4.1. The Phenomenon of BucklingIn t

4.1. The Phenomenon of Buckling
In the linear theory of structural analysis, the behavior of a structure under a given loading is unique. For specified loading and support conditions the structure can deform in only one way and have only one internal stress state. For sufficiently large loads the nonlinear aspects of structural behavior can no longer be ignored. One of the causes of nonlinearity is nonlinear material behavior for which Hooke's law no longer applies. It is possible, however, for the structure to behave in a nonlinear fashion while the material is still in the elastic range. This is especially true for structures for which one dimension is small compared to the others, such as in long beams or thin plates and shells.
One of the phenomena which may occur is that of buckling. The classic example is that of an axially compressed initially straight beam which is found to have two distinct equilibrium positions, the straight position and a deflected position, when the load exceeds a certain critical value. Similarly, an initially flat plate under inplane loading can deflect laterally and remain in equilibrium when the load exceeds a critical value. In both of these cases the critical load is a reasonably accurate measure of the load below which deflections will not become excessive. Thin shells are also subject to buckling, but the effect of small initial deviations from the idealized shape can result in actual critical loads which are very much less than those calculated theoretically. For these structures recourse is usually had to empirical "knockdown factors" by means of which the theoretical load is reduced.
4.2. Calculation of Critical Loads
Critical loads are calculated by considering a structure which has an initial stress and deformation state due to some distribution of externally applied loads with a magnitude governed by a proportionality factor . When the linear theory of elasticity is used, the calculated initial stress and deformation states are proportional to the external loading and thus have a magnitude which varies linearly with . The equilibrium of the structure when arbitrary infinitesimal disturbances of the initial deflection state are superimposed is then investigated. The equations of equilibrium are linearized with respect to the small disturbances so that their solution by means of the finite element method leads to a set of simultaneous linear equations for the modal unknowns of the form
[ ]{ } { }
Equation 4-1

where KB is the usual structural stiffness matrix in the absence of applied loading while KG is a “geometric stiffness matrix” which is independent of the material properties of the structure.


For solutions other than the initial stress state to exist, i.e.,
{ } { }
Equation 4-2

the determinant of the coefficients matrix must vanish. Then an equation for is given by
[ ]
Equation 4-3

The lowest value of which satisfies equation (4.3) is called the critical value, the value at which the structure can suddenly undergo large deformations which differ from the expected deformation state under the system of loading. The corresponding distribution of nodal values of q is called the buckling mode shape. Relative values of q may be calculated by deleting one equation from Eqs (4.1) and solving for the ratio of N- 1 of the nodal values and the Nth nodal value.
4.3. Variational Principles for Buckling
A variational principle from which critical loads can be obtained is given by






with

Equation 4-4




∭(



̅ )


and

Equation 4-5a


{ }
Equation 4-6b








̅


[ ]
Equation 4-5c
The superscript 0 on the stresses denotes a distribution calculated from linear elasticity theory. The coefficient A is the proportionality factor by which the calculated linear stress state must be multiplied for buckling to occur. The initial stress state may be the superposition of stress distributions with different proportionality factors, i.e.,


̅ ∑ ̅

Equation 4-6

in which case the variational principle becomes


∭ ( ∑ ̅ )
Equation 4-7

The variational principle may be specialized for various types of structures and load conditions.

4.3.1. Inplane Buckling for Plane Stress, Plane Strain, Axisymmetric Stress States
For a body in a state of plane stress or plane strain which is subject only to inplane buckling,



while and are functions of x and y only. Then for a orthotropic material
{ }
Equation 4-8a



[

Equation 4-8b
{ }
Equation 4-8c

̅

]
[
Equation 4-8d



∬(


̅ )

Equation 4-9

where the integration is over the area of the body.

For an axisymmetric body with an initial axisymmetric stress state and which buckles axisymmetrically, the function 1tB is of the same form as given in Eq. (4.9). However, the matrices in that expression are now defined by
{ }
Equation 4-10a


[ ]
Equation 4-10b
{ }
Equation 4-10c




̅


]
[


4.3.2. Straight Beams

Equation 4-10d

For buckling of straight beams with shear deformations included, the usual assumptions of beam theory are made. Then, with x, y, and z denoting the centroidal longitudinal axis and the centroidal principle axes, respectively,


∫ [( )

( )


( ) ]


Equation 4-11

where the strain energy is given by Eqs. (2.1 2) and (2.14) and is the axial load calculated from a linear analysis and assumed positive in compression. With this formulation, the beam element may have an arbitrary orientation in space when the proper axis rotations are made. The form of the variational equation implies that interpolation functions chosen for displacements and rotations need only satisfy continuity at element edges.
For overall buckling of trusses, the members are assumed to change orientation but to remain straight. Then may be written as


