THE GAUSSIAN INTEGERSKEITH CONRADSi

THE GAUSSIAN INTEGERS
KEITH CONRAD
Since the work of Gauss, number theorists have been interested in analogues of Z where
concepts from arithmetic can also be developed. The example we will look at in this handout
is the Gaussian integers:
Z[i] = {a + bi : a, b ∈ Z}.
Excluding the last two sections of the handout, the topics we will study are extensions
of common properties of the integers. Here is what we will cover in each section:
(1) the norm on Z[i]
(2) divisibility in Z[i]
(3) the division theorem in Z[i]
(4) the Euclidean algorithm Z[i]
(5) Bezout’s theorem in Z[i]
(6) unique factorization in Z[i]
(7) modular arithmetic in Z[i]
(8) applications of Z[i] to the arithmetic of Z
(9) primes in Z[i]
1. The Norm
In Z, size is measured by the absolute value. In Z[i], we use the norm.
Definition 1.1. For α = a + bi ∈ Z[i], its norm is the product
N(α) = αα = (a + bi)(a − bi) = a
2 + b
2
.
For example, N(2 + 7i) = 22 + 72 = 53. For m ∈ Z, N(m) = m2
. In particular, N(1) = 1.
Thinking about a + bi as a complex number, its norm is the square of its usual absolute
value:
|a + bi| =
p
a
2 + b
2, N(a + bi) = a
2 + b
2 = |a + bi|
2
.
The reason we prefer to deal with norms on Z[i] instead of absolute values on Z[i] is that
norms are integers (rather than square roots), and the divisibility properties of norms in Z
will provide important information about divisibility properties in Z[i]. This is based on
the following algebraic property of the norm.
Theorem 1.2. The norm is multiplicative: for α and β in Z[i], N(αβ) = N(α) N(β).
Proof. Write α = a+bi and β = c+di. Then αβ = (ac−bd) + (ad+bc)i. We now compute
N(α) N(β) and N(αβ):
N(α) N(β) = (a
2 + b
2
)(c
2 + d
2
) = (ac)
2 + (ad)
2 + (bc)
2 + (bd)
2
1
2 KEITH CONRAD
and
N(αβ) = (ac − bd)
2 + (ad + bc)
2
= (ac)
2 − 2abcd + (bd)
2 + (ad)
2 + 2abcd + (bc)
2
= (ac)
2 + (bd)
2 + (ad)
2 + (bc)
2
.
The two results agree, so N(αβ) = N(α) N(β).
As a first application of Theorem 1.2, we determine the Gaussian integers which have multiplicative
inverses in Z[i]. The idea is to apply norms to reduce the question to invertibility
in Z.
Corollary 1.3. The only Gaussian integers which are invertible in Z[i] are ±1 and ±i.
Proof. It is easy to see ±1 and ±i have inverses in Z[i]: 1 and −1 are their own inverse and
i and −i are inverses of each other.
For the converse direction, suppose α ∈ Z[i] is invertible, say αβ = 1 for some β ∈ Z[i].
We want to show α ∈ {±1, ±i}. Taking the norm of both sides of the equation αβ = 1,
we find N(α) N(β) = 1. This is an equation in Z, so we know N(α) = ±1. Since the norm
doesn’t take negative values, N(α) = 1. Writing α = a + bi, we have a
2 + b
2 = 1, and the
integral solutions to this give us the four values α = ±1, ±i.
Invertible elements are called units. The units of Z are ±1. The units of Z[i] are ±1 and
±i. Knowing a Gaussian integer up to multiplication by a unit is analogous to knowing an
integer up to its sign.
While there is no such thing as inequalities on Gaussian integers, we can talk about
inequalities on their norms. In particular, induction on the norm (not on the Gaussian
integer itself) is a technique to bear in mind if you want to prove something by induction
in Z[i]. We will use induction on the norm to prove unique factorization (Theorems 6.4 and
6.6).
The norm of every Gaussian integer is a non-negative integer, but it is not true that every
non-negative integer is a norm. Indeed, the norms are the integers of the form a
2 + b
2
, and
not every positive integer is a sum of two squares. Examples include 3, 7, 11, 15, 19, and
21. No Gaussian integer has norm equal to these values.
2. Divisibility
Divisibility in Z[i] is defined in the natural way: we say β divides α (and write β|α) if
α = βγ for some γ ∈ Z[i]. In this case, we call β a divisor or a factor of α.
Example 2.1. Since 14 − 3i = (4 + 5i)(1 − 2i), 4 + 5i divides 14 − 3i.
