We regard α1,α2 andηas real positiv

We regard α1,α2 andηas real positive parameters with α21. The
rootsw
(1)
−+,w
(2)
−+may be real or complex conjugate. In the first case they correspond again toz
(1)
−+>1 andz
(2)
−+>1
which must be rejected. In the second case the imaginary parts of the roots in the right hand sides ofEq. (3.14)have
the same sign but the choice of signs prevents us to obtainκA,κψandκewith the same sign. Again, in this case no
surface waves are admitted. The last rootw++corresponds toz++

Kết quả (Việt) 1:

Chúng tôi quan tâm α1, α2 andηas thực sự tích cực tham số với α2 < α1 < 1 và tư thế˜ Fs1s2(z) =√z−1 s1η α1z−1 ++ s2Α1Α2√z−1 α1z−1 α2z−1, (4.1)nơi s1 và s2 có giá trị ±1. Các chức năng trong (4.1) là phân tích trong mặt phẳng phức, ngoại trừ một nửa-trục thực˜ Γ, nơi˜ Γ =z = t, t ∈−∞,1Α2.Để áp dụng phương pháp Burniston-Siewert (B-S) [15] để giải quyết phương trình˜ Fs1s2 = 0 chúng tôi thực hiện một Möbiuschuyển đổi để di chuyển 1/α2, points∞, 1/α1, tương ứng, 0, −2 and−1. Điều này đạt được bằng cách đặt raw = 21/Α2−1/Α1z−2/α2 + 1/α1. (4.2)Các chức năng chuyển đổi làFs1s2(w) = μw−W1w+ s1νw + 1w+ s2σw + 2ww + 1ww−W1w, (4.3)nơiW1 = 21/Α2−1/Α11−2/Α2 + 1/Α1,µ=2Α2−1Α1−1, Ν = Η2Α1Α2−2,Σ =Α1Α2−14Α1Α2−2Α2−2Α1Α2.Với số lượng μ, ν, σ bật ra là thực và tích cực và −1 < w1 < 0. Việc cắt giảm tương ứng trên trục thựcchạy fromw = 0 đến w = −2, và cho các mục đích tiếp theo, sẽ được viết asΓ = Γ1∪Γ2∪Γ3 nơiΓ1 = {w = t, t ∈ [w1, 0]}, Γ2 = {w = t, t ∈ [−1, w1]}, Γ3 = {w = t, t ∈ [−2, −1]}.FromEq. (4.3) chúng tôi nhận ra rằng, cho bất kỳ s1 và s2, các chức năng Fs1s2(w) được phân tích trong CΓ và có một cột đơn đặt hàng3/2 lúc bắt đầu điểm w = 0 Γ. Chúng tôi biểu thị bởi F±s1s2(t) ofFs1s2 giới hạn một bên(w) onΓand giới thiệu cácCauchy tích phângs1s2h(w) =12πi
ΓhlnQs1s2h(t)t−wDT, với Qs1s2h(t) =F+s1s2(t) |ΓhF−s1s2(t) |Γh, h = 1, 2, 3. (4,4)Việc áp dụng các phương pháp B-S (xem định lý 14.10a in[16]) yêu cầu thatF±s1s2không biến mất tại bất kỳ nội thấtđiểm của arcsΓhand rằng lnQs1s2hlà Lipγ (cho someγ > 0) inΓh(h=1,2,3). Sau đó, nó sau đó các chức năngss1s2(w) = exp −hgs1s2h(w)Fs1s2(w) (4,5)là hợp lý và có thể có giá trị thông qua Laurent sau loạt (see[16])Fs1s2(w) =∞ k = 0F(k)s1s2wk, điểm kinh nghiệm −hgs1s2h(w)=∞ k = 0g(k)s1s2wk, (4.6)M. Romeo / sóng chuyển động 39 (năm 2004) 93-110 101nơi, đặc biệtF(0)s1s2= µ + s1ν + s2σ, F(1)s1s2= −12[(µ+s2σ) w1−s1ν−3s2σ],F(2)s1s2= −18[(µ+s2σ) w21 + 6s2σw1 + s1ν + s2σ].Tất cả các số không ofss1s2(w) là Zero ofFs1s2(w) và, cuối cùng, các giải pháp của các phương trình phân tánrễ của đa thức. Theo quan điểm phát triển thêm, chúng tôi quan sát rằng onΓ1F+s1s2(|Γ1 t) = µiW1−tt+ s1νi −t + 1t−s2σi −t + 2t−t + 1tW1−tt= −F−s1s2(t) |Γ1, (4.7)trong khi onΓ2andΓ3Qs1s22 =1−IRs1s221 + iRs1s22, với Rs1s22 =−s1ν√−(t+1)/t√/ t (t−w1) [µ−s2σ√−(t+2)/t√−(t+1)/t],Qs1s23 =1−IRs1s231 + iRs1s23, với Rs1s23 =−s2σ√−(t+2)/t√−(t+1)/t√/ t (t−w1)µ√(t−w1) / t + s1ν√−(t+1)/t. (4.8)Bây giờ chúng tôi derivess1s2(w) cho mỗi pair(s1,s2).(1) s1 = s2 = −1. FromEq. (4.7) chúng tôi tìm thấy thatF±−−Vanish tại một pointw∗ nội bộofΓ1. Để đáp ứng các yêu cầu neces-sary chúng tôi splitΓ1intoΓ11∪Γ12whereΓ11 = {w = t: t ∈ [w∗0]}, Γ12 = {w = t: t ∈ [w1, w∗]},và, đến lượt nó, chúng tôi có được lnQ−−11 = πi, lnQ−−12 = −πi. Theo đó, chức năng exp [−hg−−h(w)] lần lượtra để có một số không của đơn đặt hàng 1/2atw = 0 và một cột đơn đặt hàng 1 atw = w∗. Ghi nhớ rằng F−−has một cựccủa đơn đặt hàng 3/2atw = 0 và một số không atw = w∗chúng tôi kết luận rằng ' s−− (w) có dạng saus−− (w) = s(0)−−+s(1)−−w.Các coefficientss(0)−−ands(1)−−Follow từ Laurent expansions(4.6).Wehaves(0)−− = F(0)−−,s(1)−− = F(0)−−g(1)−− + F(1)−−g(0)−−,s(2)−− = F(0)−−g(2)−− + F(1)−−g(1)−− + F(2)−−g(0)−−, (4.9)nơig(0)−−=1,g(1)−−=12(2w∗−W1) + I(1)−−,g(2)−−=12 (w.∗2−12W21) + I(2)−−+12g(1)2−−, (4,10)vớiTôi(1)−−=1Π
