Of course, as in any mathematical w

Of course, as in any mathematical work, the reader must know the prerequisites, in this case Books VII, VIII, and IX of Euclid’s Elements, “since it is not our intention in this book to repeat [Euclid’s] words.” But Levi did insist on giving careful, Euclidean-style proofs of all his results. The most important aspects of Levi’s work are the combinatorial theorems. It is here that he used, somewhat more explicitly than his Islamic predecessors, the essentials of the method of mathematical induction, what he calls the process of “rising step by step
without end.” In general, when Levi used such a proof, he first proved the inductive step, the step that allows one to move from k to k + 1, next noted that the process begins at some small value of k, and then finally gave the complete result. Nowhere did he state the modern
principle of induction, but it does appear that he knew how to use it. In fact, he used it initially in connection with two of the earliest theorems in the book, theorems that deal with associativity and commutativity of multiplication.
PROPOSITION 9 If one multiplies a number which is the product of two numbers by a third number, the result is the same as when one multiplies the product of any two of these three numbers by the third.
PROPOSITION 10 If one multiplies a number which is the product of three numbers by a fourth number, the result is the same as when one multiplies the product of any three of these four numbers by the fourth.
In modern notation, the first result states that a(bc) = b(ac) = c(ab), while the second extends that result to four factors. The proof of Proposition 9 simply involves counting the number of times the various factors of the product appear in that product. In the proof of Proposition 10, Levi noted that a(bcd) contains bcd a times. Since by Proposition 9, bcd
can be thought of as b(cd), it follows that the product a(bcd) contains acd b times, or, a(bcd) = b(acd), as desired. Levi then generalized these two results to any number of factors: “By the process of rising step by step without end, this is proved; that is, if one multiplies
a number which is the product of four numbers by a fifth number, the result is the same as when one multiplies the product of any four of these by the other number. Therefore, the result of multiplying any product of numbers by another number contains any of these numbers as many times as the product of the others.”14 We see here the essence of the principle of mathematical induction. Levi used the principle again in proving that (abc)d = (ab)(cd) and concluded that one can use the same proof to demonstrate the result without end: Any number contains the product of two of its factors as many times as the product of the remaining factors.

Kết quả (Việt) 1:

Tất nhiên, như trong bất kỳ công việc toán học, người đọc phải biết điều kiện tiên quyết, trong trường hợp này sách VII, VIII và IX của của Euclid, "kể từ khi nó là không ý định của chúng tôi trong cuốn sách này để lặp lại [Euclid] từ." Nhưng Levi đã nhấn mạnh vào việc đưa ra bằng chứng cẩn thận, Euclid phong cách của tất cả các kết quả của mình. Các khía cạnh quan trọng nhất của Levi's làm việc là các định lý tổ hợp. It's ở đây rằng ông đã sử dụng, hơi hơn một cách rõ ràng hơn so với người tiền nhiệm Hồi giáo, cốt yếu của phương pháp quy nạp toán học, cái mà ông gọi là quá trình "tăng từng bướckhông có kết thúc." Nói chung, khi Levi sử dụng như là một bằng chứng, ông chính đã chứng minh là bước quy nạp, các bước cho phép một để di chuyển k k + 1, tiếp theo ghi nhận rằng quá trình bắt đầu tại một số giá trị nhỏ của k, và sau đó finally đã cho kết quả hoàn thành. Không có nơi nào ông đã làm nhà nước hiện đạiCác nguyên tắc của cảm ứng, nhưng nó xuất hiện rằng ông biết làm thế nào để sử dụng nó. Trong thực tế, ông đã sử dụng nó ban đầu kết hợp với hai trong số các định lý sớm nhất trong cuốn sách, định lý đối phó với associativity và commutativity của phép nhân.DÖÏ LUAÄT 9 nếu một multiplies một số là sản phẩm của hai số bằng số thứ ba, kết quả là tương tự như khi một sẽ nhân là sản phẩm của bất kỳ hai trong các số ba thứ ba.DÖÏ LUAÄT 10 nếu một multiplies một số là sản phẩm của ba con số của một số thứ tư, kết quả là tương tự như khi một sẽ nhân là sản phẩm của bất kỳ ba của những con số này bốn thứ tư.Trong quan niệm hiện đại, kết quả vòng tiểu bang đó a(bc) = b(ac) = c(ab), trong khi thứ hai kéo dài mà kết quả vào bốn yếu tố. Bằng chứng của Döï Luaät 9 chỉ đơn giản là liên quan đến việc đếm số lần các yếu tố khác nhau của sản phẩm xuất hiện trong các sản phẩm đó. Bằng chứng của Döï Luaät 10, Levi đã a(bcd) mà có chứa bcd một lần. Kể từ khi bởi Döï 9, bcdcó thể được suy nghĩ của như b(cd), sau đó a(bcd) sản phẩm chứa acd b lần hoặc, a(bcd) = b(acd), như mong muốn. Levi sau đó tổng quát hóa các kết quả hai đến bất kỳ số nào của các yếu tố: "do quá trình tăng từng bước không có kết thúc, điều này đã được chứng minh; đó là, nếu một multipliesmột số là sản phẩm của bốn con số của một số fifth, kết quả là giống như khi một multiplies các sản phẩm bất kỳ 4 số này bằng số khác. Vì vậy, kết quả của bất kỳ sản phẩm nào của số điện thoại theo một số nhân chứa bất kỳ của những con số như nhiều lần các sản phẩm của người khác." 14 chúng tôi nhìn thấy ở đây là bản chất của các nguyên tắc quy nạp toán học. Levi sử dụng theo nguyên tắc một lần nữa trong chứng minh rằng d (abc) = (ab)(cd) và kết luận rằng một có thể sử dụng cùng một bằng chứng để chứng minh kết quả không có kết thúc: bất kỳ số chứa các sản phẩm của hai trong số các yếu tố như nhiều lần các sản phẩm của các yếu tố còn lại.

