2.2 Look at the Endpoints1. The exp

2.2 Look at the Endpoints
1. The expression from the left side of the inequality is a linear function in each
of the four variables. Its minimum is attained at one of the endpoints of the interval of
definition. Thus we have only to check a,b,c,d ∈ {0,1}. If at least one of them is 1,
the expression is equal to a+b+c+d, which is greater than or equal to 1. If all of
them are zero, the expression is equal to 1, which proves the inequality.
2. The inequality is equivalent to
a(k−b)+b(k−c)+c(k−a)≤ k2.
If we view the left side as a function in a, it is linear. The conditions from the statement
imply that the interval of definition is [0,k]. It follows that in order to maximize the
left-hand side, we need to choose a ∈ {0,k}. Repeating the same argument for b and c,
it follows that the maximumof the left-hand side is attained for some (a,b,c)∈{0,k}3.
Checking the eight possible situations, we obtain that this maximum is k2, and we are
done.
(All Union Mathematical Olympiad)
3. Let us fix x2,x3, . . . ,xn and then consider the function f : [0,1] → R, f (x) =
x+x2 +· · ·+xn −xx2 · · · xn. This function is linear in x, hence attains its maximum
2.2. Look at the Endpoints 177
at one endpoint of the interval [0,1]. Thus in order to maximize the left side of the
inequality, one must choose x1 to be 0 or 1, and by symmetry, the same is true for the
other variables. Of course, if all xi are equal to 1, then we have equality. If at least
one of them is 0, then their product is also zero, and the sum of the other n−1 terms is
at most n−1, which proves the inequality.
(Romanian mathematics contest)
4. The expression is linear in each of the variables, so, as in the solutions to the
previous problems, the maximum is attained for ak = 12
or 1, k = 1,2, . . . ,n. If ak = 12
for all k, then Sn = n/4. Let us show that the value of Sn cannot exceed this number.
If exactly m of the ak’s are equal to 1, then m terms of the sum are zero. Also, at most m
terms are equal to 12
, namely those of the form ak(1−ak+1) with ak = 1 and ak+1 = 12
.
Each of the remaining terms has both factors equal to 12
and hence is equal to 14
. Thus
the value of the sum is at most m· 0+m/2+(n−2m)/4 = n/4, which shows that the
maximum is n/4.
(Romanian IMO Team Selection Test, 1975)
5. Denote the left side of the inequality by S(x1,x2, . . . ,xn). This expression is
linear in each of the variables xi. As before, it follows that it is enough to prove the
inequality when the xi’s are equal to 0 or 1.
If exactly k of the xi’s are equal to 0, and the others are equal to 1, then S(x1,x2,
. . . ,xn) ≤ n − k, and since the sum x1x2 + x2x3 + · · · + xnx1 is at least n − 2k,
S(x1,x2, . . . ,xn) is less than or equal to n−k−(n−2k) = k. Thus the maximum of
S is less than or equal to min(k,n−k), which is at most n/2
. It follows that for
n even, equality holds when (x1,x2,x3, . . .) = (1,0,1,0, . . . ,1,0) or (0,1,0,1, . . .0,1).
For n odd, equality holds when all pairs (xi,xi+1), i = 1,2, . . . ,n consist of a zero and
a one, except for one pair that consists of two ones (with the convention xn+1 = x1) or
if x1, . . . ,xn is a rotate of 0,1,0,1, . . . ,0,1,x where x is arbitrary (which corresponds to
the case where a linear function is constant hence it attains its extremum on the whole
interval).
(Bulgarian Mathematical Olympiad, 1995)
6. The sum we want to minimize is linear in each variable; hence the minimum is
attained for some ai ∈ {−98,98}. Since there is an odd number of indices, if we look
at the indices mod 19, there exists an i such that ai and ai+1 have the same sign. Hence
the sum is at least −18 · 982+982 = −17 · 982. Equality is attained for example when
a1 = a3 = · · · = a19 = −98, a2 = a4 = · · · = a18 = 98, but it should be observed that
there are other choices that yield the same maximum.
7. For any nonnegative numbers α and β , the function
x → α
x+β
is convex for x ≥ 0. Viewed as a function in any of the three variables, the given
expression is a sum of two convex functions and two linear functions, so it is convex.
Thus when two of the variables are fixed, the maximum is attained when the third is
at one of the endpoints of the interval, so the values of the expression are always less
178 Chapter 2. Algebra and Analysis
than the largest value obtained by choosing a,b,c ∈ {0,1}. An easy check of the eight
possible cases shows that the value of the expression cannot exceed 1.
(USAMO, 1980)
8. If we fix four of the numbers and regard the fifth as a variable x, then the left
side becomes a function of the form αx+β /x+γ , with α,β ,γ positive and x ranging
over the interval [p,q]. This function is convex on the interval [p,q], being the sum of
a linear and a convex function, so it attains its maximum at one (or possibly both) of
the endpoints of the interval of definition. As before, this shows that if we are trying
to maximize the value of the expression, it is enough to let a,b,c,d,e take the values p
and q.
If n of the numbers are equal to p, and 5−n are equal to q, then the left side is
equal to
n2 +(5−n)2+n(5−n)