Example 2.2. Does (4 + 5i)|(14 + 3i)? We can do the division by taking a ratio and
rationalizing the denominator:
14 + 3i
4 + 5i
=
(14 + 3i)(4 − 5i)
(4 + 5i)(4 − 5i)
=
71 − 58i
41
=
71
41
−
58
41
i.
This is not in Z[i]: the real and imaginary parts are 71/41 and −58/41, which are not
integers. Therefore 4 + 5i does not divide 14 + 3i in Z[i].
Theorem 2.3. A Gaussian integer α = a + bi is divisible by an ordinary integer c if and
only if c|a and c|b in Z.
THE GAUSSIAN INTEGERS 3
Proof. To say c|(a + bi) in Z[i] is the same as a + bi = c(m + ni) for some m, n ∈ Z, and
that is equivalent to a = cm and b = cn, or c|a and c|b.
Taking b = 0 in Theorem 2.3 tells us divisibility between ordinary integers does not
change when working in Z[i]: for a, c ∈ Z, c|a in Z[i] if and only if c|a in Z. However, this
does not mean other aspects in Z stay the same. For instance, we will see later that some
primes in Z factor in Z[i].
The multiplicativity of the norm turns divisibility relations in Z[i] into divisibility relations
in the more familiar setting of Z, as follows.
Theorem 2.4. For α, β in Z[i], if β|α in Z[

Kết quả (Việt) 1:

CÁC SỐ NGUYÊN GAUSSKEITH CONRADKể từ khi công việc của Gauss, số lượng các nhà lý thuyết đã được quan tâm trong analogues của Z đâukhái niệm từ số học cũng có thể được phát triển. Ví dụ, chúng tôi sẽ xem xét trong bản tin nàylà các số nguyên Gauss:Z [i] = {a + bi: a, b ∈ Z}.Ngoại trừ các phần hai của bản tin, các chủ đề mà chúng ta sẽ nghiên cứu đang mở rộngtính phổ biến của các số nguyên. Dưới đây là những gì chúng tôi sẽ bao gồm trong mỗi phần:(1) định mức trên Z [i](2) divisibility trong Z [i](3) định lý phân chia trong Z [i](4) các thuật toán Euclid Z [i](5) Bezout của định lý trong Z [i](6) duy nhất factorization trong Z [i](7) học đại số mô-đun trong Z [i](8) các ứng dụng của Z [i] để cấp số Z(9) các số nguyên tố trong Z [i]1. định mứcTrong Z, kích thước được đo bằng giá trị tuyệt đối. Z [i], chúng tôi sử dụng các định mức.Định nghĩa 1.1. Với α = a + bi ∈ Z [i], chuẩn mực của nó là sản phẩmN(α) = αα = (a + bi)(a − bi) = một2 + b2.Ví dụ: N (2 + 7i) = 22 + 72 = 53. Cho m ∈ Z, N(m) = m2. Đặc biệt, N(1) = 1.Suy nghĩ về a + bi là một số phức, chuẩn mực của nó là hình vuông của nó tuyệt đối bình thườnggiá trị:|a + bi| =pmột2 + b2, N (a + bi) = một2 + b2 = |a + bi|2.Đó là lý do chúng tôi chọn để đối phó với các chỉ tiêu trên Z [i] thay vì giá trị tuyệt đối trên Z [i]định mức là số nguyên (thay vì hình vuông rễ), và các thuộc tính divisibility của các chỉ tiêu trong Zsẽ cung cấp các thông tin quan trọng về tài sản divisibility tại Z [i]. Điều này dựa trênbất động sản đại số sau định mức.Định lý 1,2. Tiêu chuẩn là kiểu: α và β trong Z [i], N(αβ) = N(α) N(β).Bằng chứng. Viết α = a + bi và β = c + di. Sau đó αβ = (ac−bd) + (ad + bc) tôi. Chúng tôi bây giờ tính toánN(α) N(β) và N(αβ):N(α) N(β) = (a2 + b2) (c.2 + d2) = (ac)2 + (ad)2 + (TCN)2 + (bd)212 KEITH CONRADvàN(αβ) = (ac − bd)2 + (ad + bc)2= (ac)2 − 2abcd + (bd)2 + (ad)2 + 2abcd + (TCN)2= (ac)2 + (bd)2 + (ad)2 + (TCN)2.Kết quả hai đồng ý, vì vậy N(αβ) = N(α) N(β).Như là một ứng dụng đầu tiên của định lý 1,2, chúng tôi xác định các số nguyên Gauss có kiểungược trong Z [i]. Ý tưởng là để áp dụng các tiêu chuẩn để giảm bớt các câu hỏi để invertibilitytrong Z.Hệ luỵ 1.3. Các số nguyên chỉ Gaussian được khả nghịch trong Z [i] là ±1 và ±i.Bằng chứng. Nó rất dễ dàng để xem ±1 và ±i có ngược trong Z [i]: 1 và −1 là nghịch đảo của riêng họ vài và −i là ngược nhau.