19.39. Suppose that triangle P XY i

19.39. Suppose that triangle P XY is constructed and points X and Y belong to sides AC and CB, respectively. We know a transformation that maps X to Y , namely, the rotational homothety with center P , the angle of rotation ϕ = ∠XP Y = ∠M LN and the homothety coefficient k = P Y : P X = LN • LM . Point Y to be found is the intersection point of segment BC and the image of segment AC under this transformation.

19.40. Suppose that rectangle ABCD is constructed. Consider the rotational homothety with center A that sends B to D. Let C′ be the image of point C under this homothety.
Then ∠CDC′ = ∠B + ∠D and DC′ = BC•AD = bd .
AB a
We can recover triangle CDC′ from CD, DC′ and ∠CDC′. Point A is the intersection

point of the circle of radius d with center D and the locus of points X such that C′X : CX = d : a (this locus is a circle, see Problem 7.14). The further construction is obvious.

19.41. a) If O is the center of a rotational homothety that sends segment AB to segment
A1B1, then
∠(P A, AO) = ∠(P A1, A1O) and ∠(P B, BO) = ∠(P B1, B1O) (1)

and, therefore, point O is the intersection point of the inscribed circles of triangles P AA1 and P BB1.

The case when these circles have only one common point P is clear: this is when segment AB turns into segment A1B1 under a homothety with center P .

If P and O are two intersection points of the circles considered, then equalities (1) imply that △OAB ∼ △OA1B1 and, therefore, O is the center of a rotational homothety that maps segment AB into segment A1B1.

b) It suffices to notice that point O is the center of a rotational homothety that maps segment AB to segment BC if and only if ∠(BA, AO) = ∠(CB, BO) and ∠(AB, BO) =
∠(BC, CO).
Let A1 and B1 be the positions of the points at one moment, A2 and B2 the

position of the points at another moment. Then for point P we can take the center of a rotational homothety that maps segment A1A2 to segment B1B2.

Let P be the intersection point of lines l1 and l2. By Problem 19.41 point O belongs to the circumscribed circle S1 of triangle A1A2P . On the other hand, OA2 : OA1 = k. The locus of points X such that XA2 : XA1 = k is circle S2 (by Problem 7.14). Point O is the intersection point of circles S1 and S2 (there are two such points).

Let O be the center of a rotational homothety that maps segment AB to segment
A1B1. Then △ABO ∼ △A1B1O, i.e., ∠AOB = ∠A1OB1 and AO : BO = A1O : B1O. Therefore, ∠AOA1 = ∠BOB1 and AO : A1O = BO : B1O, i.e., △AA1O ∼ △BB1O. Hence,
point O is the center of the rotational homothety that maps segment AA1 to segment BB1.

Let lines AB and DE intersect at point C and lines BD and AE intersect at point F . The center of rotational homothety that maps segment AB to segment ED is the distinct from C intersection point of the circumscribed circles of triangles AEC and BDC (see Problem 19.41) and the center of rotational homothety sending AE to BD is the intersection point of circles circumscribed about triangles ABF and EDF . By Problem

the centers of these rotational homotheties coincide, i.e., all the four circumscribed circles have a common point.

The center O of parallelogram ABCD is equidistant from the following pairs of lines: AQ and AB, AB and CD, CD and DQ and, therefore, QO is the bisector of angle

∠AQD. Let α = ∠BAO, β = ∠CDO and ϕ = ∠AQO = ∠DQO. Then α + β = ∠AOD = 360◦ − α − β − 2ϕ, i.e., α + β + ϕ = 180◦ and, therefore, △QAO ∼ △QOD.

Kết quả (Việt) 1:

19.39. giả sử rằng tam giác P XY được xây dựng và điểm X và Y thuộc cạnh AC và CB, tương ứng. Chúng ta biết một biến đổi ánh xạ X tới Y, cụ thể là, homothety quay với Trung tâm P, góc quay ϕ = ∠XP Y = ∠M LN và homothety coefficient k = P Y: P X = LN • LM. Điểm Y được tìm thấy là giao điểm của phân đoạn BC và hình ảnh của phân đoạn AC theo chuyển đổi này.19,40. giả sử rằng hình chữ nhật ABCD được xây dựng. Hãy xem xét homothety quay với Trung tâm một mà sẽ gửi B để mất Hãy để C′ là hình ảnh của nút nhấn khẩn C dưới homothety này.Sau đó ∠CDC′ = ∠B + ∠D và DC′ = BC•AD = bd.AB mộtChúng tôi có thể phục hồi các tam giác CDC′ từ đĩa CD, DC′ và ∠CDC′. Điểm A là giao điểmđiểm của vòng tròn bán kính d với Trung tâm D và quỹ tích điểm X như C′X đó: CX = d: một (locus này là một vòng tròn, nhìn thấy vấn đề 7.14). Việc xây dựng thêm là rõ ràng.19.41. bản) nếu O là trung tâm của một homothety quay gửi phân đoạn AB để phân đoạnA1B1, sau đó ∠ (P A, AO) = ∠ (P A1, A1O) và ∠ (P B, BO) = ∠ (P B1, B1O) (1)và, do đó, điểm O là giao điểm của vòng tròn ghi hình tam giác P AA1 và P BB1.Trường hợp khi các vòng tròn có chỉ có một phổ biến điểm P là rõ ràng: đây là khi phân đoạn AB biến thành phân khúc A1B1 dưới một homothety với Trung tâm P.Nếu P và O là 2 giao điểm của các vòng tròn được coi là, sau đó đẳng (1) hàm ý rằng △OAB ∼ △OA1B1 và, do đó, O là trung tâm của một homothety quay bản đồ phân đoạn AB vào phân khúc A1B1.b) nó suffices thông báo rằng điểm O là trung tâm của một homothety quay bản đồ phân đoạn AB đoạn BC nếu và chỉ nếu ∠ (BA, AO) = ∠ (CB, BO) và ∠ (AB, BO) =∠ (TRƯỚC CÔNG NGUYÊN, CO). Hãy để A1 và B1 là vị trí của các điểm tại một thời điểm, A2 và B2 cácvị trí của điểm tại một thời điểm. Sau đó cho điểm P, chúng tôi có thể mất trung tâm của một homothety quay bản đồ phân đoạn A1A2 phân đoạn B1B2. Cho P là giao điểm của đường l1 và l2. Bởi vấn đề 19,41 điểm O thuộc vòng kết nối đường S1 của tam giác A1A2P. Mặt khác, OA2: OA1 = k. Locus của điểm X như vậy mà XA2: XA1 = k là vòng tròn S2 (do vấn đề 7.14). Điểm O là giao điểm của vòng tròn S1 và S2 (có hai điểm như vậy). Hãy để O là trung tâm của một homothety quay bản đồ phân đoạn AB để phân đoạnA1B1. Sau đó △ABO ∼ △A1B1O, ví dụ, ∠AOB = ∠A1OB1 và AO: BO = A1O: B1O. Do đó, ∠AOA1 = ∠BOB1 và AO: A1O = BO: B1O, tức là △AA1O ∼ △BB1O. Do đó,điểm O là trung tâm của homothety quay bản đồ phân đoạn AA1 phân đoạn BB1. Hãy để dòng AB và DE cắt nhau tại điểm C và dòng BD và AE cắt nhau tại điểm F. Trung tâm homothety quay bản đồ phân đoạn AB để phân đoạn ED là riêng biệt từ C giao điểm của đường tròn của tam giác AEC và BDC (xem vấn đề 19,41) và Trung tâm quay homothety gửi AE cho BD là giao điểm của vòng tròn định nghĩa về hình tam giác ABF và EDF. Bởi vấn đề Các Trung tâm của các homotheties Luân trùng, tức là, tất cả các vòng tròn đường bốn có một điểm chung. Trung tâm O của hình bình hành ABCD là equidistant từ đôi dòng, sau đây: AQ và AB, AB và CD, đĩa CD và máy cắt cuộn DB, và do đó, QO là bisector góc∠AQD. Hãy để α = ∠BAO, β = ∠CDO và ϕ = ∠AQO = ∠DQO. Sau đó α + β = ∠AOD = 360◦ − α − β − 2ϕ, ví dụ, α + β + ϕ = 180◦ và, do đó, △QAO ∼ △QOD.

Kết quả (Việt) 2:

19,39. Giả sử rằng tam giác P XY được xây dựng và các điểm X và Y thuộc về bên AC và CB, tương ứng. Chúng tôi biết một chuyển đổi mà bản đồ X đến Y, cụ thể là, homothety quay với trung tâm P, góc quay φ = ∠XP Y = ∠M LN và homothety COE ffi cient k = PY: PX = LN • LM. Point Y có thể thấy là giao điểm của đoạn BC và hình ảnh của đoạn AC quá trình chuyển đổi này.