Kết quả (Việt) 2:

Tất nhiên, như trong bất kỳ công việc toán học, người đọc phải biết các điều kiện tiên quyết, trong trường hợp này Sách VII, VIII và IX Elements của Euclid, "vì nó không phải là ý định của chúng tôi trong cuốn sách này để lặp lại lời nói của [Euclid]." Nhưng Levi đã nhấn mạnh vào cho cẩn thận, bằng chứng Euclide-phong cách của tất cả các kết quả của mình. Các khía cạnh quan trọng nhất của công việc của Levi là các định lý tổ hợp. Đây là nơi mà ông đã sử dụng, phần nào một cách rõ ràng hơn những người tiền nhiệm Hồi giáo của ông, những yếu tố cần thiết của phương pháp quy nạp toán học, những gì ông gọi là quá trình "bước lên bước
không có kết thúc." Nói chung, khi Levi sử dụng một bằng chứng như vậy, ông fi đầu tiên đã chứng minh các bước quy nạp, các bước cho phép một để di chuyển từ k k + 1, bên cạnh lưu ý rằng quá trình này bắt đầu từ một số giá trị nhỏ của k, và sau đó fi nally đã cho kết quả đầy đủ. Không có nơi nào anh ấy nêu hiện đại
nguyên tắc cảm ứng, nhưng nó xuất hiện rằng ông biết làm thế nào để sử dụng nó. Trong thực tế, ông đã sử dụng nó ban đầu trong kết nối với hai trong số các định lý đầu tiên trong cuốn sách, định lý mà đối phó với associativity và giao hoán của phép nhân.
DÖÏ 9 Nếu một nhân với một số trong đó là sản phẩm của hai số với một số thứ ba, kết quả cũng giống như khi một nhân các sản phẩm của bất kỳ hai trong ba số bằng các thứ ba.
DÖÏ 10 Nếu một nhân với một số trong đó là sản phẩm của ba số bằng một số thứ tư, kết quả là giống như khi một nhân các sản phẩm của bất kỳ ba trong bốn số bằng các thứ tư.
trong ký hiệu hiện đại, kết quả đầu tiên kinh nói rằng một (bc) = b (ac) = c (ab), trong khi thứ hai kéo dài kết quả là bốn yếu tố. Bằng chứng của Dự 9 đơn giản liên quan đến việc đếm số lần các yếu tố khác nhau của các sản phẩm xuất hiện trong sản phẩm đó. Trong chứng minh của Dự Luật 10, Levi lưu ý rằng một (BCD) chứa BCD một lần. Kể từ bởi Dự 9, BCD
có thể được coi là b (cd), nó sau đó các sản phẩm một (BCD) có lần b ACD, hoặc, một (BCD) = b (ACD), như mong muốn. Levi sau đó khái quát hai kết quả này với bất kỳ số lượng các yếu tố: "Bởi quá trình bước tăng bước mà không có kết thúc, điều này được chứng minh; có nghĩa là, nếu một nhân với
một số trong đó là sản phẩm của bốn số của một số fi fth, kết quả là giống như khi một nhân các sản phẩm của bất kỳ bốn trong số những bằng của số khác. Do đó, kết quả của phép nhân bất kỳ sản phẩm số của một số khác chứa bất kỳ của những con số này nhiều lần như các sản phẩm của người khác. "14 Chúng ta thấy ở đây bản chất của các nguyên tắc quy nạp toán học. Levi sử dụng nguyên tắc một lần nữa trong việc chứng minh rằng (abc) d = (ab) (cd) và kết luận rằng người ta có thể sử dụng các bằng chứng tương tự để chứng minh là kết quả không có kết thúc: Bất kỳ số có chứa các sản phẩm của hai yếu tố của nó nhiều lần như các sản phẩm của các yếu tố còn lại.