p
q
+
q
p

= 25+n(5−n)


p
q
−


q
p
2
.
The maximal value of n(5−n) is attained when n = 2 or 3, in which case n(5−n)= 6,
and the inequality is proved.
(USAMO, 1977)

Kết quả (Việt) 1:

2.2 nhìn là hai điểm cuối1. biểu hiện từ phía bên trái của bất đẳng thức là một hàm tuyến tính trong mỗibốn biến. Tối thiểu của nó đạt được tại một trong hai điểm cuối của khoảng thời gianđịnh nghĩa. Do đó chúng tôi đã chỉ đến phòng a, b, c, d ∈ {0,1}. Nếu ít nhất một trong số họ là 1,Các biểu hiện là tương đương với a + b + c + d, mà là lớn hơn hoặc bằng 1. Nếu tất cả củahọ là zero, các biểu hiện là bằng 1, chứng minh sự bất bình đẳng.2. bất đẳng thức là tương đương vớimột (k−b) + b (k−c) + c (k−a) ≤ k2.Nếu chúng ta xem bên trái là một chức năng trong một, nó là tuyến tính. Các điều kiện từ các báo cáongụ ý rằng khoảng thời gian định nghĩa là [0, k]. Nó sau đó để tối đa hóa cácbên trái, chúng ta cần phải chọn một ∈ {0, k}. Lặp đi lặp lại cùng một đối số cho b và c,nó sau maximumof phía bên tay trái đạt được đối với một số (a, b, c) ∈ {0, k} 3.Kiểm tra các tình huống có thể 8, chúng tôi có được này tối đa là k2, và chúng tôi đangthực hiện.(Tất cả liên minh Olympic toán)3. Hãy để chúng tôi sửa chữa x 2, x 3,..., xn và sau đó xem xét hàm số f: [0,1] → R, f (x) =x + x 2 + · + xn −xx2 · XN. Chức năng này là tuyến tính trong x, do đó đạt được tối đa của nó2.2. xem xét là hai điểm cuối 177tại một điểm cuối của khoảng thời gian [0,1]. Do đó để tối đa hóa phía bên trái của cácbất bình đẳng, người ta phải chọn x 1 là 0 hoặc 1, và đối xứng, như vậy là đúng đối với cácCác biến khác. Tất nhiên, nếu tất cả xi được bằng 1, sau đó chúng tôi có sự bình đẳng. Nếu ítmột trong số họ là 0, sau đó sản phẩm của họ cũng là zero, và số tiền của các điều khoản khác của n-1tối đa n-1, đó chứng tỏ bất bình đẳng.(Toán học Romania cuộc thi)4. các biểu hiện là tuyến tính trong mỗi của các biến, do đó, như trong các giải pháp để cácvấn đề trước đó, tối đa đạt được cho ak = 12hoặc 1, k = 1,2,..., n. Nếu ak = 12cho tất cả các k, thì Sn = n/4. Hãy cho chúng tôi cho thấy rằng giá trị của Sn không thể vượt quá con số này.Nếu chính xác m của ak được bằng 1, sau đó m điều khoản số tiền là zero. Ngoài ra, tại hầu hết mđiều khoản được tương đương với 12, cụ thể là những người mẫu với ak ak(1−ak+1) = 1 và ak + 1 = 12.Mỗi người trong các điều khoản còn lại có cả hai yếu tố tương đương với 12và vì thế là tương đương với 14. Do đógiá trị số tiền tối đa là micromet 0 + m / 2 + (n−2m) / 4 = n/4, cho thấy rằng cáctối đa là n/4.