W1−1arctanR−−2(t) dt +−1−2arctanR−−3(t) dt,Tôi(2)−−=1Π
W1−1tarctanR−−2(t) dt +−1−2tarctanR−−3(t) dt. (4.11)Unknownw∗có thể được giá trị của các điều kiện(2)−− = 0 và chúng tôi kết luận thatF−− (w) có hai Zerow(1)−− = w∗, w(2)−−=−s(1)−−s(0)−−.102 M. Romeo / sóng chuyển động 39 (năm 2004) 93-110(2) s1 = + 1, s2 = −1. Trong trường hợp này, chúng tôi có được lnQ+−1(t) = πion wholeΓ1and chức năng exp [−hg+−h(w)]có một số không của đơn đặt hàng 1/2atw = 0 và không có người Ba Lan. Nó chỉ ra rằngs + − (w) = s(0)+−+s(1)+−w,nơi các coefficientss(0)+ −ands(1)+ −are có giá trị của các công thức tương ứng (4.9) vàg(0)+−=1,g(1)+−=12w1 + I(1)+−.Chúng tôi kết luận thatF + − (w) đã chỉ zerow + − = −s(1)+ −/s(0)+−.(3) s1 = −1, s2 = + 1. Chúng tôi có lnQ−+1(t) = −πion wholeΓ1and exp [−g−+h] có một cực để 1/2ATW = 0. Như một hệ quả, s− + (w) phải có một cực của đơn đặt hàng hai atw = 0. Chúng tôi nhận đượcs− + (w) = s(0)−++s(1)−+w+s(2)−+W2.Trong trường hợp này,g(0)−+=1,g(1)−+=−12w1 + I(1)−+,g(2)−+=−14W21 + tôi(2)−++1212w1−I(1)−+2.Chúng tôi kết luận thatF− + (w) có hai chiếc Zero, w(1)− +, w(2)−+.(4) s1 = s2 = + 1. Như trong caseF đầu tiên±++(t) biến mất tại một pointw nội bộ∗1ofΓ1. Do đó, chúng tôi đặt ra một lần nữaΓ1 = Γ11∪Γ12and có được lnQ++11(t) = −πi, lnQ++12(t) = πi. Các điểm kinh nghiệm chức năng [−hg++h] hóa racó một cột để 1/2atw = 0 và một số không của đơn đặt hàng 1 atw∗1. Sincew∗1cũng là một số không tắt ++ chức năng ++có ít nhất một số không của thứ tự twow = w∗1. Sincew = 0 lần lượt ra được một cực của đơn đặt hàng hai fors c++, chúng ta đượcs + + (w) = s(0)+++s(1)++w+s(2)++W2Nó sau thatw∗1là một đôi gốc ofs + = 0, và do đó, nó thỏa mãn phương trìnhw∗1 = −s(1)++2S(0)++,wheres(1)++ phải được đánh giá bởi takingg(1)++=12 (w1−2w∗1) + I(1)++. Do đó, F++(w) = 0 đã chỉ có một gốcw + w + =∗1.Tóm lại, chúng tôi đã tìm thấy sáu rễ của phương trình: Fs1s2(w) = 0. Các giá trị tương ứng của các gốc rễ củaEQ. (3,15) sẽ là ký hiệu là byz(1)−−, z(2)−−, z + −, z(1)− +, z(2)−+,z++. Chúng tôi có thể hiển thị chỉ là một trong những nguồn gốc đại diện chomột làn sóng bề mặt hiệu quả. Theo quan điểm Möbius transformation(4.2), rootw(1)−−corresponds toz(1)−− < 1. Do(3. 14) điều này ngụ ý rằng κA, κψandκeare tưởng tượng và phải được thực hiện với các dấu hiệu tương tự. Do đó, sự bất bình đẳng(3.3) được hài lòng bởi một sự lựa chọn thích hợp của dấu hiệu. Rootw(2)−−corresponds toz(2)−− > 1 và makesκAreal. Điều nàymâu thuẫn với các hạn chế (3.3) và cung cấp cho không có sóng bề mặt. Cùng nắm giữ forw −which givesz ++ − > 1. Cácrootsw(1)− +, w(2)− + có thể là thực hay phức tạp liên hợp. Trong trường hợp đầu tiên họ tương ứng một lần nữa toz(1)− + > 1 andz(2)− + > 1mà phải bị từ chối. Trong trường hợp phần tưởng tượng của rễ trong ofEq bên tay phải. (3. 14) cóCác dấu hiệu tương tự nhưng sự lựa chọn của dấu hiệu ngăn cản chúng tôi để obtainκA, κψandκewith các dấu hiệu tương tự. Một lần nữa, trong này không có trường hợpsóng bề mặt được thừa nhận. Cuối rootw ++ tương ứng toz ++ < 1 andκA, κψ, κeturn ra phải tưởng tượng, nhưngvới dấu hiệu khác nhau.M. Romeo / sóng chuyển động 39 (năm 2004) 93-110 103Chúng tôi kết luận thatEq. (3,15) thừa nhận chỉ có một gốc đại diện cho một làn sóng bề mặt electromagnetoacoustic SH.Rõ ràng, nó được cho bởiz(1)−−=1Α1+ 21Α2−1Α11−2Α− Α2−4Β, (4.12)nơiΑ =F(1)F(0)−12W1 + I(1)−−,β=−12W1F(1)F(0)+14W1 + I(1)−− +F(1)F(0)+12Tôi(1)−− TÔI(1)−−+F(2)F(0)+ Tôi(2)−−.

