested beamforming “such that the quotient of the mean power of the desired contribution to the undesired contributions is maximized”. Due to the relationship to receive beamforming, this scheme is also known as transmit Wiener filter [9], signal-to-leakage-and-noise ratio beamforming [12], transmit MMSE beamforming, and virtual SINR beamforming; see Remark 3.2 in [7] for a further historical background.
The heuristic beamforming direction in (18) is truly optimal only in special cases. For example, consider
a symmetric scenario where the channels are equally strong and have well separated directivity, while the
utility function in (P2) is symmetric with respect to SINR_1, . . . , SINR_k. It then makes sense to let the
λ-parameters be symmetric as well, which implies λ_k=P/K for all k since ∑_(i=1)^K▒〖λ_i=P〗. In other words,
the reason that the transmit MMSE beamforming performs well is that it satisfies the optimal beamforming structure—at least in symmetric scenarios. In general, we need all the K degrees of freedom provided by λ_1,. . . , λ_K to find the optimal beamforming, because the single parameter in regularized ZFBF does not provide enough degrees of freedom to manage asymmetric user channel conditions and utility functions.
The properties of MRT, ZFBF, and transmit MMSE beamforming are illustrated by simulation in Figure3. We consider K = 4 users and (P2) with the sum rate as utility function: f(SINR_1, . . . , SINR_4) = ∑_(k=1)^4▒log_2⁡(1+ SINR_k ) . The simulation results are averaged over random circularly symmetric complex

Gaussian channel realizations, hk ∼ CN(0, IN), and the SNR is measured as P/σ^2 . The optimal beamforming is computed by the branch-reduce-and-bound algorithm in [7]

Kết quả (Việt) 1:

TRỰC GIÁC ĐẰNG SAU CẤU TRÚC TỐI ƯUHướng beamforming tối ưu (10) bao gồm hai phần chính: 1) Kênh vector hk giữa các BS và dự định sử dụng k; và 2) ma trận (IN + ∑_(i=1) ^ K▒〖 λ_i/σ ^ 2 〗 h_i h_i ^ H) -1. Beamforming trong cùng một hướng như kênh (i.e.,W ̃_k^((MRT)) = h_k/‖h_k ‖) được biết đến như truyền tải tối đa tỷ lệ (MRT) hoặc kết hợp lọc [8]. Lựa chọn này tối đa hóa nhận được tín hiệu điện p_k |h_k ^ H w ̃_k | ^ 2 tại người sử dụng dự định, vì (công ngữ (CT) 12) .due để bất đẳng thức Cauchy-Schwarz. Đây là hướng beamforming tối ưu cho K = 1, nhưng không phải khi có rất nhiều người dùng vì sự can thiệp liên người dùng là unaccounted cho trong tàu điện ngầm. Điều này về cơ bản là những gì các phép nhân của hk với (IN + ∑_(i=1) ^ K▒〖 λ_i/σ ^ 2 〗 h_i h_i ^ H) -1 (trước khi bình thường hóa) sẽ chăm sóc của; nó quay Tàu điện ngầm để giảm sự can thiệp gây ra trong h_1 đồng người dùng hướng,..., h_(k-1), h_(k+1),..., h_k. Điều này giải thích được minh họa trong hình 2, nơi mà beamforming tối ưu nằm một nơi nào đó ở giữa tàu điện ngầm và vector được trực giao cho tất cả người dùng đồng kênh. Hướng tối ưu beamforming cuối cùng phụ thuộc vào tiện ích hàm f (.). Tuy nhiên, tham số λi ≥ 0 có thể được coi là ưu tiên của người sử dụng tôi, nơi một giá trị lớn hơn có nghĩa là rằng những người dùng khác beamforming vector sẽ trực giao