1.2 Complementarity systemsInequali

1.2 Complementarity systems
Inequalities have played an important role in many research fields including mathe-
matical programming and economics (e.g. Leontief economies [114]). It is surprising
to see that inequalities have received relatively little attention in systems theory. One
reason might be that combining inequalities and differential equations means giving
up the smoothness properties that form the basis of much of the theory of dynamical
systems. However, in many situations (of which we will see several examples later) it
seems reasonable to study dynamics in conjunction with inequalities.
In mathematical programming a key role is played by a special combination of
inequalities and equations that is called the linear complementarity problem (LCP),
which is defined as follows. Given a matrix M ∈ R k×k and a vector q ∈ R k , then
LCP(q,M) amounts to finding vectors u, y ∈ R k such that
y = q + Mu (1.2a)
and
u i ≥ 0, y i ≥ 0, {u i = 0 or y i = 0} for all i ∈ {1,... ,k} (1.2b)
or show that no such vectors exist. The operator “or” in (1.2b) must be interpreted in a
non-exclusive sense. The conditions (1.2b) are called complementarity conditions and
can equivalently be written as
u ≥ 0, y ≥ 0, u > y = 0. (1.3)
The inequalities must bein terpreted componentwise in(1.3). In the literature one often
encounters also the more compact notation
0 ≤ y ⊥ u ≥ 0, (1.4)
where the notation y⊥u expresses the orthogonality between y and u. The LCP has
many economic and engineering applications [65] and an extensive literature [47] is
available on this problem.
Thehybridsystemsconsideredinthisthesiscanbeseenasthedynamicalextensions
of LCPs and will be called complementarity systems. In a mechanical context such
combinations of differential equations and complementarity conditions have already
been used by Lötstedt [124]. Van der Schaft and Schumacher were one of the first
Page 19 of 240
10 Introduction
that formulated the the equations of complementarity systems (or “complementary-
slackness systems”) in a general setting [177,179]. In their most general form com-
plementarity systems are described by the differential and algebraic equations
0 = F(˙ z(t),z(t)) (1.5a)
y(t) = g(z(t)) ∈ R k (1.5b)
u(t) = h(z(t)) ∈ R k (1.5c)
together with the complementarity conditions
0 ≤ y(t) ⊥ u(t) ≥ 0 (1.5d)
In this formulation t ∈ [0,∞) denotes the time variable, z(t) the state and u(t) and
y(t) the complementarity variables at time t.
A special complementarity system occurs when (1.5a), (1.5b) and (1.5c) are re-
placed by an “input/state/output system” of the form
˙ x(t) = f(x(t),u(t)) (1.6a)
y(t) = g(x(t),u(t)). (1.6b)
These systems are called “semi-explicit” complementarity systems. Moreover, if the
input/state/output system is taken to be linear, i.e. f(x,u) = Ax + Bu, g(x,u) =
Cx + Du for constant matrices A, B, C and D of appropriate dimensions, we obtain
a linear complementarity system (LCS). Note that an LCS arises also by replacing the
static linear relation y = q + Mu in (1.2) by the linear dynamical system
˙ x(t) = Ax(t) + Bu(t) (1.7)
y(t) = Cx(t) + Du(t). (1.8)
In this thesis we will focus mainly on LCS, because we can rely in that case on the
broad literature of linear system theory.
The study of complementarity systems can be motivated by a whole range of in-
teresting applications. To give a quick round-up of examples, one might think of
• electrical networks with (ideal) diodes;
• piecewise linear systems;
• mechanical systems subject to unilateral constraints or Coulomb friction;
• switching control systems;
• dynamical systems with saturation, relays or deadzones;
• variable structure systems;
• hydraulic processes with one-way valves;

Kết quả (Việt) 1:

1.2 bổ hệ thốngSự bất bình đẳng đã đóng một vai trò quan trọng trong nhiều lĩnh vực nghiên cứu bao gồm mathe-matical lập trình và kinh tế (ví dụ như Leontief nền kinh tế [114]). Nó là đáng ngạc nhiênđể thấy rằng sự bất bình đẳng đã nhận được tương đối ít sự chú ý trong lý thuyết hệ thống. Một trong nhữnglý do có thể là rằng kết hợp sự bất bình đẳng và phương trình vi phân có nghĩa là cholên các thuộc tính êm ái đã hình thành cơ sở của hầu hết lý thuyết của động lựcHệ thống. Tuy nhiên, trong nhiều tình huống (trong đó chúng ta sẽ thấy một vài ví dụ sau) nócó vẻ hợp lý để nghiên cứu động lực học kết hợp với sự bất bình đẳng.Trong toán học lập trình một vai trò quan trọng được chơi bởi một sự kết hợp đặc biệt củasự bất bình đẳng và phương trình được gọi là vấn đề tuyến tính bổ (LCP),đó định nghĩa như sau. Cho một ma trận M ∈ R k × k và một véc tơ q ∈ R k, sau đóLCP(q,M) số tiền để tìm vectơ u, y ∈ R k sao choy = q + Mu (1.2A)vàu tôi ≥ 0, y tôi ≥ 0, {u tôi = 0 hoặc y tôi = 0} cho tất cả tôi ∈ {1,..., k} (1.2B)hoặc hiển thị không có vector như vậy tồn tại. Các nhà điều hành "hoặc" trong (1.2B) phải được hiểu theo mộtcảm giác không độc quyền. Các điều kiện (1.2B) được gọi là điều kiện bổ vàtương tự có thể được viết dưới dạngu ≥ 0, y ≥ 0, u > y = 0. (1.3)Những sự bất bình đẳng phải bein terpreted componentwise in(1.3). Trong các tài liệu một thườnggặp cũng ký hiệu nhỏ gọn hơn0 ≤ y ⊥ u ≥ 0, (1.4)nơi y⊥u ký hiệu thể hiện orthogonality giữa y và bạn. LCP cónhiều kinh tế và kỹ thuật ứng dụng [65] và một văn học phong phú [47]có sẵn về vấn đề này.Thehybridsystemsconsideredinthisthesiscanbeseenasthedynamicalextensionscủa LCPs và sẽ được gọi là hệ thống bổ. Trong một cơ khí bối cảnh như vậytổ hợp các phương trình vi phân và điều kiện bổ đãđược sử dụng bởi Lötstedt [124]. Van der Schaft và Schumacher là một trong những người đầu tiênTrang 19 24010 giới thiệumà xây dựng các phương trình của hệ thống bổ (hoặc "bổ sung-slackness hệ thống") trong một khung cảnh chung [177,179]. Trong của họ đặt chung tạo thành com-plementarity hệ thống được mô tả bởi các phương trình vi phân và đại số0 = F (˙ z(t),z(t)) (1.5a)y(t) = g(z(t)) ∈ R k (1.5b)u(t) = h(z(t)) ∈ R k (1,5 c)cùng với các điều kiện bổ0 ≤ y(t) ⊥ u(t) ≥ 0 (1,5 d)Trong này xây dựng t ∈ [0,∞) biểu thị thời gian thay đổi, z(t) bang và you(t) vày(t) biến bổ tại thời gian t.Một hệ thống đặc biệt bổ xảy ra khi (1.5a), (1.5b) và (1,5 c) là tái -được đặt theo một hệ thống đầu vào/tiểu bang/đầu ra"" của các hình thức˙ x(t) = f(x(t),u(t)) (1.6a)y(t) = g(x(t),u(t)). (1.6b)Các hệ thống danh xưng trong tiếng Pháp là "bán rõ ràng" bổ hệ thống. Hơn nữa, nếu cáctiểu bang/đầu vào đầu ra hệ thống thực hiện là tuyến tính, tức là f(x,u) = Ax + Bu, g(x,u) =CX + Du cho ma trận hằng số A, B, C và D kích thước thích hợp, chúng tôi có đượcmột hệ thống tuyến tính bổ (LCS). Lưu ý rằng một LCS phát sinh cũng bằng cách thay thế cácmối quan hệ tuyến tính tĩnh y = q + Mu trong (1,2) bởi tuyến tính hệ thống động lực˙ x(t) = Ax(t) + Bu(t) (1.7)y(t) = Cx(t) + Du(t). (1. 8)Trong luận án này chúng tôi sẽ tập trung chủ yếu vào LCS, bởi vì chúng tôi có thể tin tưởng trong trường hợp đó vào cácrộng văn học lý thuyết hệ thống tuyến tính.Nghiên cứu bổ hệ thống có thể được thúc đẩy bởi một phạm vi toàn bộ của tại-ứng dụng teresting. Để cung cấp cho một vòng nhanh chóng mặc của ví dụ, người ta có thể nghĩ của• mạng lưới điện với Điốt (lý tưởng);• đường hệ thống tuyến tính;• Hệ thống cơ khí tùy thuộc vào đơn phương khó khăn hoặc ma sát Coulomb;• chuyển đổi hệ thống kiểm soát;• Hệ thống động lực với độ bão hòa, chuyển tiếp hoặc deadzones;• biến cấu trúc hệ thống;• quá trình thủy lực với một chiều van;

Kết quả (Việt) 2:

1.2 Tính bổ sung hệ thống
bất bình đẳng đã đóng một vai trò quan trọng trong nhiều lĩnh vực nghiên cứu bao gồm mathe-
lập trình matical và kinh tế (ví dụ như các nền kinh tế Leontief [114]). Thật đáng ngạc nhiên
khi thấy rằng sự bất bình đẳng đã nhận được tương đối ít sự chú ý trong lý thuyết hệ thống. Một
lý do có thể là sự kết hợp bất bình đẳng và phương trình vi phân có nghĩa là đưa
lên các thuộc tính êm ái mà hình thành cơ sở của nhiều lý thuyết về động lực học
hệ thống. Tuy nhiên, trong nhiều trường hợp (trong đó chúng ta sẽ thấy một vài ví dụ sau này) nó
có vẻ hợp lý để nghiên cứu động lực kết hợp với sự bất bình đẳng.
Trong chương trình toán học một vai trò quan trọng được chơi bởi một sự kết hợp đặc biệt của
sự bất bình đẳng và các phương trình đó được gọi là các vấn đề bổ tuyến tính ( LCP),
được định nghĩa như sau. Cho một ma trận M ∈ R k × k và một vector q ∈ R k, sau đó
LCP (q, M) số tiền để tìm vectơ u, y ∈ R k như vậy mà
y = q + Mu (1.2a)
và
ui ≥ 0, yi ≥ 0, {ui = 0 hoặc yi = 0} với mọi i ∈ {1, ..., k} (1.2b)
hoặc hiển thị mà không có vectơ như vậy tồn tại. Các nhà điều hành "hoặc" trong (1.2b) phải được giải thích trong một
cảm giác không độc quyền. Các điều kiện (1.2b) được gọi là điều kiện bổ sung và
tương đương có thể được viết như
u ≥ 0, y ≥ 0, u> y = 0. (1.3)
các bất bình đẳng phải Bein componentwise terpreted trong (1.3). Trong văn học người ta thường
cũng gặp các ký hiệu nhỏ gọn hơn
0 ≤ y ⊥ u ≥ 0, (1.4)
trong đó các ký hiệu y⊥u thể hiện tính trực giao giữa y và u. Các LCP có
kinh tế và kỹ thuật nhiều ứng dụng [65] và một nền văn học phong phú, [47] là
có sẵn về vấn đề này.
Thehybridsystemsconsideredinthisthesiscanbeseenasthedynamicalextensions
của LCPs và sẽ được gọi là hệ thống bổ sung. Trong một bối cảnh cơ học như
sự kết hợp của các phương trình vi phân và điều kiện bổ sung đã
được sử dụng bởi Lötstedt [124]. Van der Schaft và Schumacher là một trong những người đầu tiên
Trang 19 của 240
10 Giới thiệu
đó xây dựng các phương trình của hệ thống bổ sung (hoặc "complementary-
hệ thống kia tưởng đâu") trong một bối cảnh tổng quát [177.179]. Trong hình dạng chung nhất của họ sánh
hệ thống plementarity được mô tả bởi các phương trình vi phân đại số và
0 = F (˙ z (t), z (t)) (1.5A)
y (t) = g (z (t)) ∈ R k (1.5b)
u (t) = h (z (t)) ∈ R k (1.5C)
cùng với các điều kiện bổ sung
0 ≤ y (t) ⊥ u (t) ≥ 0 (1.5d)
Trong công thức t này ∈ [0, ∞) biểu thị các biến thời gian, z (t) nhà nước và u (t) và
y (t) các biến bổ sung tại thời điểm t.
Một hệ thống bổ trợ đặc biệt xảy ra khi (1.5A), (1.5b) và (1.5C) được tái
đặt bởi một "đầu vào / tiểu bang / đầu ra hệ thống" của mẫu
˙ x (t) = f (x (t), u (t)) (1.6a)
y (t) = g ( x (t), u (t)). (1.6b)
Các hệ thống này được gọi là "bán dâm" hệ thống bổ sung. Hơn nữa, nếu các
đầu vào / hệ thống nhà nước / đầu ra được đưa đến là tuyến tính, tức là f (x, u) = Ax + Bu, g (x, u) =
Cx + Du cho ma trận hằng số A, B, C và D của thích hợp kích thước, chúng ta có được
một hệ thống bổ tuyến tính (LCS). Lưu ý rằng một LCS cũng phát sinh bằng cách thay thế các
mối quan hệ tuyến tính tĩnh y = q + Mu trong (1.2) bởi các tuyến tính hệ thống động
˙ x (t) = Ax (t) + Bu (t) (1.7)
y (t) = Cx (t) + Du (t). (1.8)
Trong luận án này, chúng tôi sẽ tập trung chủ yếu vào LCS, bởi vì chúng ta có thể dựa vào trường hợp đó vào
văn học rộng của lý thuyết hệ thống tuyến tính.
Các nghiên cứu về các hệ thống bổ sung có thể được thúc đẩy bởi một loạt các trong-
ứng dụng teresting. Để cung cấp một cách nhanh chóng vòng lên các ví dụ, người ta có thể nghĩ về
• Mạng điện với (lý tưởng) điốt;
• Hệ thống piecewise tuyến tính;
• Hệ thống cơ khí chịu ràng buộc đơn phương hoặc Coulomb ma sát;
• chuyển đổi hệ thống kiểm soát;
• hệ thống động với độ bão hòa, chuyển tiếp hoặc deadzones;
• Hệ thống cấu trúc biến;
• Các quá trình thủy lực với van một chiều;