Kết quả (Việt) 2:

We regard α1,α2 andηas real positive parameters with α2<α1<1 and pose
˜ Fs1s2
(z)=
√
z−1+s1η α1z−1+s2
α1
α2
√
z−1 α1z−1 α2z−1, (4.1)
where s1 and s2 take values ±1. The function in(4.1)is analytic in the complex plane, except for the real half-axis
˜ Γ, where
˜ Γ=

z=t, t ∈

−∞,
1
α2

.
In order to apply the Burniston–Siewert (B–S) method[15]for solving the equation
˜ Fs1s2 =0 we make a Möbius
transformation to move the points∞,1/α2,1/α1, respectively, to 0,−2 and−1. This is achieved by posing
w=2
1/α2−1/α1
z−2/α2+1/α1
. (4.2)
The transformed function is
Fs1s2
(w)=µ
w−w1
w
+s1ν
w+1
w
+s2σ
w+2
w
w+1
w
w−w1
w
, (4.3)
where
w1=2
1/α2−1/α1
1−2/α2+1/α1
,µ=
2
α2
−
1
α1
−1,ν=η
2α1
α2
−2,
σ=

α1
α2
−1

4α1
α
2
−
2
α2
−
2α1
α2
.
The quantities µ, ν, σ turn out to be real and positive and −1< w1 < 0. The corresponding cut on the real axis
runs fromw=0 to w=−2 and, for next purposes, will be written asΓ=Γ1∪Γ2∪Γ3 where
Γ1={w=t, t ∈[w1,0]},Γ2={w=t, t ∈[−1,w1]},Γ3={w=t, t ∈[−2,−1]}.
FromEq. (4.3)we realise that, for any s1 and s2, the functions Fs1s2
(w)are analytic in CΓ and have a pole of order
3/2 at the starting point w=0 of Γ. We denote by F
±
s1s2
(t)the one-sided limits ofFs1s2
(w)onΓand introduce the
Cauchy integrals
g
s1s2
h
(w)=
1
2πi


