MATHEMATICS OF COMPUTATIONVolume 00

MATHEMATICS OF COMPUTATION
Volume 00, Number 0, Pages 000–000
S 0025-5718(XX)0000-0
POINTS ON y = x
2
AT RATIONAL DISTANCE
GARIKAI CAMPBELL
Abstract. Nathaniel Dean [6] asks the following: is it possible to find four
non-concyclic points on the parabola y = x
2
such that each of the six distances
between pairs of points is rational. We demonstrate that there is a correspon
dence between all rational points satisfying this condition and orbits under a
particular group action of rational points on a fiber product of (3 copies of) an
elliptic surface. In doing so, we provide a detailed description of the correspon
dence, the group action and the group structure of the elliptic curves making
up the (good) fibers of the surface. We find for example that each elliptic curve
must contain a point of order 4. The main result is that there are infinitely
many rational distance sets of four non-concyclic (rational) points on y = x
2
.
We begin by giving a brief history of the problem and by placing the problem
in the context of a more general, long-standing open problem. We conclude
by giving several examples of solutions to the problem and by offering some
suggestions for further work.
1. A Brief History of the Problem.
We say that a collection of points in S ⊂ R
n
are at rational distance if the
distance between each pair of points is rational. We will call such a collection of
points a rational distance set. For example, the rationals themselves form a rational
distance subset of the reals. Therefore, if S is any line in R
n
, S contains a dense
set of points at rational distance.
Furthermore, it was known to Euler that:
Proposition 1.1. Every circle contains a dense set of points at rational distance.
Remark 1.2. Several proofs of this exist (see [1] for example). We follow the ideas
articulated in [7].
Proof. To make the writing of the argument a bit cleaner, we identify R
2
with the
complex plane in the usual manner. Now observe that if two points in the complex
plane, z and w, are at rational distance and have rational length, then since
||
1
z
−
1
w
|| =
||z − w||
||z|| · ||w||
,
1/z and 1/w are at rational distance as well. Now, consider a vertical line L.
One can easily parameterize all points on L whose lengths and imaginary parts
1991 Mathematics Subject Classification. 14G05, 11G05, 11D25.
Key words and phrases. Rational Distance Sets, Elliptic Curves, Elliptic Surfaces.
This work was supported by the Swarthmore College Lang Grant and the Woodrow Wilson
Career Enhancement Fellowship.
c
1997 American Mathematical Society
1

Kết quả (Việt) 1:

TOÁN HỌC TÍNH TOÁNKhối lượng 00, số 0, trang 000-000S 0025-5718 (XX) 0000-0ĐIỂM trên y = x2Ở KHOẢNG CÁCH HỢP LÝGARIKAI CAMPBELLTóm tắt. Nathaniel Dean [6] yêu cầu sau: có thể để tìm bốnconcyclic điểm trên parabol y = x2như vậy mà mỗi trong sáu khoảng cáchgiữa các cặp điểm là hợp lý. Chúng tôi chứng minh là có một correspondence giữa tất cả các điểm hợp lý, đáp ứng các điều kiện này và các quỹ đạo dưới mộtcụ thể nhóm hành động hợp lý điểm trên một sản phẩm chất xơ (3 bản sao) mộtbề mặt elip. Làm như vậy, chúng tôi cung cấp một mô tả chi tiết của correspondence, nhóm hoạt động và cấu trúc nhóm các đường cong elip làmlên các sợi (tốt) của bề mặt. Chúng tôi tìm thấy ví dụ rằng mỗi đường cong elipphải có một điểm đặt hàng 4. Kết quả chính là có vô hạnnhiều người hợp lý khoảng cách bộ của bốn không-concyclic (hợp lý) y = x2.Chúng tôi bắt đầu bằng cách đưa ra một lịch sử ngắn gọn của vấn đề và bằng cách đặt vấn đềtrong bối cảnh của một vấn đề mở tổng quát hơn, lâu dài. Chúng tôi kết luậnbằng cách đưa ra một số ví dụ về các giải pháp cho vấn đề và bằng cách cung cấp một sốgóp ý cho công việc.1. một lịch sử ngắn gọn của vấn đề.Chúng tôi nói rằng một tập hợp các điểm trong S-⊂ Rnở khoảng cách hợp lý nếu cáckhoảng cách giữa mỗi cặp điểm là hợp lý. Chúng tôi sẽ gọi cho một bộ sưu tập củachỉ một tập hợp khoảng cách hợp lý. Ví dụ: rationals tự tạo thành một hợp lýkhoảng cách các tập con của tập các số thực. Vì vậy, nếu S là bất kỳ dòng trong Rn, S chứa một dày đặctập hợp các điểm ở khoảng cách hợp lý.Hơn nữa, nó đã được biết là Euler rằng:Döï Luaät 1.1. Vòng tròn mỗi chứa một tập dày đặc các điểm ở khoảng cách hợp lý.Nhận xét 1.2. Một số bằng chứng của này tồn tại (xem [1] Ví dụ). Chúng tôi làm theo những ý tưởngnêu trong [7].Bằng chứng. Để thực hiện các văn bản của các đối số khách sạn sạch hơn một chút, chúng tôi xác định R2với cáckhu phức hợp các máy bay theo cách thông thường. Bây giờ quan sát rằng nếu hai điểm trong khu phức hợpmáy bay, z và w, có khoảng cách hợp lý và có chiều dài hợp lý, sau đó kể từ||1z−1w|| =|| z − w |||| z || · || w ||,1/z và 1/w là ở khoảng cách hợp lý là tốt. Bây giờ, hãy xem xét một đường thẳng đứng L.Một trong những có thể dễ dàng parameterize tất cả các điểm trên L có độ dài và tưởng tượng một phầnPhân loại chủ đề toán học năm 1991. 14G 05, 11G 05, 11D 25.Từ khóa và cụm từ. Khoảng cách hợp lý bộ, elip Curves, bề mặt elip.Tác phẩm này được hỗ trợ bởi Swarthmore College Lang Grant và Woodrow WilsonCác học bổng nâng cao nghề nghiệp.c Hội toán học Hoa Kỳ năm 19971