(Romania IMO nhóm lựa chọn Test, 1975)5. biểu thị phía bên trái của bất đẳng thức bởi S (x 1, x 2,..., xn). Biểu hiện này làtuyến tính trong mỗi xi biến. Như trước đây, nó sau đó nó là đủ để chứng minh cácbất đẳng thức khi của xi là tương đương với 0 hay 1.Nếu chính xác k của của xi bằng 0, và những người khác được bằng 1, sau đó S (x 1, x 2,..., xn) ≤ n − k, và kể từ tổng x 1 x 2 + x 2 x 3 + · · · + xnx1 là ít nhất n − 2k,S (x 1, x 2,..., xn) là nhỏ hơn hoặc bằng n−k−(n−2k) = k. Do đó tối đa củaS là nhỏ hơn hoặc bằng với min(k,n−k), mà là tối đa n/2. Nó sau đó chon thậm chí, bình đẳng giữ khi (x 1, x 2, x 3,...) = (1,0,1,0,..., 1,0) hoặc (0,1,0,1,... 0,1).Cho n lẻ, bình đẳng giữ khi tất cả cặp (xi, xi + 1), tôi = 1,2,..., n bao gồm một số không vàmột trong những, ngoại trừ một đôi bao gồm hai cái (với hội nghị xn + 1 = x 1) hoặcNếu x 1,..., xn là một xoay của 0,1,0,1,..., 0,1, x, x là tùy ý (mà tương ứng vớitrường hợp nơi một chức năng tuyến tính liên tục do đó nó đạt được extremum của nó trên toàn bộkhoảng thời gian).(Tiếng Bulgaria toán học Olympic, 1995)6. số tiền chúng tôi muốn giảm thiểu là tuyến tính trong mỗi biến; do đó tối thiểu làđạt được cho một số ai ∈ {−98, 98}. Kể từ khi có một số lẻ của chỉ số, nếu chúng ta nhìntại chỉ số mod 19, có tồn tại một i sao cho ai và ai + 1 có dấu hiệu tương tự. Do đóTổng là ít −18 · 982 + 982 = −17 · 982. bình đẳng đạt được ví dụ khiA1 = a3 = · · · = a19 = −98, a2 = a4 = · · · = A18 xa lộ = 98, nhưng nó nên được quan sát thấy rằngcó những lựa chọn khác mang lại tối đa tương tự.7. đối với bất kỳ vô số α và β, chức năngx → αx + βlà lồi cho x ≥ 0. Xem như là một chức năng trong bất kỳ các biến ba, các nhất địnhbiểu hiện là một tổng của hai chức năng lồi và hai chức năng tuyến tính, do đó, nó là lồi.Vì thế khi hai trong số các biến cố định, tối đa đạt được khi thứ ba làtại một trong hai điểm cuối của khoảng thời gian, vì vậy các giá trị của các biểu hiện là luôn luôn ít hơn178 chương 2. Đại số và phân tíchhơn giá trị lớn nhất thu được bằng cách chọn a, b, c ∈ {0,1}. Một kiểm tra dễ dàng của támtrường hợp có thể cho thấy rằng giá trị của biểu thức không thể vượt quá 1.(USAMO, 1980)8. nếu chúng tôi sửa chữa bốn của những con số và coi thứ năm như là một biến x, sau đó tráibên sẽ trở thành một chức năng của các hình thức αx + β/x + γ, α, β và γ tích cực và x khác nhautrong khoảng thời gian [p, q]. Chức năng này là lồi trên đoạn [p, q], là tổng hợpmột tuyến tính và một chức năng lồi, do đó, nó đạt được tối đa của nó tại một (hoặc có thể cả hai)là hai điểm cuối của khoảng thời gian định nghĩa. Như trước, điều này cho thấy rằng nếu chúng tôi đang cố gắngđể tối đa hóa giá trị của các biểu hiện, nó là đủ để cho a, b, c, d, e mất các giá trị pvà q.Nếu n của những con số là tương đương với p, và 5−n đều được bình đẳng với q, sau đó ở phía bên trái làbằngN2 +(5−n)2+n(5−n)pq+qp= 25+n(5−n)pq−qp2.Giá trị tối đa của n(5−n) đạt được khi n = 2 hoặc 3, trong đó n(5−n) trường hợp = 6,và bất đẳng thức đã được chứng minh.(USAMO, 1977)

