Theorem 2.32 (Pohlig–Hellman Algori

Theorem 2.32 (Pohlig–Hellman Algorithm). Let G be a group, and suppose that we have an algorithm to solve the discrete logarithm problem in G for any element whose order is a power of a prime. To be concrete, if g ∈ G has order qe, supppose that we can solve gx = h in O(Sqe) steps. (For example, Proposition 2.22 says that we can take Sqe to be qe/2. See Remark 2.33 for a further discussion.)
Now let g ∈ G be an element of order N, and suppose that N factors into a product of prime powers as
.
Then the discrete logarithm problem gx = h can be solved in
steps (2.13)
using the following procedure:
(1) For each 1 ≤ i ≤ t, let
gi = gN/qiei and hi = hN/qiei.
Notice that gi has prime power order , so use the given algorithm to solve the discrete logarithm problem
giy = hi. (2.14)
Let y = yi be a solution to (2.14).
(2) Use the Chinese remainder theorem (Theorem 2.25) to solve

Proof. The running time is clear, since Step (1) takes ) steps, and
Step (2), via the Chinese remainder theorem, takes O(logN) steps. In practice, the Chinese remainder theorem computation is usually neglible compared to the discrete logarithm computations.
It remains to show that Steps (1) and (2) give a solution to gx = h. Let x be a solution to the system of congruences (2.15). Then for each i we can write
x = yi + qieizi for some zi. (2.16)
This allows us to compute

Kết quả (Việt) 1:

Định lý 2,32 (Pohlig-Hellman thuật toán). Cho G là một nhóm, và giả sử rằng chúng tôi có một thuật toán để giải quyết vấn đề lôgarit rời rạc Son cho bất kỳ yếu tố mà là một sức mạnh của một nguyên tố. Để được cụ thể, nếu g ∈ G có trật tự qe, supppose rằng chúng tôi có thể giải quyết gx = h trong O(Sqe) bước. (Ví dụ, Döï Luaät 2,22 nói rằng chúng tôi có thể mất Sqe là qe/2. Xem nhận xét 2,33 cho một cuộc thảo luận thêm.)Bây giờ hãy g ∈ G là một phần tử của thứ tự N, và giả sử rằng N các yếu tố thành một sản phẩm của các quyền hạn nguyên tố như .Sau đó là vấn đề lôgarit rời rạc gx = h có thể được giải quyết trong bước (2,13)sử dụng quy trình sau:(1) cho mỗi ≤ 1 tôi ≤ t, cho gi = gN/qiei và hi = hN/qiei.Thông báo rằng gi đã đặt hàng nguyên tố sức mạnh, vì vậy sử dụng các thuật toán nhất định để giải quyết vấn đề lôgarit rời rạc giy = hi. (2,14)Hãy để y = yi là một giải pháp để (2,14).(2) sử dụng định lý Trung Quốc còn lại (định lý 2,25) để giải quyết Bằng chứng. Thời gian chạy là rõ ràng, kể từ khi bước (1) mất) bước, vàBước (2), thông qua định lý Trung Quốc còn lại, mất O(logN) bước. Trong thực tế, tính toán định lý Trung Quốc còn lại thường là neglible so với tính toán rời rạc logarit.Nó vẫn còn để thấy rằng bước (1) và (2) cung cấp một giải pháp cho gx = h. Cho x là một giải pháp hệ thống của hình (2,15). Sau đó cho mỗi i chúng tôi có thể viết x = yi + qieizi cho một số zi. (2,16)Điều này cho phép chúng tôi tính toán

Kết quả (Việt) 2:

Định lý 2.32 (Pohlig-Hellman Algorithm). Cho G là một nhóm, và giả sử rằng chúng ta có một thuật toán để giải quyết các bài toán logarit rời rạc trong G cho bất kỳ yếu tố mà trật tự là một sức mạnh của một nguyên tố. Để cụ thể, nếu g ∈ G có để nới lỏng tiền tệ, supppose rằng chúng ta có thể giải quyết gx = h trong O (SQE) bước. (Ví dụ, Dự 2.22 nói rằng chúng ta có thể mất SQE là QE / 2. Xem nhận xét ​​2.33 cho một cuộc thảo luận thêm.)
Bây giờ chúng ta hãy g ∈ G là một yếu tố để tồn tại, và giả sử rằng tồn tại các yếu tố vào một sản phẩm của các cường quốc hàng đầu như
.
Sau đó logarit rời rạc vấn đề gx = h có thể được giải quyết trong
bước (2.13)
bằng cách sử dụng thủ tục sau đây:
(1) Đối với mỗi 1 ≤ i ≤ t, hãy
gi = GN / qiei và hi = hN / qiei.
Chú ý rằng gi Để có sức mạnh nguyên tố, vì vậy sử dụng thuật toán được để giải quyết các bài toán logarit rời rạc
giy = hi. (2.14)
Hãy để y = yi là một giải pháp (2.14).
(2) Sử dụng các lý phần còn lại của Trung Quốc (Định lý 2.25) để giải quyết Proof. Thời gian chạy là rõ ràng, kể từ Bước (1) mất) bước, và Bước (2), thông qua các lý phần còn lại của Trung Quốc, phải mất O (logN) bước. Trong thực tế, các tính toán lý phần còn lại của Trung Quốc là thường không đáng kể so với các tính toán logarit rời rạc. Nó vẫn còn để cho thấy bước (1) và (2) đưa ra một giải pháp cho GX = h. Cho x là một giải pháp cho các hệ thống của đồng dư (2.15). Sau đó, với mỗi i chúng ta có thể viết x = yi + qieizi cho một số zi. (2.16) Điều này cho phép chúng ta tính toán