cho h_i. bTiệm cận tài sảnTiếp theo, chúng tôi nghiên cứu các tính chất tiệm cận beamforming. Trong trường hợp tỷ lệ tín hiệu đến tiếng ồn thấp (SNR),đại diện bởi σ ^ 2 → ∞, Hệ thống là giới hạn tiếng ồn và ma trận beamforming trong (11) hội tụ để (CT13) nơi nghịch đảo ma trận biến mất và P_ (σ ^ 2 → ∞) biểu thị phân bổ quyền lực tiệm cận. Điều này ngụ ý rằng 〗_K 〖w ^ * là một phiên bản thu nhỏ của kênh véc tơ h_k, mà là tương đương với tàu điện ngầm.Lúc cao SNRs, được đưa ra bởi σ ^ 2 → 0, các hệ thống này là sự can thiệp giới hạn. Chúng tôi tập trung vào trường hợp N ≥K với ít nhất một không gian mức độ-của-tự do cho mỗi người dùng-đây là chế độ hoạt động có ý nghĩa cho SDMA. Để tránh điểm kỳ dị trong nghịch đảo khi σ2 là nhỏ, chúng tôi sử dụng nhận dạng 〖 (I + AB) 〗 ^(-1) A = 〖 (I + BA) 〗^(-1) và viết lại (11) như W ^ * = 〖H (σ ^ 2 I_K + ΛH ^ H H)〗^(-1) P ̃^□(1/2) nơi P ̃ = c (p_1 〖/‖(σ^2 I_K+ ΛH^H H) ^(-1) h_1 ‖〗 ^ 2 ...,p_k/‖(σ^2 I_K + ΛH ^ H H) ^(-1) h_K ‖ ^ 2) là bắt ma trận tương ứng phân bổ viết lại quyền lực. Nó bây giờ sau đó (CT14) nơi σ hạn ^ 2 I_K biến mất khi σ ^ 2 → 0 và P ̃_(σ^2→0) biểu thị phân bổ quyền lực tiệm cận. Giải pháp này được gọi là kênh đảo ngược hay zero-buộc beamforming (ZFBF) [9], bởi vì nó có chứa H giả nghịch đảo (H ^ H H) ^(-1) của ma trận kênh H ^ H. Hence, H ^ H W_(σ^2→0)^*=Λ^(-1) P ̃_(σ^2→0) là một ma trận đường chéo. Kể từ khi các yếu tố ra đường chéo của hình thức h_i ^ H w_k ^ * = 0 cho tôi # k, beamforming này gây ra không can thiệp liên người dùng bởi hk chiếu lên con là trực giao đồng người dùng kênh. Các thuộc tính tiệm cận là trực quan, nếu chúng ta nhìn vào SINR trong (2). Tiếng ồn chiếm ưu thế trong sự can thiệp tại thấp SNRs, do đó chúng tôi nên sử dụng tàu điện ngầm để tối đa hóa sức mạnh tín hiệu mà không cần chăm sóc về sự can thiệp. Ngược lại, sự can thiệp chiếm ưu thế hơn tiếng ồn lúc cao SNRs, do đó chúng tôi nênsử dụng ZFBF để loại bỏ nó. Chúng tôi nhớ lại từ hình 2 tàu điện ngầm và ZFBF cũng có hai thái cực từ mộthình học quan điểm và beamforming tối ưu tại tùy ý SNR cân bằng giữa những thái cực.Một chế độ tiệm cận đã nhận được nhiều sự chú ý: việc sử dụng các mảng rất lớn trong trường hợp sốcủa ăng-ten, N, đi đến vô cùng trong phân tích hiệu suất [3]. Một động lực quan trọng là các bình phươngKênh chỉ tiêu (‖h_k ‖ ^ 2) là tỷ lệ thuận với N, trong khi các sản phẩm đường (|h_i ^ H h_k | cho tôi # k) tăng thêmchậm với N (mở rộng quy mô chính xác phụ thuộc vào mô hình kênh). Do đó, người dùng kênh trở thànhtrực giao như N → ∞, làm giảm sự can thiệp và cho phép ít truyền tải điện. Quan sát rằng σ ^ 2 I_K + ΛH ^ H H≈ΛH ^ H H với N lớn, kể từ khi chỉ là các yếu tố của H ^ H H phát triển với tương tự như N. (14),một trong những sau đó có thể chứng minh rằng ZFBF là tiệm cận tối ưu. Tàu điện ngầm thực hiện tương đối tốt trong chế độ này dođể các tiệm cận kênh orthogonality, nhưng sẽ không đạt được hiệu suất tương tự như ZFBF [3, bảng 1]. Mối quan hệ để nhận được BeamformingCó nổi bật điểm tương đồng giữa truyền beamforming trong tải và nhận được beamforming trong tải lên, nhưng khác biệt cũng