For each of them, the flow-conserva

For each of them, the flow-conservation requirement for vertex i will still hold after the flow adjustments indicated above the edge arrows. Further, since r is the minimum among all the positive unused capacities on the forward edges and all the positive flows on the backward edges of the flow-augmenting path, the new flow will satisfy the capacity constraints as well. Finally, adding r to the flow on the first edge of the augmenting path will increase the value of the flow by r.

Under the assumption that all the edge capacities are integers, r will be a positive integer too. Hence, the flow value increases at least by 1 on each iteration of the augmenting-path method. Since the value of a maximum flow is bounded above (e.g., by the sum of the capacities of the source edges), the augmenting-path method has to stop after a finite number of iterations.4 Surprisingly, the final flow always turns out to be maximal, irrespective of a sequence of augmenting paths. This remarkable result stems from the proof of the Max-Flow Min-Cut Theorem (see, e.g., [For62]), which we replicate later in this section.

The augmenting-path method—as described above in its general form—does not indicate a specific way for generating flow-augmenting paths. A bad sequence of such paths may, however, have a dramatic impact on the method’s efficiency. Consider, for example, the network in Figure 10.6a, in which U stands for some large positive integer. If we augment the zero flow along the path 1→2→3→4, we shall obtain the flow of value 1 shown in Figure 10.6b. Augmenting that flow along the path 1→3←2→4 will increase the flow value to 2 (Figure 10.6c). If we continue selecting this pair of flow-augmenting paths, we will need a total of 2U iterations to reach the maximum flow of value 2U (Figure 10.6d). Of course, we can obtain the maximum flow in just two iterations by augmenting the initial zero flow along the path 1→2→4 followed by augmenting the new flow along the path 1→3→4. The dramatic difference between 2U and 2 iterations makes the point.

Fortunately, there are several ways to generate flow-augmenting paths ef-ficiently and avoid the degradation in performance illustrated by the previous example. The simplest of them uses breadth-first search to generate augment-ing paths with the least number of edges (see Section 3.5). This version of the augmenting-path method, called shortest-augmenting-path or first-labeled-first-scanned algorithm, was suggested by J. Edmonds and R. M. Karp [Edm72]. The labeling refers to marking a new (unlabeled) vertex with two labels. The first label indicates the amount of additional flow that can be brought from the source to the vertex being labeled. The second label is the name of the vertex from which the vertex being labeled was reached. (It can be left undefined for the source.) It is also convenient to add the + or − sign to the second label to indicate whether the vertex was reached via a forward or backward edge, respectively. The source can be always labeled with ∞, −. For the other vertices, the labels are computed as follows.


If capacity upper bounds are irrational numbers, the augmenting-path method may not terminate (see, e.g., [Chv83, pp. 387–388], for a cleverly devised example demonstrating such a situation). This limitation is only of theoretical interest because we cannot store irrational numbers in a computer, and rational numbers can be transformed into integers by changing the capacity measurement unit.

Kết quả (Việt) 1:

Cho mỗi người trong số họ, yêu cầu dòng chảy-bảo tồn cho đỉnh tôi sẽ vẫn giữ sau khi điều chỉnh dòng chảy chỉ ra ở trên các cạnh mũi tên. Hơn nữa, kể từ khi r là tối thiểu trong số tất cả các khả năng không sử dụng tích cực trên các cạnh phía trước và tất cả những dòng chảy tích cực trên cạnh đường augmenting dòng chảy, lạc hậu, dòng mới sẽ đáp ứng những hạn chế khả năng là tốt. Cuối cùng, thêm r để dòng chảy rìa đầu tiên của con đường thông sẽ làm tăng giá trị của dòng chảy của r.Theo giả định rằng tất cả các năng lực cạnh các là các số nguyên, r sẽ là số nguyên dương quá. Do đó, giá trị lưu lượng tăng tối thiểu 1 trên mỗi lặp đi lặp lại của phương pháp đường dẫn augmenting. Kể từ khi giá trị của một dòng chảy tối đa bao bọc ở trên (ví dụ:, bởi tổng khả năng của các cạnh nguồn), phương pháp đường dẫn augmenting đã ngừng sau khi một số hữu hạn các iterations.4 đáng ngạc nhiên, dòng cuối cùng luôn luôn biến ra để được tối đa, không phân biệt một chuỗi của augmenting đường dẫn. Kết quả đáng chú ý này bắt nguồn từ chứng minh định lý chảy Min-Max cắt giảm (xem, ví dụ: [For62]), chúng tôi sao chép sau đó trong phần này.Phương pháp đường dẫn augmenting — như mô tả ở trên trong dạng chung — không chỉ ra một cách cụ thể để tạo ra các dòng chảy-augmenting đường dẫn. Một chuỗi các đường dẫn như vậy xấu có thể, Tuy nhiên, có một tác động đáng kể về hiệu quả của phương pháp. Xem xét, ví dụ, mạng trong hình 10.6a, trong đó U là viết tắt của một số nguyên dương lớn. Nếu chúng ta tăng cường dòng zero dọc theo con đường 1→2→3→4, chúng tôi sẽ có được dòng chảy của giá trị 1 Hiển thị trong hình 10.6b. Augmenting những dòng chảy dọc theo con đường 1→3←2→4 sẽ làm tăng giá trị dòng chảy để 2 (hình 10.6 c). Nếu chúng tôi tiếp tục chọn cặp này của dòng chảy-augmenting đường dẫn, chúng tôi sẽ cần một tổng cộng 2U lặp đi lặp lại để đạt đến luồng cực đại của giá trị 2U (con số 10.6 d). Tất nhiên, chúng tôi có thể có được luồng cực đại trong chỉ hai lặp đi lặp lại bởi augmenting ban đầu không luồng dọc theo đường dẫn 1→2→4 theo augmenting dòng mới dọc theo con đường 1→3→4. Sự khác biệt đáng kể giữa 2U và lặp đi lặp lại 2 trở thành điểm.May mắn thay, có rất nhiều cách để tạo ra dòng chảy-augmenting đường dẫn ef-ficiently và tránh sự xuống cấp hiệu suất minh họa bằng ví dụ trước. Các đơn giản nhất của họ sử dụng tìm kiếm theo chiều rộng để tạo ra đường dẫn tăng thêm-ing với ít nhất số cạnh (xem phần 3.5). Phiên bản này của phương pháp augmenting, đường dẫn, được gọi là thuật toán-augmenting-đường đi ngắn nhất hoặc đầu tiên-đánh dấu-đầu tiên-quét, đã được đề xuất bởi J. Edmonds và R. M. Karp [Edm72]. Các nhãn dùng để đánh dấu một đỉnh (ổ) mới với hai nhãn. Nhãn hiệu đầu tiên cho thấy số lượng lưu lượng bổ sung có thể được đưa từ nguồn đến đỉnh được gắn nhãn. Nhãn thứ hai là tên của đỉnh từ đó đạt đỉnh được gắn nhãn. (Nó có thể còn lại undefined cho nguồn.) Nó cũng là thuận tiện để thêm các + hoặc − đăng vào nhãn thứ hai để chỉ ra cho dù đỉnh đạt được thông qua một cạnh phía trước hoặc ngược, tương ứng. Nguồn có thể được dán nhãn luôn luôn với ∞ −. Cho các đỉnh khác, các nhãn được tính như sau. Nếu năng lực trên giới hạn vô tỉ số, phương pháp augmenting đường dẫn có thể không chấm dứt (xem, ví dụ, [Chv83, pp. 387-388], cho một ví dụ khéo léo devised chứng tỏ tình huống như vậy). Hạn chế này là duy nhất của lý thuyết quan tâm bởi vì chúng tôi không thể lưu trữ vô tỉ số trong một máy tính, và số hữu tỉ có thể được chuyển đổi thành nguyên bằng cách thay đổi đơn vị đo lường năng lực.

Kết quả (Việt) 2:

Đối với mỗi người, yêu cầu dòng chảy-bảo tồn cho đỉnh i vẫn sẽ nắm giữ sau khi điều chỉnh dòng chảy chỉ ra ở trên các mũi tên cạnh. Hơn nữa, kể từ khi r là tối thiểu trong số tất cả các khả năng không sử dụng tích cực trên các cạnh phía trước và tất cả các dòng chảy tích cực trên các cạnh của con đường ngược dòng chảy làm tăng, dòng chảy mới sẽ đáp ứng các hạn chế năng lực là tốt. Cuối cùng, thêm r vào dòng chảy trên các cạnh đầu tiên của con đường làm tăng sẽ làm tăng giá trị của các dòng chảy bằng r. Theo các giả định rằng tất cả các năng lực cạnh là số nguyên, r sẽ là một số nguyên dương quá. Do đó, giá trị dòng chảy tăng lên ít nhất bằng 1 trên mỗi lần lặp lại của phương pháp làm tăng-path. Do giá trị của một dòng chảy tối đa được giới hạn ở trên (ví dụ, bằng tổng các năng lực của các cạnh nguồn), các phương pháp làm tăng-con đường phải dừng lại sau một số hữu hạn các iterations.4 Đáng ngạc nhiên, dòng cuối cùng luôn luôn biến ra được tối đa, không phân biệt một chuỗi các con đường làm tăng. Kết quả đáng chú ý này xuất phát từ các bằng chứng của Max-Flow Min-Cut Định lý (xem, ví dụ, [For62]), mà chúng tôi tái tạo sau trong phần này. Các Tăng cường biện-path method-như mô tả ở trên nói chung của hình thức không chỉ ra một cách cụ thể để tạo đường dẫn dòng chảy làm tăng. Một chuỗi xấu của các đường dẫn trên có thể, tuy nhiên, có một tác động đáng kể về hiệu quả của phương pháp. Xem xét, ví dụ, các mạng lưới trong hình 10.6a, trong đó U là viết tắt của một số nguyên dương lớn. Nếu chúng ta làm tăng thêm lưu lượng không dọc theo đường 1 → 2 → 3 → 4, chúng ta sẽ có được dòng chảy của giá trị 1 trong hình 10.6b. Tăng cường biện dòng chảy đó dọc theo đường 1 → 3 ← 2 → 4 sẽ làm tăng giá trị dòng chảy đến 2 (hình 10.6c). Nếu chúng ta tiếp tục chọn cặp này của đường dẫn dòng chảy làm tăng, chúng tôi sẽ cần tổng cộng 2U lặp để đạt được lưu lượng tối đa của giá trị 2U (Hình 10.6d). Tất nhiên, chúng ta có thể có được lưu lượng tối đa chỉ trong hai lần lặp bằng cách gia tăng số không dòng chảy ban đầu dọc theo đường 1 → 2 → 4 theo sau bằng cách gia tăng các dòng chảy mới dọc theo đường 1 → 3 → 4. Sự khác biệt giữa kịch 2U và 2 lần lặp lại làm cho các điểm. May mắn thay, có một số cách để tạo đường dẫn dòng chảy làm tăng ef-ficiently và tránh suy giảm hiệu suất được minh họa bằng các ví dụ trước. Đơn giản nhất trong số họ sử dụng tìm kiếm theo chiều rộng để tạo ra con đường Cải-ing với số lượng ít nhất của các cạnh (xem phần 3.5). Phiên bản này của các phương pháp làm tăng-path, được gọi là ngắn nhất làm tăng đường dẫn hoặc đầu tiên có nhãn hiệu đầu tiên quét thuật toán, được đề xuất bởi J. Edmonds và Karp RM [Edm72]. Việc ghi nhãn dùng để đánh dấu một mới (không có nhãn) đỉnh với hai nhãn. Các nhãn hiệu đầu tiên cho thấy số lượng các dòng chảy bổ sung có thể được đưa từ nguồn đến đỉnh được dán nhãn. Các nhãn hiệu thứ hai là tên của đỉnh mà từ đó các đỉnh được dán nhãn đã đạt được. (Nó có thể được để lại không xác định cho nguồn.) Nó cũng thuận tiện để thêm + hoặc - dấu hiệu đó với nhãn thứ hai để cho biết các đỉnh đã đạt được thông qua một cạnh phía trước hoặc phía sau, tương ứng. Các nguồn có thể được luôn luôn có nhãn với ∞, -. Đối với các đỉnh khác, các nhãn được tính như sau. Nếu công suất giới hạn trên là số vô tỉ, phương pháp làm tăng đường dẫn có thể không chấm dứt (xem, ví dụ, [Chv83, pp. 387-388], một khéo léo nghĩ ra ví dụ minh hoạ như một tình huống). Hạn chế này là chỉ quan tâm về mặt lý thuyết, vì chúng ta không có thể lưu trữ các số bất hợp lý trong một máy tính, và con số hợp lý có thể được chuyển đổi thành các số nguyên bằng cách thay đổi các đơn vị đo công suất.