Đối với hướng ngược lại, giả sử α ∈ Z [i] là khả nghịch, nói αβ = 1 cho một số β ∈ Z [i].Chúng tôi muốn hiển thị α ∈ {±1, ±i}. Dùng chuẩn của cả hai bên của phương trình αβ = 1,chúng tôi tìm thấy N(α) N(β) = 1. Đây là một phương trình trong Z, vì vậy chúng tôi biết N(α) = ±1. Kể từ khi tiêu chuẩnkhông có giá trị tiêu cực, N(α) = 1. Viết α = a + bi, chúng ta có một2 + b2 = 1, và cácCác giải pháp không thể tách rời với điều này cho chúng tôi bốn giá trị α = ±1, ±i.Yếu tố khả nghịch danh xưng trong tiếng Pháp là đơn vị. Các đơn vị của Z là ±1. Các đơn vị của Z [i] là ±1 và±i. biết một số nguyên Gauss đến nhân bởi một đơn vị là tương tự như biết mộtsố nguyên tối đa dấu hiệu của nó.Trong khi không có những điều như sự bất bình đẳng về số nguyên Gauss, chúng tôi có thể nói vềbất đẳng thức trên chỉ tiêu của họ. Trong các cảm ứng đặc biệt, vào các chỉ tiêu (không phải trên Gaussiansố nguyên chính nó) là một kỹ thuật để ghi nhớ nếu bạn muốn chứng minh một cái gì đó bằng cảm ứngtrong Z [i]. Chúng tôi sẽ sử dụng cảm ứng chuẩn để chứng minh duy nhất factorization (định lý 6.4 và6.6).Chuẩn của mọi số nguyên Gauss là một số nguyên không âm, nhưng đó là không đúng sự thật rằng mỗisố nguyên không âm là một tiêu chuẩn. Thật vậy, các chỉ tiêu có các số nguyên của các hình thức một2 + b2, vàkhông phải mọi số nguyên dương là một tổng của hai ô vuông. Ví dụ như 3, 7, 11, 15, 19, và21. không có số nguyên Gauss có tiêu chuẩn tương đương với các giá trị này.2. divisibilityDivisibility trong Z [i] được định nghĩa theo cách tự nhiên: chúng ta nói β phân chia α (và viết β|α) nếuΑ = βγ cho một số γ ∈ Z [i]. Trong trường hợp này, chúng tôi gọi β ước hoặc một yếu tố của α.Ví dụ 2.1. Kể từ khi 14 − 3i = (4 + 5i) (1 − 2i), 4 + 5i chia 14 − 3i.Ví dụ 2.2. Có (4 + 5i) | (14 + 3i)? Chúng tôi có thể làm các bộ phận bằng cách tham gia một tỷ lệ vàhợp lý hoá các mẫu số:14 + 3i4 + 5i=(14 + 3i) (4 − 5i)(4 + 5i) (4 − 5i)=71 − 58i41=7141−5841tôi.Đây không phải là Z [i]: Các bộ phận thực tế và tưởng tượng là 71/41 và −58/41, khôngsố nguyên. Do đó 4 + 5i không phân chia 14 + 3i Z [i].Định lý 2.3. Một số nguyên Gauss α = a + bi là số chia hết cho một số nguyên bình thường nếu c vàchỉ khi c|a và c|b trong Z.CÁC SỐ NGUYÊN GAUSS 3Bằng chứng. Để nói c| (a + bi) trong Z [i] là tương tự như a + bi = c (m + ni) cho một số m, n ∈ Z, vàđó là tương đương với một = cm và b = cn, hoặc c|a và c|b.Việc b = 0 trong 2.3 định lý nói với chúng tôi divisibility giữa nguyên bình thường khôngthay đổi khi làm việc trong Z [i]: cho a, c ∈ Z, c|a trong Z [i] nếu và chỉ nếu c|a trong Z. Tuy nhiên, điều nàycó nghĩa là các khía cạnh khác trong Z ở lại cùng. Ví dụ, chúng ta sẽ thấy sau đó một sốsố nguyên tố trong Z yếu tố trong Z [i].Multiplicativity chuẩn hóa quan hệ divisibility Z [i] vào mối quan hệ divisibilitytrong khung cảnh quen thuộc của Z, như sau.Định lý 2.4. Cho α, β trong Z [i], nếu β|α trong Z [

Kết quả (Việt) 2:

Gaussian số nguyên
KEITH CONRAD
Kể từ khi công việc của Gauss, lý thuyết số đã được quan tâm tương tự của Z mà
khái niệm từ số học cũng có thể được phát triển. Ví dụ chúng ta sẽ xem xét trong Bản tin này
là các số nguyên Gaussian:
Z [i] = {a + bi: a, b ∈ Z}.
