The equation a •n x = 1 has a solu

The equation

a •n x = 1

has a solution in Zn if and only if there exist integers x and y such that
ax + ny = 1.

In context it was clear that the a we were talking about was an arbitrary member of Zn. It would simply have made the statement read more clumsily if we had said
For every a ∈ Zn, the equation
a •n x = 1
has a solution in Zn if and only if there exist integers x and y such that
ax + ny = 1.

On the other hand, we were making a transition from talking about Zn to talking about the integers, so it was important for us to include the quantified statement “there exist integers x and y such that ax + ny = 1.” More recently in Theorem 3.3, we also did not feel it was necessary to say “For all universes U and for all statements p about U ,” at the beginning of the theorem. We felt the theorem would be easier to read if we kept those quantifiers implicit and let the reader (not necessarily consciously) infer them from context.

Proof of quantified statements

We said that “the sum of even integers is even” is an elementary fact about numbers. How do we know it is a fact? One answer is that we know it because our teachers told us so. (And presumably they knew it because their teachers told them so.) But someone had to figure it out in the first place, and so we ask how we would prove this statement? A mathematician asked to give a proof that the sum of even numbers is even might write

If m and n are even, then m = 2i and n = 2j so that
m + n = 2i + 2j = 2(i + j)
and thus m + n is even.

Because mathematicians think and write in natural language, they will often rely on context to remove ambiguities. For example, there are no quantifiers in the proof above. However the sentence, while technically incomplete as a proof, captures the essence of why the sum of two even numbers is even. A typical complete (but more formal and wordy than usual) proof might go like this.

Let m and n be integers. Suppose m and n are even. If m and n are even, then by definition there are integers i and j such that m = 2i and n = 2j. Thus there are integers i and j such that m = 2i and n = 2j. Then
m + n = 2i + 2j = 2(i + j),
so by definition m + n is an even integer. We have shown that if m and n are even, then m + n is even. Therefore for every m and n, if m and n are even integers, then so is m + n.

Kết quả (Việt) 2:

Phương trình một • nx = 1 có một giải pháp trong Zn nếu và chỉ nếu tồn tại số nguyên x và y như rằng ax + ny = 1. Trong bối cảnh đó rõ ràng là một chúng tôi đã nói về là một thành viên tùy ý của Zn. Nó sẽ chỉ đơn giản là đã đưa ra tuyên bố đọc một cách vụng về hơn nếu chúng tôi đã nói Đối với mỗi a ∈ Zn, phương trình một • nx = 1 có một giải pháp trong Zn nếu và chỉ nếu tồn tại số nguyên x và y như rằng ax + ny = 1. Mặt khác, chúng tôi đã thực hiện một quá trình chuyển đổi từ nói về Zn để nói về các số nguyên, vì vậy điều quan trọng là chúng tôi bao gồm các quanti fi tuyên bố ed "có tồn tại các số nguyên x và y như rằng ax + ny = 1." Gần đây trong Định lý 3.3, chúng tôi cũng không cảm thấy nó là cần thiết để nói "Đối với tất cả các vũ trụ U và cho tất cả các báo cáo về p U," ở đầu của định lý. Chúng tôi cảm thấy định lý sẽ dễ dàng hơn để đọc nếu chúng ta giữ những quanti fi ers tiềm ẩn và để cho người đọc (không nhất thiết phải có ý thức) suy ra chúng từ ngữ cảnh. Bằng chứng về báo cáo fi ed quanti Chúng tôi cho rằng, "các khoản thậm chí nguyên là thậm chí" là một thực tế tiểu về số. Làm thế nào để chúng ta biết nó là một thực tế? Một câu trả lời là chúng ta biết điều đó vì các giáo viên của chúng tôi nói với chúng tôi như vậy. (Và có lẽ họ biết điều đó vì các giáo viên của họ nói với họ như vậy.) Nhưng có người đã phải fi Hình vẽ nó ra ở nơi đầu tiên fi, và vì vậy chúng tôi hỏi làm thế nào chúng tôi sẽ chứng minh tuyên bố này? Một nhà toán học hỏi để đưa ra một bằng chứng rằng tổng các số chẵn được thậm chí có thể viết Nếu m và n là chẵn thì m = 2i và n = 2j để m + n = 2i + 2j = 2 (i + j) và do đó m + n là số chẵn. Bởi vì các nhà toán học suy nghĩ và viết trong ngôn ngữ tự nhiên, họ thường sẽ dựa vào ngữ cảnh để loại bỏ sự mơ hồ. Ví dụ, không có ers fi quanti trong các bằng chứng trên. Tuy nhiên câu, trong khi về mặt kỹ thuật không đầy đủ như một chứng minh, nắm bắt được bản chất của lý do tại sao các tổng của hai số chẵn là số chẵn. Một đầy đủ (nhưng chính thức hơn và dài dòng hơn bình thường) bằng chứng điển hình có thể đi như thế này. Hãy để m và n là các số nguyên. Giả sử m và n là chẵn. Nếu m và n là chẵn thì bởi định nghĩa fi de có số nguyên i và j mà m = 2i và n = 2j. Như vậy có số nguyên i và j mà m = 2i và n = 2j. Sau đó m + n = 2i + 2j = 2 (i + j), vậy theo định nghĩa de fi m + n là một số nguyên chẵn. Chúng tôi đã chỉ ra rằng nếu m và n là chẵn thì m + n là số chẵn. Vì vậy cho mỗi m và n, nếu m và n là số nguyên thậm chí, sau đó như vậy là m + n.