Logarithm tables, slide rules, and

Logarithm tables, slide rules, and historical applications[edit]

The 1797 Encyclopædia Britannica explanation of logarithms
By simplifying difficult calculations, logarithms contributed to the advance of science, and especially of astronomy. They were critical to advances in surveying, celestial navigation, and other domains. Pierre-Simon Laplace called logarithms

"...[a]n admirable artifice which, by reducing to a few days the labour of many months, doubles the life of the astronomer, and spares him the errors and disgust inseparable from long calculations."[36]
A key tool that enabled the practical use of logarithms before calculators and computers was the table of logarithms.[37] The first such table was compiled by Henry Briggs in 1617, immediately after Napier's invention. Subsequently, tables with increasing scope and precision were written. These tables listed the values of logb(x) and bx for any number x in a certain range, at a certain precision, for a certain base b (usually b = 10). For example, Briggs' first table contained the common logarithms of all integers in the range 1–1000, with a precision of 8 digits. As the function f(x) = bx is the inverse function of logb(x), it has been called the antilogarithm.[38] The product and quotient of two positive numbers c and d were routinely calculated as the sum and difference of their logarithms. The product cd or quotient c/d came from looking up the antilogarithm of the sum or difference, also via the same table:

c d = b^{log_b (c)} , b^{log_b (d)} = b^{log_b (c) + log_b (d)} ,
and

frac c d = c d^{-1} = b^{log_b (c) - log_b (d)}. ,
For manual calculations that demand any appreciable precision, performing the lookups of the two logarithms, calculating their sum or difference, and looking up the antilogarithm is much faster than performing the multiplication by earlier methods such as prosthaphaeresis, which relies on trigonometric identities. Calculations of powers and roots are reduced to multiplications or divisions and look-ups by

c^d = (b^{log_b (c) })^d = b^{d log_b (c)} ,
and

sqrt[d]{c} = c^{frac 1 d} = b^{frac{1}{d} log_b (c)}. ,
Many logarithm tables give logarithms by separately providing the characteristic and mantissa of x, that is to say, the integer part and the fractional part of log10(x).[39] The characteristic of 10 · x is one plus the characteristic of x, and their significands are the same. This extends the scope of logarithm tables: given a table listing log10(x) for all integers x ranging from 1 to 1000, the logarithm of 3542 is approximated by

log_{10}(3542) = log_{10}(10cdot 354.2) = 1 + log_{10}(354.2) approx 1 + log_{10}(354). ,
Another critical application was the slide rule, a pair of logarithmically divided scales used for calculation, as illustrated here:

A slide rule: two rectangles with logarithmically ticked axes, arrangement to add the distance from 1 to 2 to the distance from 1 to 3, indicating the product 6.
Schematic depiction of a slide rule. Starting from 2 on the lower scale, add the distance to 3 on the upper scale to reach the product 6. The slide rule works because it is marked such that the distance from 1 to x is proportional to the logarithm of x.
The non-sliding logarithmic scale, Gunter's rule, was invented shortly after Napier's invention. William Oughtred enhanced it to create the slide rule—a pair of logarithmic scales movable with respect to each other. Numbers are placed on sliding scales at distances proportional to the differences between their logarithms. Sliding the upper scale appropriately amounts to mechanically adding logarithms. For example, adding the distance from 1 to 2 on the lower scale to the distance from 1 to 3 on the upper scale yields a product of 6, which is read off at the lower part. The slide rule was an essential calculating tool for engineers and scientists until the 1970s, because it allows, at the expense of precision, much faster computation than techniques based on tables.[33]

Kết quả (Việt) 1:

Lôgarit bảng, slide quy tắc và lịch sử ứng dụng [sửa]Những lời giải thích Encyclopædia Britannica 1797 của logarithmsBởi đơn giản hoá các tính toán khó khăn, logarithms góp phần vào sự tiến quân của khoa học, và đặc biệt là của thiên văn học. Họ đã được quan trọng đối với sự tiến bộ trắc địa, thiên hướng và các tên miền khác. Pierre-Simon Laplace gọi là logarit"...[a] n đáng ngưỡng mộ artifice đó, bằng cách giảm đến một vài ngày lao động nhiều tháng, tăng gấp đôi cuộc đời của một nhà thiên văn, và phụ tùng anh ta lỗi và ghê tởm không thể tách rời từ tính toán dài."[36]Một công cụ quan trọng cho phép việc sử dụng thực tế của logarithms trước khi máy tính và máy tính là bảng của logarithms.[37] đầu tiên như vậy bảng đã được biên soạn bởi Henry Briggs năm 1617, ngay sau khi phát minh của Napier. Sau đó, bảng với tăng phạm vi và độ chính xác được viết. Các bảng liệt kê các giá trị của logb(x) và bx cho bất kỳ số lượng x trong một phạm vi nhất định, tại một chính xác nhất định, với a b cơ sở nhất định (thường b = 10). Ví dụ, Briggs' đầu tiên bảng chứa logarithms phổ biến của tất cả các số nguyên trong khoảng 1-1000, với độ chính xác của 8 chữ số. Như hàm f (x) = bx là chức năng nghịch đảo của logb(x), nó đã được gọi là antilogarithm.[38] các sản phẩm và thương hai số dương c và d đã được thường xuyên tính dưới dạng tổng hợp và sự khác biệt của của logarithms. Sản phẩm đĩa cd hoặc thương c/d đến từ nhìn lên antilogarithm của tổng hay sự khác biệt, cũng thông qua cùng một bảng: c d = b ^ {log_b (c)} , b ^ {log_b (d)} = b ^ {log_b (c) + log_b (d)} ,vàfrac c d = c d ^-{1} = b ^ {log_b (c) - log_b (d)}. ,Đối với hướng dẫn sử dụng tính toán nhu cầu mà bất kỳ chính xác đáng, thực hiện tra cứu logarit hai, tính toán số tiền hoặc sự khác biệt của họ, và nhìn lên antilogarithm là nhanh hơn nhiều so với thực hiện các phép nhân của các phương pháp trước đó chẳng hạn như prosthaphaeresis, mà dựa vào danh tính lượng giác. Tính toán của quyền lực và rễ được giảm đến multiplications hoặc đơn vị và look-ups bởic ^ d = (b ^ {log_b (c)}) ^ d = b ^ {d log_b (c)} ,vàsqrt[d]{c} = c ^ {frac 1 d} = b ^ {frac {1} {d} log_b (c)}. ,Nhiều logarit bảng cho logarit của riêng cung cấp các đặc tính và mantissa của x, đó là để nói, một phần số nguyên và các phần phân đoạn của log10(x).[39] các đặc tính của 10 · x là một cộng với các đặc tính của x, và significands của họ đều giống nhau. Điều này mở rộng phạm vi của logarit bảng: đưa ra một bảng liệt kê các log10(x) đối với tất cả các số nguyên x khác nhau, từ 1 đến 1000, logarit 3542 xấp xỉ bởilog_{10}(3542) = log_{10}(10cdot 354.2) = 1 log_{10}(354.2) approx 1 + log_{10}(354). , Ứng dụng quan trọng khác là quy luật slide, một cặp vảy bắc logarithmically chia được sử dụng để tính toán, như minh họa ở đây:Một quy luật slide: hai hình chữ nhật với logarithmically chọn trục, sắp xếp để thêm khoảng cách từ 1 đến 2 đến khoảng cách từ 1 đến 3, chỉ ra các sản phẩm 6.Sơ đồ mô tả của một quy luật slide. Bắt đầu từ 2 trên quy mô thấp hơn, thêm khoảng cách 3 trên quy mô trên để đạt được các sản phẩm 6. Slide quy tắc hoạt động bởi vì nó được đánh dấu sao cho khoảng cách từ 1 đến x là tỷ lệ thuận với logarit của x.Phòng Không trượt lôgarít quy mô, quy tắc của Gunter, được phát minh ra ngay sau khi phát minh của Napier. William Oughtred tăng cường nó tạo quy tắc trượt — một cặp hàm lôgarit quy mô di chuyển đối với nhau. Số điện thoại được đặt về trượt quy mô ở khoảng cách tỷ lệ thuận với sự khác biệt giữa của logarithms. Trượt quy mô trên một cách thích hợp số tiền máy móc thêm logarit. Ví dụ, thêm khoảng cách từ 1 đến 2 trên quy mô thấp hơn để khoảng cách từ 1 đến 3 trên quy mô trên sản lượng một sản phẩm của 6, được đọc tắt ở phần thấp hơn. Quy luật slide là một công cụ tính toán cần thiết cho các kỹ sư và các nhà khoa học cho đến những năm 1970, bởi vì nó cho phép, tại các chi phí chính xác, tính toán nhanh hơn nhiều so với kỹ thuật dựa trên bảng.[33]