Problems related to the coloring of

Problems related to the coloring of maps of regions, such as maps of parts of the world, have generated many results in graph theory. When a map∗ is colored, two regions with a common
border are customarily assigned different colors. One way to ensure that two adjacent regions never have the same color is to use a different color for each region. However, this is inefficient, and on maps with many regions it would be hard to distinguish similar colors. Instead, a small number of colors should be used whenever possible. Consider the problem of determining the least number of colors that can be used to color a map so that adjacent regions never have the same color. For instance, for the map shown on the left in Figure 1, four colors suffice, but three colors are not enough. (The reader should check this.) In the map on the right in Figure 1, three colors are sufficient (but two are not).
Each map in the plane can be represented by a graph. To set up this correspondence, each region of the map is represented by a vertex. Edges connect two vertices if the regions represented by these vertices have a common border. Two regions that touch at only one point are not considered adjacent. The resulting graph is called the dual graph of the map. By the way in which dual graphs of maps are constructed, it is clear that any map in the plane has a planar dual graph. Figure 2 displays the dual graphs that correspond to the maps shown in Figure 1.
The problem of coloring the regions of a map is equivalent to the problem of coloring the vertices of the dual graph so that no two adjacent vertices in this graph have the same color. We now define a graph coloring.

Kết quả (Việt) 1:

Vấn đề liên quan đến các màu sắc của bản đồ của khu vực, chẳng hạn như bản đồ của các bộ phận của thế giới, đã tạo ra nhiều kết quả trong lý thuyết đồ thị. Khi một map∗ là màu, hai khu vực với một phổ biếnbiên giới được customarily gán màu sắc khác nhau. Một cách để đảm bảo rằng hai khu vực liền kề không bao giờ có cùng một màu sắc là sử dụng một màu sắc khác nhau cho từng khu vực. Tuy nhiên, điều này là không hiệu quả, và trên các bản đồ với nhiều khu vực, nó sẽ là khó để phân biệt với màu sắc tương tự. Thay vào đó, một số lượng nhỏ của màu sắc nên được sử dụng bất cứ khi nào có thể. Xem xét vấn đề xác định ít nhất số của màu sắc có thể được sử dụng để màu sắc bản đồ khu vực liền kề không bao giờ có cùng một màu sắc. Ví dụ, đối với bản đồ hiển thị bên trái trong hình 1, bốn màu sắc đủ, nhưng ba màu sắc là không đủ. (Người đọc nên kiểm tra điều này.) Trong bản đồ bên phải trong hình 1, ba màu sắc được đầy đủ (nhưng hai là không).Mỗi bản đồ trong máy bay có thể được đại diện bởi một đồ thị. Để thiết lập thư này, mỗi vùng của bản đồ được đại diện bởi một đỉnh. Cạnh kết nối hai đỉnh nếu các khu vực đại diện bởi các đỉnh có một biên giới phổ biến. Hai khu vực liên lạc tại chỉ một thời điểm không được coi là liền kề. Biểu đồ kết quả được gọi là đồ thị kép của bản đồ. By the way trong đó đồ thị kép của bản đồ được xây dựng, nó là rõ ràng rằng bất kỳ bản đồ trong mặt phẳng có một đồ thị phẳng kép. Hình 2 Hiển thị đồ thị kép tương ứng cho các bản đồ hiển thị trong hình 1.Vấn đề của màu khu vực bản đồ là tương đương với vấn đề của màu các đỉnh của đồ thị kép như vậy mà không có hai đỉnh liền kề trong biểu đồ này có cùng một màu sắc. Chúng tôi bây giờ xác định một màu đồ thị.

Kết quả (Việt) 2:

Các vấn đề liên quan đến màu của bản đồ của khu vực, chẳng hạn như các bản đồ của các bộ phận của thế giới, đã tạo ra nhiều kết quả trong lý thuyết đồ thị. Khi một bản đồ * là màu, hai khu vực với một chung
biên giới liên quan tùy gán màu sắc khác nhau. Một cách để đảm bảo rằng hai vùng lân cận không bao giờ có cùng một màu sắc là sử dụng một màu sắc khác nhau cho từng vùng. Tuy nhiên, điều này là không hiệu quả, và trên bản đồ với nhiều khu vực sẽ rất khó để phân biệt các màu sắc tương tự. Thay vào đó, một số lượng nhỏ của màu sắc nên được sử dụng bất cứ khi nào có thể. Hãy xem xét các vấn đề xác định số lượng ít nhất là màu sắc có thể được sử dụng để tô màu một bản đồ sao cho những vùng lân cận không bao giờ có cùng một màu sắc. Ví dụ, đối với các bản đồ hiển thị bên trái trong hình 1, bốn màu là đủ, nhưng ba màu sắc là không đủ. (Các bạn nên kiểm tra này.) Trong bản đồ bên phải trong hình 1, ba màu sắc là đủ (nhưng không phải là hai).
Mỗi bản đồ trong máy bay có thể được biểu diễn bằng một đồ thị. Để thiết lập thư này, mỗi khu vực của bản đồ được biểu diễn bằng một đỉnh. Cạnh nối hai đỉnh nếu các vùng đại diện bởi các đỉnh có một đường biên giới chung. Hai khu vực mà có thể chạm vào chỉ có một điểm không được coi là liền kề. Kết quả đồ thị được gọi là đồ thị kép của bản đồ. Bằng cách này, trong đó đồ thị kép của bản đồ được xây dựng, nó là rõ ràng rằng bất kỳ bản đồ trong máy bay có một đồ thị kép phẳng. Hình 2 hiển thị các đồ thị kép tương ứng với các bản đồ thể hiện trong hình 1.
Các vấn đề của màu các vùng của bản đồ là tương đương với các vấn đề của màu các đỉnh của đồ thị kép để không có hai đỉnh liền kề trong đồ thị này có cùng màu. Bây giờ chúng ta định nghĩa một đồ thị màu.