Kết quả (Việt) 2:

2.2 Nhìn vào thiết bị đầu cuối
1. Các biểu hiện từ phía bên trái của bất đẳng thức là một hàm tuyến tính trong mỗi
của bốn biến. Tối thiểu của nó là đạt được tại một trong các điểm cuối của khoảng thời gian
xác định. Như vậy chúng ta chỉ phải kiểm tra a, b, c, d ∈ {0,1}. Nếu ít nhất một trong số họ là 1,
biểu thức là tương đương với một b + c + d +, mà là lớn hơn hoặc bằng 1. Nếu tất cả
chúng đều bằng không, sự biểu hiện bằng 1, trong đó chứng minh bất đẳng thức.
2. Các bất đẳng thức tương đương với
một (k-b) + b (k-c) + c (k-a) ≤ k2.
Nếu chúng ta xem phía bên trái là một chức năng trong một, nó là tuyến tính. Các điều kiện từ các tuyên bố
ngụ ý rằng khoảng thời gian định nghĩa là [0, k]. Nó sau đó để tối đa hóa
bên trái, chúng ta cần phải chọn một ∈ {0, k}. Lặp đi lặp lại cùng một đối số cho b và c,
nó sau đó các maximumof phía bên tay trái là đạt được đối với một số (a, b, c) ∈ {0, k} 3.
Kiểm tra tám tình huống có thể, chúng ta có được là tối đa này là k2, và chúng tôi đang
thực hiện.
(Tất cả các Liên minh Olympic Toán)
3. Hãy để chúng tôi khắc phục x2, x3,. . . , xn và sau đó xem xét các hàm f: [0,1] → R, f (x) =
x + x2 + · · · + xn -xx2 · · · xn. Chức năng này là tuyến tính trong x, do đó đạt tối đa của nó
2.2. Nhìn vào các thiết bị đầu cuối 177
tại một điểm cuối của khoảng [0,1]. Do đó để tối đa hóa các mặt trái của
sự bất bình đẳng, người ta phải chọn x1 là 0 hoặc 1, và bằng cách đối xứng, điều này cũng đúng đối với các
biến số khác. Tất nhiên, nếu tất cả các xi là bằng 1, sau đó chúng ta có quyền bình đẳng. Nếu ít nhất
một trong số họ là 0, sau đó sản phẩm của họ cũng là số không, và tổng của các điều khoản n-1 khác là
tại hầu hết các n-1, chứng tỏ sự bất bình đẳng.
(Cuộc thi toán học Rumani)
4. Các biểu hiện là tuyến tính trong từng biến, do đó, như trong các giải pháp cho các
vấn đề trước đây, tối đa là đạt được cho ak = 12
hoặc 1, k = 1,2,. . . , n. Nếu ak = 12
cho tất cả các k, sau đó Sn = n / 4. Hãy để chúng tôi chỉ cho rằng giá trị của Sn không thể vượt quá con số này.
Nếu chính xác m của của ak là bằng 1, sau đó m về tổng bằng không. Ngoài ra, tại hầu hết m
điều khoản được tính bằng
12, cụ thể là những dạng ak (1-ak + 1) với ak = 1 và ak + 1 =
12.
Mỗi của các điều khoản còn lại có cả hai yếu tố bằng 12
và do đó là bình đẳng đến
14. Như vậy
giá trị của số tiền tối đa là m · 0 + m / 2 + (n-2m) / 4 = n / 4, trong đó cho thấy rằng
tối đa là n / 4.
(Selection thử Rumani IMO Team, 1975 )
5. Biểu thị phía bên trái của bất đẳng thức bởi S (x1, x2,..., Xn). Biểu thức này là
tuyến tính trong mỗi biến xi. Cũng như trước, sau đó nó là đủ để chứng minh
bất đẳng thức khi của xi là bằng 0 hoặc 1.
Nếu chính xác k của xi là bằng 0, và những người khác bằng 1, sau đó S (x1,