cơ bản. Để mô tả này, chúng tôi xem xét các kịch bản tải lên nơi cùng K người dùng chuyển đến cùng một BS. Đã nhận tín hiệu r ∈ C ^ Nx1at các BS là r = ∑_(i=1) ^ K▒〖h_i s_i + n〗, nơi người sử dụng k truyền tín hiệu dữ liệu sk sử dụng tải lên truyền tải điện qk. Nhận tiếng ồn n có không có nghĩa là và ma trận hiệp phương sai σ ^ 2 I_N. Tải lên SINR cho các tín hiệu từ người sử dụng k là (CT15) Nơi V_k∈C ^ Nx1 là đơn vị-chuẩn nhận được beamforming vector được sử dụng bởi các BS để phân biệt đối xử trong không gian, tín hiệu được gửi bởi người sử dụng k từ các tín hiệu interfering. Tải lên SINR trong (15) là tương tự như tải SINR trong (2), nhưng thuật ngữ tiếng ồn được chia tỷ lệ bởi ‖v‖ ^ 2 và các chỉ số được đổi chỗ trong thuật ngữ nhiễu: ‖h_k ^ H w_i ‖ ^ 2 trong tải được thay thế bởi q_i ‖h_k ^ H v_k ‖ ^ 2 trong tải lên. Sau đó là bởi vì sự can thiệp tải có nguồn gốc từ các vectơ beamforming của người dùng khác, trong khi sự can thiệp của tải lên đến thông qua các kênh từ những người dùng khác. Sự khác biệt nhỏ này có một tác động đến cơ bản tối ưu hóa, do tải lên SINR của người sử dụng k chỉ chứa riêng của mình nhận được beamforming vector v_k. Do đó chúng tôi có thể tối ưu hóa beamforming một cách riêng biệt cho mỗi k (CT16).Các giải pháp sau kể từ khi điều này là tối đa hóa của một tổng quát Rayleigh thương [7]. Lưu ý rằng như vậy nhận beamforming là tối ưu không phân biệt có chức năng tải lên SINRs mà chúng tôi muốn tối ưu hóa. Tại thực tế, (16) cũng giảm thiểu lỗi bình phương có nghĩa là (MSE) giữa tín hiệu truyền và xử lý tín hiệu nhận được, do đó nó được gọi là các bộ lọc Wiener và tối thiểu bộ lọc MSE (MMSE) [9]. Các tối ưu truyền tải và nhận được beamforming có cùng cấu trúc; lọc Wiener (16) được lấy từ (10) bằng cách đặt λk bằng tải lên truyền tải điện qk. Sự lựa chọn tham số này chỉ là tối ưu cho tải trong tình huống đối xứng, như được thảo luận sau này. Nói chung, các thông số là khác nhau bởi vì các tín hiệu uplink đi qua kênh khác nhau (vì vậy, tải lên bị ảnh hưởng bởi các biến thể trong các chỉ tiêu kênh), trong khi tất cả mọi thứ mà đạt đến một người dùng trong tải đã thông qua thông qua một kênh duy nhất [4]. Heuristic truyền BeamformingNó là thường khó có thể tìm thấy các λ tối ưu-tham số, nhưng cấu trúc beamforming trong (10) và (11)phục vụ như một nền tảng cho heuristic beamforming; có nghĩa là, chúng tôi có thể chọn các tham số khôn ngoan vàHy vọng cho beamforming đóng để, tối ưu. Nếu chúng tôi làm cho tất cả tham số tương đương, λk = λ cho tất cả k, chúng tôi có được (CT17)Beamforming heuristic trong (17) được gọi là regularized zero-buộc beamforming [10] từ cácnhận dạng ma trận hoạt động như một regularization ZFBF tại (14). Regularization là một cách phổ biến để đạt đượcsố ổn định và mạnh mẽ để kênh không chắc chắn. Kể từ khi có chỉ một λ tham số duy nhất trongregularized ZFBF, nó có thể được tối ưu hóa cho một kịch bản truyền nhất định bằng cách tìm kiếm thông thường dòng.Bất động sản tổng ∑_(i=1) ^ K▒〖λ_i = P〗suggests mà chúng tôi đặt các tham số trong regularized ZFBF bằngTrung bình truyền tải điện: λ = P/K. Sự