∫ { ( )

[( )


( )


( )


]}

Equation 4-12


In all functionals, the term ( )



may be deleted since





Equation 4-13


4.3.3. Flat Plates
Assumptions similar to those for linear analysis of flat plates are made for buckling of flat plates. Then the functional may be written for an isotropic plate as

̅ ̅

∫ {

} [
̅

] { }


Equation 4-14
where is the strain energy given by Eqs. (2.19) to (2.22) and ̅ , ̅ , ̅ are inplane stress resultants in the plate prior to buckling. If shearing deformations are neglected for thin plates, the
strain energy function is replaced by Eqs. (2.19), (2.25), and (2.26). In the former formulation
continuity is required whereas in the latter continuity is needed.

4.4. Calculation of Eigenvalues
The lowest buckling load is generally the only one of interest so that use of the inverse iteration method is indicated. Any of the other eigenvalue extraction methods can be used, however.

Kết quả (Việt) 1:

4.1. hiện tượng của sự oằnTrong lý thuyết phân tích cấu trúc tuyến tính, hành vi của một cơ cấu theo một tải nhất định là duy nhất. Đối với các điều kiện quy định của tải và hỗ trợ cấu trúc có thể biến dạng trong chỉ có một cách và có chỉ có một căng thẳng nội bộ nhà nước. Cho đủ lớn tải phi tuyến các khía cạnh của cấu trúc hành vi không còn có thể được bỏ qua. Một trong những nguyên nhân của nonlinearity là phi tuyến hành vi vật chất mà Hooke của pháp luật không còn áp dụng. Nó là có thể, Tuy nhiên, cho các cấu trúc để hành xử một cách phi tuyến trong khi các tài liệu là vẫn còn trong phạm vi đàn hồi. Điều này đặc biệt đúng cho các cấu trúc mà một kích thước là nhỏ so với những người khác, chẳng hạn như trong dài dầm hoặc mỏng tấm và vỏ.Một trong những hiện tượng mà có thể xảy ra là sự oằn. Ví dụ điển hình là của một chùm tia ban đầu thẳng trục nén được tìm thấy có hai khác biệt cân bằng vị trí, vị trí thẳng và một vị trí bên, khi tải trọng vượt quá một giá trị quan trọng nhất định. Tương tự, một tấm phẳng ban đầu dưới inplane tải có thể làm chệch hướng sang hai bên và vẫn còn trong trạng thái cân bằng khi tải trọng vượt quá giá trị quan trọng. Trong cả hai trường hợp những tải quan trọng là một thước đo chính xác hợp lý tải dưới đây mà deflections sẽ không trở nên quá nhiều. Vỏ mỏng là cũng tùy thuộc vào sự oằn, nhưng tác dụng của nhỏ ban đầu độ lệch từ hình dạng lý tưởng hóa có thể dẫn đến thực tế quan trọng tải mà rất nhiều ít hơn những tính toán lý thuyết. Các cấu trúc tin tưởng thường phải thực nghiệm "yếu tố knockdown" bằng phương tiện mà tải trọng lý thuyết là giảm.4.2. tính toán của quan trọng tảiQuan trọng tải được tính bằng cách xem xét một cấu trúc nó có một nhà nước căng thẳng và biến dạng ban đầu do một số phân phối tải ứng dụng bên ngoài với một cấp sao biểu kiến chi phối bởi một nhân tố proportionality. Khi lý thuyết tuyến tính đàn hồi được sử dụng, các tính toán ban đầu căng thẳng và biến dạng kỳ là tỷ lệ thuận với tải bên ngoài và do đó có một cấp sao biểu kiến trong khoảng tuyến tính với. Cân bằng của cấu trúc khi bất kỳ rối loạn infinitesimal của nhà nước ban đầu lệch có đươc sau đó được điều tra. Phương trình cân bằng được linearized đối với các rối loạn nhỏ vì vậy rằng giải pháp của họ bằng phương tiện của các phương pháp phần tử hữu hạn dẫn đến một tập hợp các phương trình tuyến tính đồng thời cho các ẩn số phương thức của các hình thức[ ]{ } { }Phương trình 4-1nơi KB là ma trận cứng cấu trúc thông thường trong sự vắng mặt của ứng dụng tải trong khi KG là một ma trận hình học cứng"" mà là độc lập của các tài sản vật chất của cấu trúc. Các giải pháp khác hơn so với nhà nước ban đầu căng thẳng để tồn tại, tức là,{ } { }Phương trình 4-2định thức của ma trận hệ phải tan biến. Sau đó một phương trình cho được cho bởi [ ] Phương trình 