x2,. .., xn) ≤ n - k, và kể từ khi tổng x1x2 + x2x3 + · · · + xnx1 là ít nhất n -
2k,... S (x1, x2,, xn) là nhỏ hơn hoặc bằng n- K (n-2k) = k. Như vậy tối đa của
S là nhỏ hơn hoặc bằng để min (k, n-k), trong đó nhiều nhất là n /
2. Nó sau đó cho
n thậm chí, bình đẳng giữ khi (x1, x2, x3,...) = (1,0,1,0,..., 1,0) hoặc (0,1,0,1,. . .0,1).
Đối với n lẻ, bình đẳng đúng khi tất cả các cặp (xi, xi + 1), i = 1,2,. . . , n bao gồm một số không và
một một, ngoại trừ đối với một cặp gồm hai người (với xn ước + 1 = x1) hoặc
nếu x1,. . . , xn là một xoay của 0,1,0,1,. . . , 0,1, x trong đó x là tùy ý (tương ứng với
các trường hợp một hàm tuyến tính là không đổi do đó nó đạt cực trị của nó trên toàn bộ
khoảng thời gian).
(Bulgarian thi Olympic Toán học, 1995)
6. Số tiền chúng tôi muốn tối thiểu là tuyến tính trong mỗi biến; do đó tối thiểu là
đạt được đối với một số ai ∈ {-98,98}. Vì có một số lẻ của các chỉ số, nếu chúng ta nhìn
vào các chỉ số mod 19, có tồn tại một i như vậy mà ai và ai + 1 có cùng một dấu. Do đó
số tiền ít nhất là -18 · 982 + 982 = -17 · 982. Bình đẳng là đạt được ví dụ như khi
a1 = a3 = · · · = A19 = -98, a2 = a4 = · · · = A18 = 98, nhưng nó phải được quan sát thấy rằng
có sự lựa chọn khác mà năng suất tối đa cùng.
7. Đối với bất kỳ con số không âm a và β, hàm
x? → α
x + β
là lồi cho x ≥ 0. Được xem như là một chức năng trong bất kỳ ba biến, đưa
biểu thức là một tổng của hai hàm lồi và hai hàm tuyến tính, do đó, nó là lồi.
Vì vậy khi hai của các biến được cố định, tối đa đạt được khi thứ ba là
tại một trong các điểm cuối của khoảng thời gian, vì vậy giá trị của biểu thức là luôn luôn ít hơn
178 Chương 2. Đại số và phân tích
hơn so với lớn nhất giá trị thu được bằng cách chọn a, b, c ∈ {0,1}. Một kiểm tra dễ dàng trong tám
trường hợp có thể cho thấy rằng giá trị của biểu thức không thể vượt quá 1.
(USAMO, 1980)
8. Nếu chúng tôi sửa chữa bốn trong số các con số và coi thứ năm như là một biến x, sau đó bên trái
bên sẽ trở thành một chức năng của mẫu αx + β / x + γ, với α, β, γ dương và x khác nhau
trên đoạn [p, q]. Chức năng này là lồi trên đoạn [p, q], là tổng của
một tuyến tính và một hàm lồi, vì vậy nó đạt tối đa của nó ở một (hoặc có thể cả hai) của
các điểm cuối của khoảng thời gian xác định. Như trước đây, điều này cho thấy rằng nếu chúng tôi đang cố gắng
để tối đa hóa giá trị của biểu thức, nó là đủ để cho a, b, c, d, e mất các giá trị p
và q.
Nếu n những số bằng p, và 5-n là bằng q, sau đó phía bên trái là
bằng
n2 + (5-n) 2 + n
(5-n)?
p
q
+
q p? = 25 + n (5-n)? p q - q p? 2. Các giá trị tối đa của n (5-n) là đạt được khi n = 2 hoặc 3, trong trường hợp n (5-n) = 6, và sự bất bình đẳng đã được chứng minh. (USAMO, 1977)