lựa chọn tham số này có một giải thích đơn giản, bởi vì cáctương ứng beamforming hướng dẫn (IN + ∑_(i=1) ^ K▒〖 P / (σ ^ 2 K) 〗 h_i h_i ^ H)-1hk là những cái mà tối đa hoá tỷ lệlượng mong muốn tín hiệu đến tiếng ồn sức mạnh cộng với lực đẩy can thiệp gây ra cho người dùng khác; kháctừ, (CT18)Số liệu hiệu suất heuristic này là giống hệt nhau để tối đa hóa tải lên SINR trong (15) cho tải lên bằng quyền hạn qi = P/K. do đó, (18) là giải quyết, tương tự như (16), như là một thương Rayleigh tổng quát. Ý tưởng của tối đa hóa số liệu trong (18) đã được đề xuất một cách độc lập bởi nhiều tác giả và kết quả beamforming đã nhận được nhiều tên gọi khác nhau. Các công việc sớm nhất có thể là [11] từ năm 1995, nơi mà các tác giả đề nghị beamforming "như vậy mà thương lượng có nghĩa là sự đóng góp mong muốn với những đóng góp không mong muốn tối đa". Do mối quan hệ để nhận được beamforming, chương trình này cũng được biết như truyền tải bộ lọc Wiener [9], tỷ lệ tín hiệu-to-rò rỉ-và-noise beamforming [12], truyền MMSE beamforming, và ảo SINR beamforming; Hãy xem nhận xét 3.2 trong [7] cho một nền tảng lịch sử hơn nữa.Hướng heuristic beamforming (18) là thực sự tối ưu chỉ trong trường hợp đặc biệt. Ví dụ, xem xétmột kịch bản đối xứng mà các kênh là bằng nhau mạnh mẽ và cũng đã tách ra directivity, trong khi cácchức năng tiện ích trong (P2) là đối xứng đối với SINR_1,..., SINR_k. Nó sau đó làm cho tinh thần để cho cácTham số λ được đối xứng là tốt, mà ngụ ý λ_k = P/K cho tất cả k từ ∑_(i=1) ^ K▒〖λ_i = P〗. Nói cách khác,lý do mà truyền MMSE beamforming thực hiện tốt là nó đáp ứng cấu trúc tối ưu beamforming — ít trong tình huống đối xứng. Nói chung, chúng tôi cần tất cả các K bậc tự do cung cấp bởi λ_1,..., λ_K để tìm beamforming tối ưu, bởi vì tham số duy nhất trong regularized ZFBF không cung cấp đủ độ tự do để quản lý người dùng không đối xứng kênh điều kiện và tiện ích chức năng.Các thuộc tính của tàu điện ngầm, ZFBF, và truyền tải MMSE beamforming được minh họa bằng cách mô phỏng trong Figure3. Chúng tôi xem xét K = 4 người dùng và (P2) với tỷ lệ tổng như tiện ích chức năng: f (SINR_1,..., SINR_4) = ∑_(k=1) ^ 4▒log_2 (1 + SINR_k). Kết quả mô phỏng được tính trung bình trong khu phức hợp đối xứng tròn ngẫu nhiên Gaussian kênh realizations, hk ∼ CN (0, IN), và SNR đo bằng P/σ ^ 2. Beamforming tối ưu được tính bởi các thuật toán chi nhánh-giảm-và-ràng buộc trong [7]

Kết quả (Việt) 2:

INTUITION BEHIND THE CẤU TỐI ƯU
Hướng beamforming tối ưu (10) bao gồm hai phần chính: 1) vector kênh hk giữa BS và người sử dụng k có ý định; và 2) các ma trận (IN + Σ_ (i = 1) ^ K▒ 〖λ_i / σ ^ 2〗 h_i h_i ^ H) -1. Beamforming trong cùng một hướng như kênh (ví dụ, W _k ^ ((MRT)) = h_k / ‖h_k ‖) được biết đến như truyền dẫn tối đa tỷ lệ (MRT) hoặc lọc phù hợp [8]. Lựa chọn này tối đa hóa sức mạnh p_k tín hiệu nhận được | h_k ^ H w _k | ^ 2 vào sử dụng dự định, bởi vì (công thức (CT) 12) .due để bất đẳng thức Cauchy-Schwarz. Đây là chỉ đạo beamforming tối ưu cho K = 1, nhưng không phải khi có nhiều người sử dụng vì những liên can thiệp của người dùng là mất tích trong tàu điện