4-3Giá trị thấp nhất trong đó thỏa mãn phương trình (4.3) được gọi là giá trị quan trọng, giá trị mà tại đó cấu trúc có thể đột nhiên trải qua biến dạng lớn khác với nhà nước dự kiến sẽ biến dạng trong hệ thống của tải. Bản phân phối tương ứng của các nút giá trị của q được gọi là hình dạng chế độ buckling. Các giá trị tương đối của q có thể được tính toán bằng cách xoá một phương trình từ Eqs (4,1) và giải quyết cho tỷ lệ N - 1 của các giá trị nút và giá trị nút thứ n.4.3. variational nguyên tắc cho sự oằnMột nguyên tắc variational từ đó quan trọng tải có thể được thu được được cho bởi với Phương trình 4-4 ∭( ̅ ) và Phương trình 4-5a { }Phương trình 4-6b ̅ [ ]Phương trình 4-5cViết bên trên 0 trên những căng thẳng biểu thị phân phối một tính từ lý thuyết tuyến tính đàn hồi. Hệ số A là yếu tố proportionality mà nhà nước căng thẳng tuyến tính tính toán phải được nhân rộng cho sự oằn xảy ra. Nhà nước ban đầu căng thẳng có thể là chồng chập căng thẳng phân phối với các yếu tố khác nhau proportionality, tức là, ̅ ∑ ̅ Phương trình 4-6trong trường hợp các nguyên tắc variational trở thành ∭ ( ∑ ̅ ) Phương trình 4-7Variational nguyên tắc có thể được đặc biệt với nhiều loại hình cấu trúc và tải điều kiện.4.3.1. inplane sự oằn cho máy bay căng thẳng, căng thẳng máy bay, Axisymmetric căng thẳng kỳCho một cơ thể trong trạng thái của máy bay căng thẳng hoặc căng thẳng chiếc máy bay đó là chủ đề chỉ đến sự oằn inplane,trong khi và chức năng của x và y chỉ. Sau đó cho một vật liệu orthotropic { }Phương trình 4-8a [ Phương trình 4-8b { }Phương trình 4-8c ̅ ][ Phương trình 4-8d ∬( ̅ ) Phương trình 4-9nơi hội nhập là trong khu vực của cơ thể.Đối với một cơ thể axisymmetric với một nhà nước ban đầu căng thẳng axisymmetric và mà khóa axisymmetrically, chức năng 1 tB là của hình thức tương tự như được đưa ra trong Eq. (4.9). Tuy nhiên, các ma trận trong biểu hiện mà bây giờ được xác định bởi { }Phương trình 4-10a [ ]Phương trình 4-10b { }Phương trình 4-10c ̅ ][ 4.3.2. thẳng dầm Phương trình 4-10d Đối với sự oằn của dầm thẳng với cắt biến bao gồm, các giả định thông thường của chùm lý thuyết được thực hiện. Sau đó, với x, y, và z biểu thị theo chiều dọc trục centroidal và các nguyên tắc centroidal trục, tương ứng, ∫ [( ) ( ) ( ) ] Phương trình 4-11nơi năng lượng căng thẳng được đưa ra bởi Eqs. (2,1 2) và (2,14) và tải trọng trục tính từ một phân tích tuyến tính và giả định tích cực trong nén. Với công thức này, các yếu tố chùm có thể có một định hướng bất kỳ trong không gian khi phép quay trục thích hợp được thực hiện. Các hình thức của phương trình variational ngụ ý rằng một vài từ chức năng được lựa chọn cho displacements và phép quay chỉ cần đáp ứng liên tục tại yếu tố cạnh.Cho tổng thể sự oằn trusses, các thành viên được giả định thay đổi định hướng nhưng vẫn còn thẳng. Sau đó có thể được viết dưới dạng ∫ { ( ) [( ) ( ) ( ) ]} Phương trình 4-12 Trong tất cả functionals, thuật ngữ) có thể bị xóa từ Phương trình 4-13 4.3.3. phẳng tấmGiả định tương tự như cho tuyến tính phân tích của tấm phẳng được thực hiện cho sự oằn tấm phẳng. Sau đó các chức năng có thể được viết cho một mảng đẳng hướng như ̅ ̅ ∫ { } [ ̅ ] { } Phương trình 4-14nơi được năng lượng căng thẳng cho bởi Eqs. (2.19) để (2,22) và ̅, ̅, ̅ là inplane căng thẳng resultants trong tấm trước khi sự oằn. Nếu sự xén lông trừu biến dạng được bỏ rơi cho tấm mỏng, cácbiến dạng năng lượng chức năng được thay thế bởi Eqs. (2.19), (2,25), và (2,26). Trong việc xây dựng cũ liên tục là cần thiết trong khi trong sự liên tục sau này là cần thiết.4.4. tính toán tuyếnTải trọng thấp nhất buckling nói chung là người duy nhất quan tâm để sử dụng phương pháp lặp nghịch đảo được chỉ định. Bất kỳ các phương pháp khai thác eigenvalue khác có thể được sử dụng, Tuy nhiên.

