The structural dynamics in aeroelas

The structural dynamics in aeroelasticity calculations are often based on beam
theory. The standard beam theory is linear and known as the Euler-Bernoulli
beam theory. The relationship between the applied load per unit length, q, and
the deflection, h, is described with the following equation, where x is the direction
of the beam:
ρBA
∂h2
∂
2t
+
d
2
dx2

EI d
2h
dx2

= q(x, t) [N/m] (3.1)
Another common method is the Timoshenko beam theory [22]. This model takes
into account shear deformation and rotational inertia effects. The governing dynamic
equations using in beam model are:
ρBA
∂h2
∂2t =
d
dx
κAG
dh
dx − ϕ

+ q(x, t) [N/m]
J
d
2ϕ
dx2 =
d
dx 
EI dϕ
dx 
+ κAG
dh
dx − ϕ


[−]
(3.2)
In both equations, E is the Young’s elastic modulus, x is the direction outward on
the beam, and I is the moment of inertia of the beam. ϕ is the slope of the beam
due to bending, A is the area of the beam and G the shear modulus of the beam. κ
is the Timoshenko shear coefficient, which varies with the geometry of the beam. If
the shear modulus of the beam approaches infinity and rotational inertia effects are
neglected, the Timoshenko beam theory converges towards Euler-Bernoulli beam
theory.
13
To calculate how the structures react to external forces, the equations of motion of
the structure has to be known. To derive the equations of motion for a structure,
it is possible to use Lagrange’s equation:
d
dt 
∂L
∂x˙j

−
∂L
∂xj
= Qj [N] (3.3)
where L is the Lagrangian operator: L = T − V. T is the kinetic energy of the
system and V is the potential energy. xj is the independent coordinates and Qj
are the generalized forces.
After a examination of the system and forces at hand, and possibly Lagrange
method, the equations of motion can then be found:
M¨x + C ˙x + Kx = Q [N] (3.4)
where M is the mass matrix, C is the damping matrix, K is the striffness matrix
and Q is the external forces. There are several ways to write out the equations of
motion for a wing. In Fung [5] the equations of motion for a cantilever wing are
described, using Euler-Bernoulli beam theory and two DoF, as:
∂
2
∂x2

EI ∂
2h
∂x2

+ m∂
2h
∂t2 + mcaCG
∂
2
θ
∂t2 + L = 0 [N]
∂
∂x
GJ ∂θ
∂x

− Iα
∂
2
θ
∂t2 + mcaCG
∂
2h
∂t2 + M = 0 [Nm]
(3.5)
L is the aerodynamic lift and M the aerodynamic moment. The equations of
motion can also be written using stiffness and damping coefficients. The structure
is then modelled as a spring-mass-damper system, with the springs and dampers as
shown in figure 3.4. It is also possible to model the edgewise motion with a spring
and a damper.
W0
α
CG
L
AC
kf
kt
df
dt
Figure 3.4: A blade element modeled with springs and dampers in flapwise and
torsional direction
14
When studying aeroelastic instability on a blade it may be useful to express the
stiffness as function of the uncoupled modal frequencies, ω. The subscript f denotes
flapwise and t denotes torsional direction.
kf = ω
2
fm, kt = ω
2
t m [N/m] (3.6)
For a blade section of a wind turbine with only 2 DoFs, flapwise and torsional,
where structural damping is neglected, the linear equations of motion can, using
this, be written as [5]:
mh¨ − mcaCG ¨θ + kfh = L [N]
−mcaCGh¨ + mc2
(r
2
CG + a
2
CG)
¨θ + ktθ = caCGL [Nm]
(3.7)
where rCG =
I
m · c
is the radius of gyration normalized whit the chord length c,
and kf and kt is the flapwise and torsional stiffness respectively.
To better describe the motions of a blade section the edgewise DoF has to be
considered, in addition to the flapwise and torsional DoFs. A lower order model
of a blade section with both spring and dampers using all 3 DoFs can be found in
Kallesøe [23]. The method is an extension from Hodges-Dowell’s partial differential
equation for helicopter wings.
The damping of the aeroelastic system is mainly due to the aerodynamic forces. But
also the structure dampens oscillations. The structural damping of the wind turbine
blade was studied in the DAMPBLADE project [12], where tools for modelling the
damping was developed, as well as new types of more damped composite blades.
Some new approaches for increased damping of composite blades which were investigated
in the DAMPBLADE project was [12]:
• Using composites of high-damping polymer matrices.
• Tailoring ply orientation, fibre volume fraction and stacking sequence for
optimal damping capacity.
• Using sandwich composite laminates with shearly damped polymer foam

Kết quả (Việt) 1:

Các động thái cấu trúc trong aeroelasticity tính toán thường dựa vào chùmlý thuyết. Lý thuyết tiêu chuẩn chùm là tuyến tính và được gọi là Euler-Bernoullilý thuyết chùm. Mối quan hệ giữa tải ứng dụng cho một đơn vị chiều dài, q, vàđộ lệch, h, được mô tả với phương trình sau đây, nơi x là sự chỉ đạocủa các chùm tia:ΡBA∂H2∂2T+d2DX2EI d2hDX2= q (x, t) [N/m] (3.1)Một phương pháp phổ biến là lý thuyết chùm Timoshenko [22]. Mô hình này mấtvào tài khoản shear biến dạng và các hiệu ứng quán tính quay. Năng động quản lýphương trình được sử dụng trong chùm mô hình là:ΡBA∂H2∂2T =dDXΚAGDHDX − ϕ+ q (x, t) [N/m]Jd2ΦDX2 =dDXEI dϕDX+ ΚAGDHDX − ϕ
[−](3.2)Trong cả hai phương trình, E là mô đun đàn hồi của trẻ, x là hướng ra nước ngoài trênCác chùm tia, và tôi là moment quán tính của các chùm tia. Φ là độ dốc của các chùm tiado uốn, A là khu vực của chùm tia và G mô đun cắt của các chùm tia. Κlà hệ số cắt Timoshenko, với các hình học của các chùm tia khác nhau. NếuMô đun cắt của các chùm tia phương pháp tiếp cận vô cùng và hiệu ứng quán tính quaybỏ qua, lý thuyết chùm Timoshenko hội tụ về phía Euler-Bernoulli chùmlý thuyết.13Để tính toán như thế nào các cấu trúc phản ứng với bên ngoài lực lượng, phương trình của chuyển động củacấu trúc đã được biết đến. Để lấy được các phương trình của chuyển động cho một cấu trúc,nó có thể sử dụng Lagrange của phương trình:dDT∂L∂x˙j−∂L∂XJ= Qj [N] (3,3)nơi L là các nhà điều hành Lagrange: L = T − V. T là năng lượng động học của cácHệ thống và V là năng lượng tiềm năng. XJ là độc lập tọa độ và Qjlà các lực lượng tổng quát.Sau khi một kiểm tra của các hệ thống và lực lượng ở bàn tay, và có thể cả Lagrangephương pháp, các phương trình của chuyển động sau đó có thể được tìm thấy:M¨x C ˙x ++ điện = Q [N] (3,4)nơi M là khối lượng ma trận, C là ma trận damping, K là ma trận striffnessvà Q là các lực lượng bên ngoài. Có rất nhiều cách để viết ra phương trình củachuyển động cho một đôi cánh. Ở Fung [5] các phương trình của chuyển động cho một cánh cần cẩu trụ làMô tả, sử dụng Euler-Bernoulli chùm lý thuyết và hai DoF, như:∂2∂X2EI ∂2h∂X2+ m∂2h∂T2 + mcaCG∂2I∂T2 + L = 0 [N]∂∂xGJ ∂Θ∂x− IΑ∂2I∂T2 + mcaCG∂2h∂T2 + M = 0 [Nm](3.5)L là Thang máy khí động học và M này khí động học. Phương trình củachuyển động này cũng có thể được viết bằng cách sử dụng độ cứng và giảm hệ số. Cấu trúcsau đó theo mô hình hệ thống mùa xuân khối lượng Van điều tiết, với các lò xo và dampers nhưHiển thị trong hình 3.4. Nó cũng có thể làm người mẫu các edgewise chuyển động với một mùa xuânvà một van điều tiết.W0ΑCGLACKFKTDFDTCon số 3,4: Một yếu tố lưỡi làm người mẫu với lò xo và dampers trong flapwise vàvề hướng14Khi nghiên cứu sự mất ổn định aeroelastic vào một lưỡi nó có thể hữu ích để thể hiện cácđộ cứng là chức năng của tần số phương thức uncoupled, ω. Subscript f là bắtflapwise và t là bắt các hướng.KF = ω2FM, kt = ω2t m [N/m] (3,6)Cho một phần lưỡi của một tuốc bin gió với chỉ 2 DoFs, flapwise và các,trong trường hợp cấu trúc dao bỏ qua, các phương trình tuyến tính của chuyển động có thể, bằng cách sử dụngĐiều này, được viết dưới dạng [5]:MH¨ − mcaCG ¨θ + kfh = L [N]−mcaCGh¨ + mc2(r2CG + một2CG)¨Θ + ktθ = caCGL [Nm](3,7)nơi rCG =Tôim · clà bán kính của gyration bình thường whit so với chiều dài c,và kf và kt là flapwise và các độ cứng tương ứng.Để tốt hơn mô tả chuyển động của một lưỡi phần các edgewise sở tài chính đãxem xét, ngoài flapwise và các DoFs. Một mô hình thứ tự thấp hơncủa một lưỡi phần với mùa xuân và chấn làm bằng cách sử dụng tất cả 3 DoFs có thể được tìm thấy trongKallesøe [23]. Các phương pháp là một phần mở rộng từ Hodges-Dowell một phần vi phânphương trình cho máy bay trực thăng cánh.Dao của hệ thống aeroelastic là chủ yếu là do các lực lượng khí động học. Nhưngcũng cấu trúc dampens dao động. Dao cấu trúc của các tua bin giólưỡi được nghiên cứu trong dự án DAMPBLADE [12], nơi mà các công cụ cho mô hình cácdao được phát triển, cũng như mới loại thêm damped composite lưỡi.Một số phương pháp tiếp cận mới để tăng dao lưỡi hỗn hợp mà đã được điều tratrong DAMPBLADE dự án là [12]:• Sử dụng vật liệu composite cao-dao polymer ma trận.• May lớp định hướng, phần nhỏ khối lượng chất xơ và các thứ tự xếp chồng chocông suất damping tối ưu.• Sử dụng hỗn hợp bánh sandwich laminates shearly năm polymer bọt