ngầm. Điều này về cơ bản là những gì các nhân của hk với (IN + Σ_ (i = 1) ^ K▒ 〖λ_i / σ ^ 2〗 h_i h_i ^ H) -1 (trước khi bình thường) chăm sóc; nó quay MRT để giảm nhiễu được gây ra trong các đồng quyền sử dụng chỉ dẫn h_1,. . . , H_ (k-1), h_ (k + 1),. . . , H_k. Sự giải thích này được minh họa trong hình 2, ở các beamforming tối ưu nằm đâu đó ở giữa tàu điện ngầm và các vectơ là trực giao với tất cả các kênh đồng quyền sử dụng. Hướng beamforming tối ưu phụ thuộc chủ yếu vào các chức năng tiện ích f (..). Tuy nhiên, các tham số λi ≥ 0 có thể được coi là ưu tiên của người dùng i, nơi một giá trị lớn hơn có nghĩa là vectơ beamforming của người dùng khác sẽ được trực giao hơn để h_i. b tiệm cận tính Tiếp theo, chúng ta nghiên cứu các tính chất beamforming tiệm cận. Trong tỷ lệ thấp tín hiệu-to-noise (SNR) trường hợp, đại diện bởi σ ^ 2 → ∞, hệ thống này là tiếng ồn hạn chế và các ma trận beamforming trong (11) hội tụ đến (CT13), nơi nghịch đảo ma trận biến mất và p_ (σ ^ 2 → ∞) biểu thị sự phân bổ quyền lực tiệm cận. Điều này ngụ ý rằng 〖〗 _K w ^ * là một phiên bản thu nhỏ của h_k vector kênh, tương đương với tàu điện ngầm. Tại SNRs cao, được đưa ra bởi σ ^ 2 → 0, hệ thống này là sự can thiệp hạn chế. Chúng tôi tập trung về trường hợp N ≥K với ít nhất một mức độ tự do không gian--cho mỗi người dùng, đây là chế độ vận hành có ý nghĩa đối với SDMA. Để tránh dị trong nghịch đảo khi σ2 là nhỏ, chúng tôi sử dụng các sắc 〖(I + AB)〗 ^ (- 1) A = A 〖(I + BA)〗 ^ (- 1) và viết lại (11) như W ^ * = 〖H (σ ^ 2 + ΛH I_K ^ HH)〗 ^ (- 1) P ^ □ (1/2) trong đó P = diag (p_1 〖/ ‖ (σ ^ 2 + I_K ΛH ^ HH) ^ (- 1) h_1 ‖〗 ^ 2, ..., p_k / ‖ (σ ^ 2 + I_K ΛH ^ HH) ^ (- 1) h_K ‖ ^ 2) biểu thị ma trận phân bổ quyền lực viết lại tương ứng. Nó bây giờ sau đó (CT14), nơi các hạn σ ^ 2 I_K biến mất khi σ ^ 2 → 0 và P _ (σ ^ 2 → 0) biểu thị sự phân bổ quyền lực tiệm cận. Giải pháp này được gọi là đảo ngược kênh hoặc zero-buộc beamforming (ZFBF) [9], bởi vì nó có chứa các pseudo-inverse H (H ^ HH) ^ (- 1) của ma trận kênh H ^ H. Do đó, H ^ H W_ (σ ^ 2 → 0) ^ * = Λ ^ (- 1) P _ (σ ^ 2 → 0) là một ma trận đường chéo. Kể từ khi các yếu tố off-đường chéo là của h_i hình thức ^ H w_k ^ * = 0 với i # k, beamforming này gây nhiễu không liên sử dụng bằng cách chiếu hk vào không gian con mà là trực giao với các kênh đồng quyền sử dụng. Các tính chất tiệm cận là trực quan nếu chúng ta nhìn vào SINR trong (2). Tiếng ồn chiếm ưu thế trong giao thoa tại SNRs thấp, do đó chúng ta nên sử dụng tàu điện ngầm để tối đa hóa công suất tín hiệu mà không quan tâm về sự can thiệp. Ngược lại, sự can thiệp chiếm ưu thế trong tiếng ồn tại SNRs cao, do đó chúng ta nên sử dụng ZFBF để loại bỏ nó. Chúng ta nhớ lại hình 2 tàu điện ngầm và ZFBF cũng là hai thái cực từ một quan điểm hình học và beamforming tối ưu tại cân bằng SNR tùy ý giữa hai thái cực này. Một chế độ tiệm cận đã nhận được nhiều sự chú ý: việc sử dụng các mảng rất lớn mà số lượng của ăng-ten, N, đi đến vô cùng trong phân tích hiệu suất [3]. Một động lực quan trọng là các phương tiêu cự (‖h_k ‖ ^ 2) là tỷ lệ thuận với N, trong khi chéo sản phẩm (| h_i ^ H h_k | cho i # k) tăng thêm từ từ với N (nhân rộng chính xác phụ thuộc vào mô hình kênh). Do đó, các kênh người dùng trở nên trực giao khi N → ∞, làm giảm sự can thiệp và cho phép truyền tải điện năng ít hơn. Quan sát rằng σ ^ 2 + I_K ΛH ^ ^ HH≈ΛH HH cho N lớn, vì chỉ có các yếu tố của H ^ HH phát triển với N. Tương tự như (14), một trong đó có thể chứng minh rằng ZFBF là tiệm tối ưu. MRT thực hiện tương đối tốt trong chế độ này do các kênh trực giao tiệm cận, nhưng sẽ không đạt được hiệu năng giống như ZFBF [3, bảng 1]. Quan hệ với Nhận Beamforming có những điểm tương đồng nổi bật giữa truyền beamforming trong downlink và nhận beamforming trong uplink , nhưng cũng khác biệt cơ bản. Để mô tả những, chúng ta xem xét các kịch bản đường lên nơi người sử dụng cùng K được truyền với cùng BS. Các tín hiệu nhận được r ∈ C ^ Nx1at các BS là r = Σ_ (i = 1) ^ K▒ 〖S_i h_i + n〗, nơi mà người dùng k truyền sk tín hiệu dữ liệu bằng cách sử dụng điện qk uplink truyền. Tiếng ồn thu n có zero bình và ma trận hiệp biến σ ^ 2 I_N. SINR uplink cho các tín hiệu từ người dùng k là (CT15) Trường hợp V_k∈C ^ NX1 là đơn vị-norm nhận vector beamforming được sử dụng bởi các BS để không gian phân biệt các tín hiệu được gửi bởi người dùng k từ các tín hiệu gây nhiễu. SINR uplink trong (15) là tương tự như các SINR downlink trong (2), nhưng thời hạn tiếng ồn được thu nhỏ lại bởi ‖v‖ ^ 2 và các chỉ số được trao đổi trong thời gian can thiệp: ‖h_k ^ H w_i ‖ ^ 2 trong downlink được thay thế bởi ‖h_k q_i ^ H v_k ‖ ^ 2 trong uplink. Sau đó là vì sự can thiệp downlink bắt nguồn từ các vectơ beamforming của người dùng khác, trong khi can thiệp uplink đến thông qua các kênh từ những người dùng khác. Sự khác biệt nhỏ bé có một ảnh hưởng cơ bản tối ưu, bởi vì SINR uplink của người dùng k chỉ chứa riêng nhận beamforming vector v_k của nó. Do đó chúng tôi có thể tối ưu hóa các beamforming riêng cho từng k (CT16). Các giải pháp sau vì đây là tối đa hóa một Rayleigh quotient tổng quát [7]. Lưu ý rằng các beamforming cùng nhận được là tối ưu mà không phân biệt chức năng của SINRs uplink chúng tôi muốn tối ưu hóa. Trong thực tế, (16) cũng giảm thiểu trung bình bình phương lỗi (MSE) giữa tín hiệu phát và tín hiệu nhận xử lý, do đó nó được biết đến như là bộ lọc Wiener và tối thiểu MSE (MMSE) lọc [9]. Các truyền tối ưu và nhận beamforming có cấu trúc tương tự; bộ lọc Wiener trong (16) thu được từ (10) bằng cách thiết lập λk bằng sức mạnh qk uplink truyền. Lựa chọn tham số này chỉ là tối ưu cho đường xuống trong tình huống đối xứng, được thảo luận sau. Nói chung, các thông số khác nhau vì các tín hiệu đường lên qua các kênh khác nhau (do đó, các đường lên là bị ảnh hưởng bởi các biến thể trong các tiêu cự), trong khi tất cả mọi thứ mà đạt đến một người dùng trong downlink đã trải qua một kênh duy nhất [4]. Heuristic Truyền beamforming Nó chung là khó để tìm thấy những λ-thông số tối ưu, nhưng cấu trúc beamforming trong (10) và (11) phục vụ như một nền tảng cho beamforming phỏng đoán; đó là, chúng ta có thể chọn các thông số một cách thận trọng và hy vọng cho close-to-tối ưu