Kết quả (Việt) 2:

Toán học CÁC TÍNH
Tập 00, Số 0, trang 000-000
S 0025-5718 (XX) 0000-0
ĐIỂM VỀ y = x
2
AT XA HỢP LÝ
GARIKAI CAMPBELL
Tóm tắt. Nathaniel Dean [6] hỏi sau đây: là nó có thể tìm thấy bốn
điểm không concyclic trên parabol y = x
2
mà mỗi sáu khoảng cách
giữa các cặp điểm là hợp lý. Chúng tôi chứng minh rằng có một correspon
nguï cuûa giữa tất cả các điểm hợp lý thỏa mãn điều kiện này và quỹ đạo dưới một
hành động cụ thể của nhóm điểm hợp lý trên một sản phẩm sợi (3 bản) một
mặt elip. Khi làm như vậy, chúng tôi cung cấp một mô tả chi tiết của correspon
dence, các hành động nhóm và cấu trúc nhóm của các đường cong elliptic làm
lên các sợi (tốt) của bề mặt. Chúng tôi tìm thấy ví dụ rằng mỗi đường cong elliptic
phải có một điểm để 4. Kết quả chính là có vô hạn
nhiều bộ khoảng cách hợp lý bốn phi concyclic (hợp lý) điểm trên y = x
2
.
Chúng ta bắt đầu bằng cách đưa ra một lịch sử ngắn gọn của vấn đề và bằng cách đặt vấn đề
trong bối cảnh của một tổng quát hơn, lâu dài vấn đề mở. Chúng tôi kết luận
bằng cách đưa ra một vài ví dụ về các giải pháp cho các vấn đề và bằng cách cung cấp một số
gợi ý để tiếp tục làm việc.
1. Tóm tắt lịch sử của vấn đề.
Chúng ta nói rằng một tập hợp các điểm trong S ⊂ R
n
là ở khoảng cách hợp lý nếu
khoảng cách giữa mỗi cặp điểm là hợp lý. Chúng tôi sẽ gọi như vậy một bộ sưu tập các
điểm tập khoảng cách hợp lý. Ví dụ, các rationals mình tạo thành một hợp lý
tập hợp khoảng cách của các số thực. Do đó, nếu S là dòng bất kỳ trong R
n
, S chứa một dày đặc
tập hợp các điểm ở khoảng cách hợp lý.
Hơn nữa, nó đã được biết đến Euler:
Dự 1.1. Mỗi vòng tròn chứa một tập dày đặc của các điểm ở khoảng cách hợp lý.
Ghi chú 1.2. Một số bằng chứng của tồn tại này (xem [1] ví dụ). Chúng tôi làm theo những ý tưởng
nêu trong [7].
Chứng minh. Để thực hiện các văn bản về lý luận một chút bụi, chúng tôi xác định R
2
với các
máy bay phức tạp theo cách thông thường. Bây giờ thấy nếu hai điểm trong khu phức hợp
máy bay, z và w, đang ở khoảng cách hợp lý và có độ dài hợp lý, sau đó từ
||
1
z
-
1
w
|| =
|| Z - w ||
|| || z · || W ||
,
1 / z và 1 / w là ở khoảng cách hợp lý là tốt. Bây giờ, hãy xem xét một đường thẳng đứng L.
Người ta có thể dễ dàng tham số hóa tất cả các điểm trên L có độ dài và các bộ phận tưởng tượng
1991 Toán Tiêu đề Phân loại. 14G05, 11G05, 11D25.
Từ và cụm từ khóa. Rational Bộ cách, Curves Elliptic, Elliptic bề mặt.
Công trình này được hỗ trợ bởi các trường Swarthmore Lang Grant và Woodrow Wilson
nghiệp Enhancement Fellowship.
C
1997 American Mathematical Society
1