Γh
lnQ
s1s2
h
(t)
t−w
dt, with Q
s1s2
h
(t)=
F
+
s1s2
(t)|Γh
F
−
s1s2
(t)|Γh
,h=1,2,3. (4.4)
The application of the B–S method (see Theorem 14.10a in[16]) requires thatF
±
s1s2
do not vanish at any interior
point of the arcsΓhand that lnQ
s1s2
h
be Lipγ(for someγ>0) inΓh(h=1,2,3). Then, it follows that the function
ss1s2
(w)=exp −

h
g
s1s2
h
(w)

Fs1s2
(w) (4.5)
is rational and can be valued through the following Laurent series (see[16])
Fs1s2
(w)=
∞ 
k=0
F
(k)
s1s2
wk
, exp −

h
g
s1s2
h
(w)

=
∞ 
k=0
g
(k)
s1s2
wk
, (4.6)
M. Romeo / Wave Motion 39 (2004) 93–110 101
where, in particular
F
(0)
s1s2
=µ+s1ν+s2σ, F
(1)
s1s2
=−1
2
[(µ+s2σ)w1−s1ν−3s2σ],
F
(2)
s1s2
=−1
8
[(µ+s2σ)w
2
1+6s2σw1+s1ν+s2σ].
All the zeros ofss1s2
(w)are the zeros ofFs1s2
(w)and, ultimately, the solutions of the dispersion equations are
the roots of polynomials. In view of further developments we observe that onΓ1
F
+
s1s2
(t)|Γ1 =µi
w1−t
t
+s1νi −
t+1
t
−s2σi −
t+2
t
−
t+1
t
w1−t
t
=−F
−
s1s2
(t)|Γ1
, (4.7)
while onΓ2andΓ3
Q
s1s2
2 =
1−iR
s1s2
2
1+iR
s1s2
2
, with R
s1s2
2 =
−s1ν
√
−(t+1)/t
√
(t−w1)/t[µ−s2σ
√
−(t+2)/t
√
−(t+1)/t]
,
Q
s1s2
3 =
1−iR
s1s2
3
1+iR
s1s2
3
, with R
s1s2
3 =
−s2σ
√
−(t+2)/t
√
−(t+1)/t
√
(t−w1)/t
µ
√
(t−w1)/t+s1ν
√
−(t+1)/t
. (4.8)
Now we derivess1s2
(w)for each pair(s1,s2).
(1) s1=s2=−1. FromEq. (4.7)we find thatF
±
−−vanish at an internal pointw∗
ofΓ1. In order to satisfy the neces-sary requirements we splitΓ1intoΓ11∪Γ12whereΓ11={w=t :t ∈[w∗
,0]},Γ12={w=t :t ∈[w1,w
∗
]},
and, in turn, we obtain lnQ
−−
11 =πi,lnQ
−−
12 =−πi. Accordingly, the function exp[−

h
g
−−
h
(w)] turns
out to have a zero of order 1/2atw=0 and a pole of order 1 atw=w∗
. Remembering that F−−has a pole
of order 3/2atw=0 and a zero atw=w∗
we conclude thats−−(w)takes the following form
s−−(w)=s
(0)
−−+
s
(1)
−−
w
.
The coefficientss
(0)
−−ands
(1)
−−follow from the Laurent expansions(4.6).Wehave
s
(0)
−−=F
(0)
−−,s(1)
−−=F
(0)
−−g
(1)
−−+F
(1)
−−g
(0)
−−,s(2)
−−=F
(0)
−−g
(2)
−−+F
(1)
−−g
(1)
−−+F
(2)
−−g
(0)
−−, (4.9)
where
g
(0)
−−=1,g(1)
−−=
1
2
(2w
∗
−w1)+I
(1)
−−,g(2)
−−=
1
2(w
∗
2
−
1
2w
2
1
)+I
(2)
−−+
1
2
g
(1)
2
−−, (4.10)
with
I
(1)
−−=
1
π


