ForewordWhy Olympiads?Working mathe

Foreword
Why Olympiads?
Working mathematicians often tell us that results in the field are achieved after long
experience and a deep familiarity with mathematical objects, that progress is made
slowly and collectively, and that flashes of inspiration are mere punctuation in periods
of sustained effort.
The Olympiad environment, in contrast, demands a relatively brief period of intense
concentration, asks for quick insights on specific occasions, and requires a concentrated
but isolated effort. Yet we have found that participants in mathematics Olympiads have
often gone on to become first-class mathematicians or scientists and have attached great
significance to their early Olympiad experiences.
For many of these people, the Olympiad problem is an introduction, a glimpse
into the world of mathematics not afforded by the usual classroom situation. A good
Olympiad problem will capture in miniature the process of creating mathematics. It’s
all there: the period of immersion in the situation, the quiet examination of possible
approaches, the pursuit of various paths to solution. There is the fruitless dead end, as
well as the path that ends abruptly but offers new perspectives, leading eventually to
the discovery of a better route. Perhaps most obviously, grappling with a good problem
provides practice in dealing with the frustration of working at material that refuses to
yield. If the solver is lucky, there will be the moment of insight that heralds the start of
a successful solution. Like a well-crafted work of fiction, a good Olympiad problem
tells a story of mathematical creativity that captures a good part of the real experience
and leaves the participant wanting still more.
And this book gives us more. It weaves together Olympiad problems with a
common theme, so that insights become techniques, tricks become methods, and
methods build to mastery. Although each individual problem may be a mere appetizer,
the table is set here for more satisfying fare, which will take the reader deeper
into mathematics than might any single problem or contest.
The book is organized for learning. Each section treats a particular technique
or topic. Introductory results or problems are provided with solutions, then related
problems are presented, with solutions in another section.
The craft of a skilled Olympiad coach or teacher consists largely in recognizing
similarities among problems. Indeed, this is the single most important skill that the
coach can impart to the student. In this book, two master Olympiad coaches have
offered the results of their experience to a wider audience. Teachers will find examples
and topics for advanced students or for their own exercise. Olympiad stars will find
xii Foreword
practice material that will leave them stronger and more ready to take on the next
challenge, from whatever corner of mathematics it may originate. Newcomers to
Olympiads will find an organized introduction to the experience.
There is also something here for the more general reader who is interested in mathematics.
Simply perusing the problems, letting their beauty catch the eye, and working
through the authors’ solutions will add to the reader’s understanding. The multiple
solutions link together areas of mathematics that are not apparently related. They often
illustrate how a simple mathematical tool—a geometric transformation, or an algebraic
identity—can be used in a novel way, stretched or reshaped to provide an unexpected
solution to a daunting problem.
These problems are daunting on any level. True to its title, the book is a challenging
one. There are no elementary problems—although there are elementary solutions. The
content of the book begins just at the edge of the usual high school curriculum. The
calculus is sometimes referred to, but rarely leaned on, either for solution or for motivation.
Properties of vectors and matrices, standard in European curricula, are drawn
upon freely. Any reader should be prepared to be stymied, then stretched. Much is
demanded of the reader by way of effort and patience, but the reader’s investment is
greatly repaid.
In this, it is not unlike mathematics as a whole.
Mark Saul
Bronxville School

Kết quả (Việt) 2:

Lời nói đầu
Tại sao Olympic?
Nhà toán học làm việc thường xuyên cho chúng tôi biết rằng kết quả trong lĩnh vực này đạt được sau khi dài
kinh nghiệm và có kiến sâu sắc với các đối tượng toán học, tiến bộ được thực hiện
từ từ và tập thể, và các tia cảm hứng chỉ là những dấu chấm câu trong các giai đoạn
của nỗ lực lâu dài.
Các môi trường Olympiad, ngược lại, đòi hỏi một thời gian tương đối ngắn gọn về cường độ
tập trung, yêu cầu những hiểu biết nhanh chóng vào những dịp đặc biệt, và đòi hỏi một tập trung
nỗ lực nhưng bị cô lập. Tuy nhiên, chúng tôi đã phát hiện ra rằng những người tham gia trong kỳ thi Olympic toán học đã
thường xuyên đi vào để trở thành nhà toán học đầu tiên-lớp học hoặc các nhà khoa học và đã gắn liền lớn
ý nghĩa đối với những kinh nghiệm Olympiad đầu của họ.
Đối với nhiều người trong số những người này, vấn đề Olympiad là một giới thiệu, một cái nhìn
vào thế giới của toán học không nên bởi tình hình lớp học thông thường. Một tốt
vấn đề Olympiad sẽ nắm bắt được thu nhỏ quá trình tạo toán học. Đó là
tất cả có: thời gian ngâm trong tình hình, việc kiểm tra có thể yên tĩnh của
phương pháp tiếp cận, việc theo đuổi con đường khác nhau để giải quyết. Có phải là kết thúc chết không kết quả, như
cũng như con đường mà kết thúc đột ngột, nhưng cung cấp các quan điểm mới, dẫn cuối cùng để
phát hiện ra một con đường tốt hơn. Có lẽ rõ ràng nhất, phải vật lộn với một vấn đề tốt
giúp tập luyện trong việc đối phó với sự thất vọng làm việc tại các tài liệu mà không chịu
khuất phục. Nếu những người giải quyết là may mắn, sẽ có những khoảnh khắc của cái nhìn sâu sắc rằng báo hiệu sự khởi đầu của
một giải pháp thành công. Cũng giống như một tác phẩm nổi tinh xảo của tiểu thuyết, một vấn đề Olympiad tốt
kể một câu chuyện của sự sáng tạo toán học cho phép chụp một phần tốt đẹp của các kinh nghiệm thực tế
và để lại những người tham gia muốn nhiều hơn nữa.
Và cuốn sách này cho chúng ta thêm. Nó đan kết các vấn đề Olympic với một
chủ đề chung, để hiểu biết trở nên kỹ thuật, thủ thuật trở thành phương pháp, và
các phương pháp xây dựng làm chủ. Mặc dù mỗi vấn đề cá nhân có thể chỉ là một món khai vị,
bảng được thiết lập ở đây cho giá vé đáp ứng nhiều hơn, trong đó sẽ đưa người đọc sâu
vào toán học hơn có bất kỳ vấn đề duy nhất hay cuộc thi.
Cuốn sách được tổ chức cho học tập. Mỗi phần đối xử với một kỹ thuật đặc biệt
hoặc chủ đề. Kết quả giới thiệu hoặc các vấn đề được cung cấp với các giải pháp, sau đó liên quan đến
các vấn đề được trình bày, với các giải pháp ở một phần sau.
Các nghề thủ công của một huấn luyện viên Olympic có tay nghề hoặc giáo viên bao gồm phần lớn trong việc nhận ra
sự tương đồng giữa các vấn đề. Thật vậy, đây là kỹ năng quan trọng nhất mà các
huấn luyện viên có thể truyền đạt cho học sinh. Trong cuốn sách này, hai huấn luyện viên bậc thầy Olympic đã
được cung cấp các kết quả của kinh nghiệm của mình cho một đối tượng rộng lớn hơn. Giáo viên sẽ tìm thấy ví dụ
và các chủ đề cho học sinh tiên tiến hoặc tập thể dục của riêng mình. Olympiad sao sẽ tìm
xii Lời nói đầu
tài liệu thực hành mà sẽ để lại cho họ mạnh mẽ và sẵn sàng hơn để đưa vào kế tiếp
thách thức, từ bất cứ góc của toán học nó có thể có nguồn gốc. Người mới đến
Olympic sẽ tìm thấy một giới thiệu về tổ chức để trải nghiệm.
Ngoài ra còn có một cái gì đó ở đây cho người đọc nói chung và những ai quan tâm đến toán học.
Đơn giản chỉ cần perusing các vấn đề, ​​để cho vẻ đẹp của họ bắt mắt, và làm việc
thông qua các giải pháp của các tác giả sẽ thêm vào sự hiểu biết của người đọc. Các nhiều
giải pháp liên kết các vùng với nhau của toán học mà không liên quan rõ ràng. Họ thường
minh họa làm thế nào một công cụ đơn giản toán học chuyển đổi hình học, hoặc một đại số
nhận dạng có thể được sử dụng theo một cách mới lạ, kéo dài hoặc định hình lại để cung cấp một bất ngờ
giải pháp cho một vấn đề khó khăn.
Những vấn đề này đang làm nản lòng bất cứ cấp độ. Đúng như tiêu đề của nó, cuốn sách là một thách thức
một. Không có vấn đề, ​​mặc dù tiểu có những giải pháp cơ bản. Các
nội dung của cuốn sách bắt đầu chỉ ở rìa của các chương trình đào tạo trung học bình thường. Các
tính toán đôi khi được nhắc đến, nhưng ít khi dựa vào, hoặc là cho giải pháp hay cho động cơ.
Các tính chất của vectơ và ma trận, tiêu chuẩn trong chương trình châu Âu, được rút ra
sau khi tự do. Bất kỳ người đọc cần được chuẩn bị để được thấy lúng túng, sau đó kéo dài. Phần lớn được
yêu cầu của người đọc bằng cách nỗ lực và kiên nhẫn, nhưng đầu tư của người đọc được
trả rất nhiều.
Trong này, nó không phải là không giống như toán học như một toàn thể.
Mark Saul
Bronxville trường