Kết quả (Việt) 3:

Tính toánVol 100, 0 số, 000 trang, 000 trang0025-5718 (XX) 0000-0.Trong y học.2.Ở khoảng cách hợp lý.Garikai Campbell.Abstract.Nathaniel thầy. [6] hỏi giáp các đô thị sau: có thể tìm thấy bốnDân số là chấm của parabol y = X2.Như vậy, mỗi một khoảng cách 6 người.Giữa cho là hợp lý.Chúng tôi phát hiện có một phản ứngTất cả có lý chút thỏa mãn điều kiện này và giữa quỹ đạo bằng chứngSản phẩm sợi sợi (3 bản) trên các sản phẩm có lý chút đặc biệt vai trò của nhómBề mặt hình elip.Trong lúc đó, chúng tôi sẽ cung cấp các mô tả chi tiết,Tỷ lệ nhóm tố tụng và đường cong elip, nhóm của cấu trúcBề mặt (Good) sợi.Chúng ta tìm được, ví dụ, các đường cong elipPhải chứa một chút thứ tự 4.Kết quả chính là có vô hạnBốn phi cung tròn nhiều khoảng cách hợp lý "(lý trí): Y = X2..Trước tiên chúng tôi đưa ra một lịch sử ngắn gọn của vấn đề, và đặt câu hỏiỞ một nền phổ biến hơn, tồn tại lâu dài mở ra vấn đề tình dục.Chúng tôi đã kết luận rằngMột vài ví dụ được đưa ra để giải quyết vấn đề này, và cung cấp một số giải phápHơn nữa việc đề nghị.1.Vấn đề A Brief History.Chúng ta nói một điểm tập kết của S ⊂ RNLà ở khoảng cách hợp lý, nếuKhoảng cách giữa mỗi cặp điểm là hợp lý.Chúng ta sẽ làm như vậy, tập trung, gọi làĐiểm một khoảng cách hợp lý ".Ví dụ, số hữu tỉ itself form của Lý tríThực tập con của khoảng cách.Vì vậy, nếu S là R trong bất cứ một đườngN, s contains a denseKhoảng cách điểm tập hợp lý.Hơn nữa, nó được biết đến là Euler:Mệnh đề 1. 1.Mỗi một vòng tròn đều chứa một nhóm đông đúc. Ở khoảng cách hợp lý.Không bút 1.2.Sự tồn tại của một số chứng minh (xem [1]).Chúng ta làm theo ý tưởng củaBản lề ở [7].Chứng minh.Để làm cho luận điểm cho bài viết có chút sạch, chúng ta chắc chắn R2.VớiMặt phẳng phức tạp ở theo cách thông thường.Bây giờ quan sát thấy phức tạp, nếu ở hai điểmMáy bay, Z và W, ở khoảng cách hợp lý hợp lý, có chiều dài, và sau đó từ| |MộtZ−MộtW| | =| | Z − W | || | Z | | · | | W | |,1 / Z và 1 / W là ở khoảng cách hợp lý, và.Bây giờ, xem xét một đường dọc bờ hồ.Một người có thể dễ dàng trong L và giả bộ chiều dài của các tham số hóa.Môn toán phân loại năm 1991.14g05, 11g05, 11d25.Từ khóa và cụm từ.Khoảng cách hợp lý tập, đường cong elip bề mặt, hình elip.Công việc này là do Mohr College, Grant và Woodrow Wilson ủng hộ.Sự nghiệp thăng cấp học bổng.CHội Toán học Hoa Kỳ năm 1997.Một