beamforming. Nếu chúng ta làm cho tất cả các thông số bằng nhau, λk ​​= λ với mọi k, chúng ta có được (CT17) Các beamforming Heuristic trong (17) được gọi là đúng quy tắc zero-buộc beamforming [10] kể từ khi hành vi nhận dạng ma trận như là một quy tắc của ZFBF trong (14). Hợp thức là một cách phổ biến để đạt được sự ổn định về số lượng và vững mạnh vào kênh bất ổn. Do chỉ có một tham số λ duy nhất trong ZFBF đúng quy tắc, nó có thể được tối ưu hóa cho một kịch bản truyền nhất định bằng cách tìm kiếm dòng thông thường. Các Σ_ tài sản sum (i = 1) ^ K▒ 〖λ_i = P〗 cho thấy chúng ta thiết lập các tham số trong ZFBF đúng quy tắc bằng công suất phát trung bình: λ = P / K. Lựa chọn tham số này có một cách hiểu đơn giản, bởi vì các hướng beamforming tương ứng (IN + Σ_ (i = 1) ^ K▒ 〖P / (σ ^ 2 K)〗 h_i h_i ^ H) -1hk là những cái mà tối đa hóa tỷ lệ của công suất tín hiệu mong muốn với sức mạnh tiếng ồn cộng với sức mạnh can thiệp gây ra cho người khác; trong khác từ, (CT18) này hiệu suất metric heuristic là giống hệt nhau để tối đa hóa sự SINR uplink trong (15) cho bình đẳng, quyền hạn uplink qi = P / K. Do đó, (18) được giải quyết, tương tự (16), như một Rayleigh quotient tổng quát. Ý tưởng về tối đa hóa số liệu trong (18) đã được đề xuất độc lập bởi nhiều tác giả và các beamforming kết quả đã nhận được rất nhiều cái tên khác nhau. Các công việc sớm nhất có thể [11] từ năm 1995, nơi mà các tác giả đề nghị beamforming "như vậy mà thương của công suất trung bình của sự đóng góp mong muốn sự đóng góp không mong muốn được tối đa hoá". Do mối quan hệ để nhận beamforming, chương trình này còn được gọi là truyền Wiener lọc [9], tín hiệu-to-rò rỉ và tiếng ồn tỷ lệ beamforming [12], truyền MMSE beamforming, và beamforming SINR ảo; xem Ghi chú 3.2 trong [7] cho một nền lịch sử hơn nữa. Các hướng beamforming Heuristic trong (18) là thực sự tối ưu chỉ trong trường hợp đặc biệt. Ví dụ, hãy xem xét một kịch bản đối xứng mà các kênh đều mạnh như nhau và cũng đã tách ra định hướng, trong khi chức năng tiện ích trong (P2) là đối xứng đối với SINR_1 với,. . . , SINR_k. Sau đó nó làm cho tinh thần để cho λ-thông số đối xứng là tốt, mà ngụ ý λ_k = P / K cho tất cả k kể từ Σ_ (i = 1) ^ K▒ 〖λ_i = P〗. Nói cách khác, lý do mà các chùm sóng truyền MMSE thực hiện tốt là nó đáp ứng các beamforming tối ưu cấu trúc ít nhất là trong tình huống đối xứng. Nói chung, chúng tôi cần tất cả các độ K của tự do được cung cấp bởi λ_1 ,. . . , Λ_K để tìm beamforming tối ưu, bởi vì các tham số duy nhất trong ZFBF đúng quy tắc không cung cấp đủ độ tự do để quản lý các điều kiện kênh sử dụng bất đối xứng và các chức năng tiện ích. Các thuộc tính của MRT, ZFBF, và truyền MMSE beamforming được minh họa bằng cách mô phỏng trong Figure3. Chúng tôi xem xét K = 4 người và (P2) với tỷ lệ số tiền như chức năng tiện ích: f (SINR_1,, SINR_4...) = Σ_ (k = 1) ^ 4▒log_2⁡ (1+ SINR_k). Các kết quả mô phỏng được tính trung bình trên ngẫu nhiên tròn đối xứng phức tạp ngộ kênh Gaussian, hk ~ CN (0, IN), và SNR được đo như P / σ ^ 2. Các beamforming tối ưu được tính bằng chi nhánh-giảm-and-bound thuật toán trong [7]