Kết quả (Việt) 2:

4.1. Hiện tượng của oằn
Trong lý thuyết tuyến tính của phân tích cấu trúc, hành vi của một cấu trúc dưới một tải cho là độc đáo. Để tải và hỗ trợ các điều kiện quy định cơ cấu có thể làm biến dạng một cách duy nhất và chỉ có một trạng thái căng thẳng nội bộ. Đối với tải đủ lớn các khía cạnh phi tuyến của kết cấu không còn có thể được bỏ qua. Một trong những nguyên nhân của hành vi phi tuyến là vật liệu phi tuyến mà pháp luật Hooke của không còn được áp dụng. Nó là có thể, tuy nhiên, đối với các cấu trúc để hành xử một cách phi tuyến trong khi vật liệu vẫn còn trong phạm vi đàn hồi. Điều này đặc biệt đúng đối với các cấu trúc mà một chiều là nhỏ so với những người khác, chẳng hạn như trong các chùm dài hoặc các tấm mỏng và vỏ sò.
Một trong những hiện tượng đó có thể xảy ra là các oằn. Các ví dụ điển hình là của một trục nén chùm đầu thẳng mà được tìm thấy có hai vị trí cân bằng riêng biệt, vị trí thẳng và một vị trí chệch hướng, khi tải vượt quá một giá trị quan trọng nhất định. Tương tự như vậy, một tấm ban đầu phẳng dưới inplane tải có thể làm chệch hướng sang hai bên và vẫn còn trong trạng thái cân bằng khi tải vượt quá một giá trị quan trọng. Trong cả hai trường hợp tải trọng là một biện pháp hợp lý chính xác của các tải trọng dưới đây mà độ võng sẽ không trở nên quá mức. Vỏ mỏng cũng phải chịu oằn, nhưng hiệu quả của những sai lệch nhỏ ban đầu từ hình dạng lý tưởng hóa có thể dẫn đến tải trọng thực tế là rất ít hơn nhiều so với những tính toán về mặt lý thuyết. Đối với các cấu trúc truy đòi thường phải thực nghiệm "yếu tố rời", nhờ đó tải lý thuyết là giảm.
4.2. Tính toán tải trọng
tải trọng được tính toán bằng cách xem xét một cấu trúc trong đó có một sự căng thẳng ban đầu và trạng thái biến dạng do một số phân phối bên ngoài áp dụng tải với một cường độ điều chỉnh bởi hệ số tỉ lệ. Khi lý thuyết tuyến tính của độ đàn hồi được sử dụng, trạng thái ứng suất và biến dạng ban đầu tính là tỷ lệ thuận với tải bên ngoài và do đó có một cường độ mà thay đổi tuyến tính với. Các trạng thái cân bằng của cấu trúc khi rối loạn vô cùng độc đoán của nhà nước lệch ban đầu được chồng sau đó được điều tra. Các phương trình cân bằng được tuyến tính đối với các rối loạn nhỏ với rất rằng giải pháp của họ bằng phương tiện của phương pháp phần tử hữu hạn dẫn đến một tập hợp các phương trình tuyến tính đồng thời cho các phương thức ẩn số có dạng
[] {} {}
Equation 4-1 nơi KB là ma trận độ cứng cấu trúc bình thường trong trường hợp không tải ứng dụng trong khi KG là một "ma trận độ cứng hình học" mà là độc lập của các thuộc tính vật chất của cấu trúc. Đối với các giải pháp khác hơn so với trạng thái ứng suất ban đầu để tồn tại, ví dụ, {} {} Equation 4-2 định thức của ma trận hệ số phải tan biến. Sau đó, một phương trình cho được cho bởi [] Phương trình 4-3 Giá trị thấp nhất của thỏa mãn phương trình (4.3) được gọi là giá trị quan trọng, giá trị mà tại đó cấu trúc đột nhiên có thể trải qua biến dạng lớn mà khác với các trạng thái biến dạng dự kiến dưới hệ thống tải. Sự phân bố tương ứng với các giá trị của nút q được gọi là hình thức oằn. Giá trị tương đối của q có thể được tính bằng cách xóa một phương trình từ phương trình (4.1) và giải quyết cho