19.40. Giả sử rằng hình chữ nhật ABCD được xây dựng. Hãy xem xét các homothety quay với tâm A sẽ gửi B D. Cho C 'là hình ảnh của điểm C thuộc homothety này.
Sau đó ∠CDC' = ∠B + ∠D và DC = BC • AD = bd.
AB một
Chúng tôi có thể phục hồi tam giác CDC 'từ CD, DC' và ∠CDC '. Điểm A là giao

điểm của đường tròn bán kính d với trung tâm D và các locus của điểm X mà C'X: CX = d: a (locus này là một vòng tròn, nhìn thấy vấn đề 7.14). Việc xây dựng thêm là hiển nhiên.

19,41. a) Nếu O là trung tâm của một homothety quay mà sẽ gửi đoạn thẳng AB cho phân khúc
A1B1, sau đó
∠ (PA, AO) = ∠ (P A1, A1O) và ∠ (PB, BO) = ∠ (P B1, B1O) ( 1)

và, do đó, điểm O là giao điểm của các vòng tròn ghi hình tam giác P AA1 và P BB1.

các trường hợp khi những vòng tròn chỉ có một điểm chung P là rõ ràng: đây là khi phân khúc AB biến thành phân khúc A1B1 dưới một homothety với trung tâm P.

Nếu P và O là hai điểm giao nhau của các vòng tròn xem xét, sau đó bình đẳng (1) hàm ý rằng △ OAB ~ △ OA1B1 và, do đó, O là trung tâm của một homothety quay mà các bản đồ đoạn thẳng AB vào phân khúc A1B1.

b ) Nó su ffi ces để nhận thấy rằng điểm O là trung tâm của một homothety quay mà các bản đồ đoạn thẳng AB cho phân khúc BC khi và chỉ khi ∠ (BA, AO) = ∠ (CB, BO) và ∠ (AB, BO) =
∠ (BC , CO).
Hãy A1 và B1 được vị trí của các điểm tại một thời điểm, A2 và B2 các

vị trí của các điểm vào lúc khác. Sau đó cho điểm P chúng ta có thể là trung tâm của một homothety quay mà các bản đồ phân khúc A1A2 phân khúc B1B2.

Gọi P là giao điểm của đường l1 và l2. Bởi vấn đề 19,41 điểm O thuộc S1 đường tròn ngoại tiếp của tam giác A1A2P. Mặt khác, OA2: OA1 = k. Các quỹ tích của điểm X mà XA2: XA1 = k là vòng tròn S2 (bởi Problem 7.14). Điểm O là giao điểm của vòng tròn S1 và S2 (có hai điểm đó).

Hãy để O là trung tâm của một homothety quay mà các bản đồ đoạn thẳng AB cho phân khúc
A1B1. Sau đó △ ABO ~ △ A1B1O, tức là, ∠AOB = ∠A1OB1 và AO: BO = A1O: B1O. Do đó, ∠AOA1 = ∠BOB1 và AO: A1O = BO: B1O, tức là, △ AA1O ~ △ BB1O. Do đó,
điểm O là trung tâm của các homothety quay mà các bản đồ phân khúc AA1 phân khúc BB1.

Hãy để đường AB và DE cắt nhau tại điểm C và dòng BD và AE cắt nhau tại điểm F. Trung tâm của homothety quay mà các bản đồ đoạn thẳng AB cho phân khúc ED là khác biệt từ C giao điểm của đường tròn ngoại tiếp của tam giác AEC và BDC (xem vấn đề 19,41) và là trung tâm của homothety quay gửi AE BD là giao điểm của đường tròn ngoại tiếp về tam giác ABF và EDF. Bởi vấn đề

trung tâm của những homotheties luân trùng, nghĩa là, tất cả bốn đường tròn ngoại tiếp có một điểm chung.

Các trung tâm O của hình bình hành ABCD là cách đều các cặp sau đây của dòng: AQ và AB, AB và CD, CD và DQ và, do đó, qo là phân giác của góc

∠AQD. Hãy α = ∠BAO, β = ∠CDO và φ = ∠AQO = ∠DQO. Sau đó α + β = ∠AOD = 360◦ - α - β - 2φ, tức là, α + β + φ = 180◦ và, do đó, △ QAO ~ △ QOD.