w1
−1
arctanR
−−
2
(t)dt+

−1
−2
arctanR
−−
3
(t)dt

,
I
(2)
−−=
1
π


w1
−1
tarctanR
−−
2
(t)dt+

−1
−2
tarctanR
−−
3
(t)dt

. (4.11)
The unknownw∗
can be valued by the conditions
(2)
−−=0 and we conclude thatF−−(w)has the two zeros
w
(1)
−−=w
∗
,w(2)
−−=−
s
(1)
−−
s
(0)
−−
.
102 M. Romeo / Wave Motion 39 (2004) 93–110
(2) s1=+1,s2=−1. In this case, we obtain lnQ
+−
1
(t)=πion the wholeΓ1and the function exp[−

h
g
+−
h
(w)]
has a zero of order 1/2atw=0 and no poles. It turns out that
s+−(w)=s
(0)
+−+
s
(1)
+−
w
,
where the coefficientss
(0)
+−ands
(1)
+−are valued by the corresponding formulae(4.9)and
g
(0)
+−=1,g(1)
+−=
1
2w1+I
(1)
+−.
We conclude thatF+−(w)has only the zerow+−=−s
(1)
+−/s
(0)
+−.
(3) s1=−1,s2=+1. We have lnQ
−+
1
(t)=−πion the wholeΓ1and exp[−

g
−+
h
] has a pole of order 1/2
atw=0. As a consequence,s−+(w)must have a pole of order two atw=0. We get
s−+(w)=s
(0)
−++
s
(1)
−+
w
+
s
(2)
−+
w2
.
In this case,
g
(0)
−+=1,g(1)
−+=−1
2w1+I
(1)
−+,g(2)
−+=−1
4w
2
1+I
(2)
−++
1
2

1
2w1−I
(1)
−+
2
.
We conclude thatF−+(w)has two zeros,w
(1)
−+,w
(2)
−+.
(4) s1 =s2 =+1. As in the first caseF
±
++(t) vanish at an internal pointw
∗
1
ofΓ1. Hence, we pose again
Γ1 =Γ11∪Γ12and obtain lnQ
++
11
(t)=−πi,lnQ
++
12
(t)=πi. The function exp[−

h
g
++
h
] turns out to
have a pole of order 1/2atw=0 and a zero of order 1 atw
∗
1
. Sincew
∗
1
is also a zero ofF++the functions++
has at least a zero of order twow=w
∗
1
. Sincew=0 turns out to be a pole of order two fors++, we obtain
s++(w)=s
(0)
+++
s
(1)
++
w
+
s
(2)
++
w2
It follows thatw
∗
1
is a double root ofs++=0 and, consequently, it satisfies the equation
w
∗
1=−
s
(1)
++
2s
(0)
++
,
wheres
(1)
++must be valued by takingg
(1)
++=
1
2(w1−2w
∗
1
)+I
(1)
++. Hence, F++(w) =0 has only one root
w++=w
∗
1
.
In summary, we have found six roots of equation: Fs1s2
(w) =0. The corresponding values of the roots of
Eq. (3.15)will be denoted byz
(1)
−−,z
(2)
−−,z+−,z
(1)
−+,z
(2)
−+,z++. We can show that only one of these roots represents
an effective surface wave. In view of the Möbius transformation(4.2), the rootw
(1)
−−corresponds toz
(1)
−−<1. Owing
to (3.14)this implies that κA,κψandκeare imaginary and must be taken with the same sign. Hence, inequalities
(3.3) are satisfied by a proper choice of sign. The rootw
(2)
−−corresponds toz
(2)
−−>1 and makesκAreal. This
contradicts the restrictions(3.3)and gives no surface waves. The same holds forw+−which givesz+−>1. The
rootsw
(1)
−+,w
(2)
−+may be real or complex conjugate. In the first case they correspond again toz
(1)
−+>1 andz
(2)
−+>1
which must be rejected. In the second case the imaginary parts of the roots in the right hand sides ofEq. (3.14)have
the same sign but the choice of signs prevents us to obtainκA,κψandκewith the same sign. Again, in this case no
surface waves are admitted. The last rootw++corresponds toz++<1 andκA,κψ,κeturn out to be imaginary, but
with different signs.
M. Romeo / Wave Motion 39 (2004) 93–110 103
We conclude thatEq. (3.15)admit only one root which represents a SH electromagnetoacoustic surface wave.
Explicitly, it is given by
z
(1)
−−=
1
α1
+2

1
α2
−
1
α1

1−
2
α− α
2−4β
, (4.12)
where
α=
F
(1)
F(0)
−
1
2
w1+I
(1)
−−,β=−
1
2
w1

F
(1)
F(0)
+
1
4
w1+I
(1)
−− +

F
(1)
F(0)
+
1
2
I
(1)
−− I
(1)
−−+
F
(2)
F(0)
+I
(2)
−−.