Congruences in Z[i] behave well und

Congruences in Z[i] behave well under both addition and multiplication:
α ≡ α
0 mod γ, β ≡ β
0 mod γ =⇒ α + β ≡ α
0 + β
0 mod γ, αβ ≡ α
0β
0 mod γ.
The details behind this are just like in Z and are left to the reader to check.
Since congruence modulo 0 means equality, we usually assume the modulus is non-zero.
A Gaussian integer can be reduced modulo α, if α 6= 0, to get a congruent Gaussian
integer with small norm by dividing by α and using the remainder.
Example 7.3. Let’s compute (3 + 2i)
2 mod 4 + i. Since (3 + 2i)
2 = 5 + 12i and 5 + 12i =
(4 + i)(2 + 3i) − 2i, we have (3 + 2i)
2 ≡ −2i mod 4 + i.
Example 7.4. To reduce 1 + 8i mod 2 − 4i, we divide. This was already done in Example
3.6, where we found more than one possibility:
1 + 8i = (2 − 4i)(−1 + i) − 1 + 2i, 1 + 8i = (2 − 4i)(−1 + i) + 1 − 2i.
Therefore 1 + 8i ≡ −1 + 2i mod 2 − 4i and 1 + 8i ≡ 1 − 2i mod 2 − 4i. There is no reason
to think −1 + 2i or 1 − 2i is the more correct reduction. Both work.
There is a way to picture what modular arithmetic in Z[i] means, by plotting the multiples
of a Gaussian integer in Z[i]. For example, let’s look at the Z[i]-multiples of 1 + 2i.
Algebraically, a general Z[i]-multiple of 1 + 2i is
(1 + 2i)(m + ni) = (1 + 2i)m + (1 + 2i)ni = m(1 + 2i) + n(−2 + i),
where m and n are in Z. This is an integral combination of 1 + 2i and −2 + i = (1 + 2i)i.
In Figure 1 we plot 1 + 2i and −2 + i as the vectors (1, 2) and (−2, 1) in R2
.

Kết quả (Việt) 1:

Hình trong Z [i] cư xử tốt hơn bổ sung và phép nhân:Α ≡ Α0 mod γ, β ≡ β0 mod γ = ⇒ α + β ≡ α0 + Β0 mod γ, αβ ≡ α0Β0 mod γ.Các chi tiết sau này giống như trong Z và đang còn lại để người đọc để kiểm tra.Kể từ khi congruence modulo 0 có nghĩa là sự bình đẳng, chúng ta thường giả định mô đun là không.Một số nguyên Gauss có thể được giảm theo modulo α, nếu α 6 = 0, để có được một Gaussian đồng dưsố nguyên với các chuẩn mực nhỏ bằng cách chia bởi α và sử dụng phần còn lại.Ví dụ 7.3. Hãy tính toán (3 + 2i)2 mod 4 + i. Từ (3 + 2i)2 = 5 + 12i và 5 + 12i =(4 + i) (2 + 3i) − 2i, chúng tôi có (3 + 2i)2 ≡ −2i mod 4 + i.Ví dụ 7.4. Để giảm bớt 1 + 8i mod 2 − 4i, chúng ta phân chia. Điều này đã được thực hiện trong ví dụ3,6, nơi mà chúng tôi tìm thấy nhiều hơn một khả năng:1 + 8i = (2 − 4i)(−1 + i) − 1 + 2i, 1 + 8i = (2 − 4i)(−1 + i) + 1 − 2i.Do đó 1 + 8i ≡ −1 + 2i mod 2 − 4i và 1 + 8i ≡ 1 − 2i mod 2 − 4i. Có là không có lý dođể nghĩ rằng −1 + 2i hoặc 1 − 2i là giảm đúng hơn. Cả hai làm việc.Đó là một cách để hình ảnh những gì học đại số mô-đun trong Z [i] có nghĩa là, do âm mưu bội cáccủa một số nguyên Gauss trong Z [i]. Ví dụ, hãy xem xét các Z [i]-bội số của 1 + 2i.Đại số, là một tổng Z [i]-bội số của 1 + 2i là(1 + 2i) (m + ni) = (1 + 2i) m + (1 + 2i) ni = m (1 + 2i) + n (−2 + i),m và n đâu trong Z. Đây là một sự kết hợp không thể tách rời của 1 + 2i và −2 + i = (1 + 2i) tôi.Trong hình 1 chúng tôi âm mưu 1 + 2i và −2 + i như là các vectơ (1, 2) và (−2, 1) R2.

Kết quả (Việt) 2:

Đồng dư trong Z [i] cư xử tốt trong cả cộng và phép nhân:
alpha ≡ α
0 mod γ, β ≡ beta
0 α γ = ⇒ mod + β ≡ α
0 + β
0 mod γ, αβ ≡ α
0β
. 0 mod γ
Các chi tiết đằng sau này là giống như trong Z và để lại cho người đọc để kiểm tra.
Kể từ khi đồng dư modulo 0 có nghĩa là bình đẳng, chúng ta thường giả modulus là khác không.
Một số nguyên Gaussian có thể được rút gọn theo modulo α, nếu alpha 6 = 0, để có được một Gaussian đồng dạng
số nguyên với mức nhỏ bằng cách chia cho α và sử dụng phần còn lại.
Ví dụ 7.3. Hãy tính (3 + 2i)
2 mod 4 + i. Từ (3 + 2i)
2 = 5 + 12i và 5 + 12i =
(4 + i) (2 + 3i) - 2i, chúng ta có (3 + 2i)
2 ≡ -2i mod 4 + i.
Ví dụ 7.4. Để giảm 1 + 8i mod 2 - 4i, chúng tôi chia. Điều này đã được thực hiện trong ví dụ
3.6, nơi chúng tôi thấy nhiều hơn một khả năng:
1 + 8i = (2 - 4i) (- 1 + i) - 1 + 2i, 1 + 8i = (2 - 4i) (- 1 + i ) + 1 -. 2i
Do đó 1 + 8i ≡ -1 + 2i mod 2 - 4i và 1 + 8i ≡ 1 - 2i mod 2 - 4i. Không có lý do
để nghĩ rằng -1 + 2i hoặc 1 - 2i là giảm nhiều hơn đúng. Cả hai công việc.
Có một cách để hình dung những gì số học modula trong Z [i] phương tiện, bằng cách vẽ các bội
của một số nguyên Gaussian trong Z [i]. Ví dụ, chúng ta hãy nhìn vào Z [i] -multiples của 1 + 2i.
Về mặt số học, một Z chung [i] -multiple của 1 + 2i là
(1 + 2i) (m + ni) = (1 + 2i) m + (1 + 2i) ni = m (1 + 2i) + n (-2 + i),
trong đó m và n là trong Z. Đây là một sự kết hợp không thể thiếu của 1 + 2i và -2 + i = (1 + 2i ) i.
trong hình 1 chúng ta vẽ 1 + 2i và -2 + i là vectơ (1, 2) và (-2, 1) trong R2
.