Definition. Let R be a ring and cho

Definition. Let R be a ring and choose a nonzero element m ∈ R. We say that two elements a and b of R are congruent modulo m if their difference a − b is divisible by m. We write
a ≡ b (mod m)
to indicate that a and b are congruent modulo m.
Congruences for arbitrary rings satisfy the same equation-like properties as they do in the original integer setting.
Proposition 2.42. Let R be a ring and let m ∈ R with . If
a1 ≡ a2 (mod m) and b1 ≡ b2 (mod m),
then a1 ± b1 ≡ a2 ± b2 (mod m) and .
Proof. We leave the proof as an exercise; see Exercise 2.31.
Remark 2.43. Our definition of congruence captures all of the properties that we need in this book. However, we must observe that there exists a more general notion of congruence modulo ideals. For our purposes, it is enough to work with congruences modulo principal ideals, which are ideals that are generated by a single element.
An important consequence of Proposition 2.42 is a method for creating new rings from old rings, just as we created Z/qZ from Z by looking at congruences modulo q.
Definition. Let R be a ring and let m ∈ R with = 0. For any a ∈ R, we write a for the set of all such that ). The set a is called the

Kết quả (Việt) 1:

Định nghĩa. Hãy để R là một vòng và chọn một phần tử nonzero m ∈ R. Chúng tôi nói rằng hai yếu tố một và b của R là đồng dư modulo m nếu sự khác biệt của một b − là chia hết cho m. Chúng tôi viết một b ≡ (mod m)để chỉ ra rằng một và b là đồng dư modulo m.Hình cho bất kỳ vòng đáp ứng các tính chất giống như phương trình tương tự như họ làm trong các thiết lập nguyên gốc.Döï Luaät 2,42. R là một vòng và cho m ∈ R với nhé Nếu A1 ≡ a2 (mod m) và b1 ≡ b2 (mod m),sau đó a1 ± b1 ≡ a2 ± b2 (mod m) và.Bằng chứng. Chúng tôi để lại bằng chứng như là một tập thể dục; nhìn thấy tập thể dục 2,31. Nhận xét 2,43. Chúng tôi định nghĩa của congruence bắt tất cả các thuộc tính mà chúng ta cần trong cuốn sách này. Tuy nhiên, chúng ta phải quan sát rằng có tồn tại một khái niệm tổng quát hơn về congruence modulo lý tưởng. Cho các mục đích của chúng tôi, nó là đủ để làm việc với hình theo modulo lý tưởng chính, đó là lý tưởng được tạo ra bởi một yếu tố duy nhất.Một hệ quả quan trọng của đề xuất 2,42 là một phương pháp để tạo vòng mới từ cũ vòng, cũng giống như chúng tôi tạo ra Z/qZ từ Z bằng cách nhìn vào hình theo modulo q.Định nghĩa. Hãy để R là một vòng và cho m ∈ R với = 0. Đối với bất kỳ một ∈ R, chúng tôi viết một cho các thiết lập của tất cả mà). Các thiết lập một được gọi là các

Kết quả (Việt) 2:

Định nghĩa. Hãy R là vành và chọn một yếu tố khác không m ∈ R. Chúng ta nói rằng hai yếu tố a và b của R là đồng dư modulo m nếu sự khác biệt của họ a - b chia hết cho m. Chúng tôi viết
một b ≡ (mod m)
để chỉ ra rằng a và b là đồng dư modulo m.
Tương đẳng cho vòng tùy ý đáp ứng các phương trình đặc tính giống như họ làm trong các thiết lập nguyên gốc.
Dự 2.42. Hãy R là vành và để cho m ∈ R với. Nếu
≡ a1 a2 (mod m) và b1 b2 ≡ (mod m),
sau đó a1 ± b1 ≡ ± a2 b2 (mod m) và.
Chứng minh. Chúng tôi rời khỏi bằng chứng như một bài tập; xem bài tập 2.31.
Ghi chú 2.43. Định nghĩa của chúng ta về tương đẳng bắt tất cả các tính năng mà chúng ta cần trong cuốn sách này. Tuy nhiên, chúng ta phải quan sát rằng có tồn tại một khái niệm tổng quát hơn của đồng dư modulo lý tưởng. Đối với mục đích của chúng tôi, nó là đủ để làm việc với các đồng dư modulo lý tưởng chính, đó là những lý tưởng được tạo ra bởi một yếu tố duy nhất.
Một hệ quả quan trọng của Dự 2.42 là một phương pháp để tạo vòng mới từ nhẫn cũ, cũng như chúng ta tạo ra Z / QZ từ Z bằng cách nhìn vào đồng dư modulo q.
Định nghĩa. Hãy R là vành và để cho m ∈ R với = 0. Đối với bất kỳ một ∈ R, chúng ta viết cho các thiết lập của tất cả như vậy). Các thiết lập một được gọi là