tỉ số N- 1 trong những giá trị của nút và các giá trị của nút thứ N. 4.3. Nguyên tắc biến phân cho oằn Một nguyên tắc biến phân từ đó tải quan trọng có thể thu được cho bởi với phương trình 4-4 ∭ (̅) và phương trình 4-5a {} Equation 4-6b ̅ [] Equation 4-5c Các superscript 0 trên ứng suất biểu thị một phân phối tính từ lý thuyết đàn hồi tuyến tính. Các hệ số A là hệ số tỉ lệ theo đó các trạng thái ứng suất tuyến tính tính toán phải được nhân cho oằn xảy ra. Các trạng thái ứng suất ban đầu có thể là chồng chất của phân phối căng thẳng với các yếu tố tương xứng khác nhau, ví dụ, ̅ Σ ̅ Equation 4-6 trong trường hợp các nguyên tắc biến phân trở nên ∭ (Σ ̅) Equation 4-7 Nguyên lý biến phân có thể được chuyên môn với nhiều loại hình các cấu trúc và điều kiện tải. 4.3.1. Inplane oằn cho Plane Stress, Plane Strain, axisymmetric stress Hoa Đối với một cơ thể trong trạng thái căng thẳng máy bay hoặc biến dạng phẳng mà là đối tượng duy nhất để inplane oằn, trong khi và là chức năng của x và y chỉ. Sau đó, cho một vật liệu trực hướng {} Phương trình 4-8a [Equation 4-8b {} Equation 4-8c ̅] [Equation 4-8d ∬ (̅) Equation 4-9 nơi hội nhập là trên các vùng của cơ thể. Đối với một cơ thể axisymmetric với một trạng thái ứng suất axisymmetric ban đầu và có khóa axisymmetrically, chức năng 1TB có dạng giống như được đưa ra trong phương trình. (4.9). Tuy nhiên, các ma trận trong biểu thức mà hiện nay được định nghĩa bởi {} Equation 4-10a [] Equation 4-10b {} Equation 4-10c ̅] [4.3.2. Thẳng Beams Equation 4-10d Đối oằn của dầm thẳng với biến dạng cắt bao gồm, các giả định thông thường của lý thuyết dầm được thực hiện. Sau đó, với x, y, và z biểu thị trục dọc centroidal và các trục nguyên tắc centroidal, tương ứng, ∫ [() () ()] Equation 4-11 nơi năng lượng biến dạng được cho bởi phương trình. (2.1 2) và (2.14) và là tải trọng trục tính toán từ một phân tích tuyến tính và giả định tích cực trong nén. Với công thức này, các phần tử dầm có thể có một định hướng tùy ý trong không gian khi quay trục thích hợp được thực hiện. Các hình thức của phương trình biến phân ngụ ý rằng chức năng nội suy chọn cho chuyển và xoay cần chỉ đáp ứng liên tục ở cạnh yếu tố. Đối với oằn tổng thể của khung, các thành viên được giả định thay đổi định hướng nhưng vẫn thẳng. Sau đó có thể được viết như ∫ {() [() () ()]} Equation 4-12 Trong tất cả functionals, thuật ngữ () có thể bị xóa từ phương trình 4-13 4.3.3. Tấm phẳng giả định tương tự như phân tích tuyến tính của tấm phẳng được làm cho oằn tấm phẳng. Sau đó, các chức năng có thể được viết cho một tấm đẳng hướng như ̅ ̅ ∫ {} [̅] {} Equation 4-14 mà là năng lượng biến dạng được đưa ra bởi phương trình. (2.19) đến (2.22) và ̅, ̅, ̅ là tâm quả căng thẳng inplane trong tấm trước khi oằn. Nếu biến dạng xén lông đang bị bỏ quên cho các tấm mỏng, các chức năng năng lượng biến dạng được thay thế bởi phương trình. (2.19), (2.25) và (2.26). Trong cựu xây dựng liên tục là cần thiết trong khi trong sự liên tục sau này là cần thiết. 4.4. Tính toán giá trị riêng Các tải oằn thấp nhất thường là người duy nhất quan tâm để sử dụng các phương pháp nghịch đảo lặp được chỉ định. Bất kỳ của các phương pháp khai thác eigenvalue khác có thể được sử dụng, tuy nhiên.