Ngoại trừ hai phần cuối của tờ rơi, các chủ đề chúng ta sẽ nghiên cứu những phần mở rộng
tài sản chung của các số nguyên. Dưới đây là những gì chúng tôi sẽ bao gồm trong mỗi phần:
(1) các chỉ tiêu trên Z [i]
(2) chia hết trong Z [i]
(3) định lý bộ phận trong Z [i]
(4) Euclide thuật toán Z [i]
(5) định lý bézout trong Z [i]
(6) Phân tích nhân duy nhất trong Z [i]
(7) số học modula trong Z [i]
(8) ứng dụng của Z [i] đến số học của Z
(9) các số nguyên tố trong Z [i]
1. Norm
Trong Z, kích thước được đo bằng giá trị tuyệt đối. Trong Z [i], chúng tôi sử dụng các tiêu chuẩn.
Định nghĩa 1.1. Đối với α = a + bi ∈ Z [i], định mức của nó là sản phẩm
N (α) = αα = (a + bi) (a - bi) = a
2 + b
2
.
Ví dụ, N (2 + 7i) = 22 + 72 = 53. Đối với m ∈ Z, N (m) = m2
. Trong đó, N (1) = 1.
Suy nghĩ về a + bi là số phức, định mức của nó là vuông tuyệt đối thông thường của nó
giá trị:
| a + ​​bi | =
P
một
2 + b
2, N (a + bi) = a
2 + b
2 = | a + ​​bi |
2
.
Lý do chúng tôi muốn để đối phó với các chỉ tiêu trên Z [i] thay vì giá trị tuyệt đối trên Z [i] là
chỉ tiêu là các số nguyên (chứ không phải là rễ vuông), và các tính chất chia hết của định mức trong Z
sẽ cung cấp thông tin quan trọng về tính chất chia hết trong Z [i]. Điều này được dựa trên
thuộc tính đại số sau đây của chuẩn.
Định lý 1.2. Chỉ tiêu là chất nhân: cho α và β trong Z [i], N (αβ) = N (α) N (β).
Chứng minh. Viết α = a + bi và β = c + di. Sau đó αβ = (ac-bd) + (ad + bc) i. Bây giờ chúng ta tính toán
N (α) N (β) và N (αβ):
N (α) N (β) = (a
2 + b
2
) (c
2 + d
2
) = (ac)
2 + (quảng cáo)
2 + (bc)
2 + (bd)
2
1
2 KEITH CONRAD
và
N (αβ) = (ac - bd)
2 + (ad + bc)
2
= (ac)
2 - 2abcd + (bd)
2 + (quảng cáo)
2 + 2abcd + (bc)
2
= (ac)
2 + (bd)
2 + (quảng cáo)
2 + (bc)
2
.
hai kết quả đồng ý, vì vậy N (αβ) = N (α) N (β).
là một ứng dụng đầu tiên của định lý 1.2, chúng tôi xác định các số nguyên Gaussian có chất nhân
ngược trong Z [i]. Ý tưởng là để áp dụng định mức để giảm các câu hỏi để invertibility
trong Z.
Hệ luỵ 1.3. Các số nguyên Gaussian chỉ là nghịch trong Z [i] là ± 1 và ± i.
Proof. Nó rất dễ dàng để xem ± 1 và ± i có ngược trong Z [i]: 1 và -1 là nghịch đảo và của chính họ
i và -i là nghịch đảo của nhau.
Đối với hướng ngược lại, giả sử α ∈ Z [i] là nghịch, nói αβ = 1 đối với một số β ∈ Z [i].
Chúng tôi muốn cho α ∈ {± 1, ± i}. Lấy tiêu chuẩn của cả hai vế của phương trình αβ = 1,
chúng ta thấy N (α) N (β) = 1. Đây là một phương trình Z, vì vậy chúng tôi biết N (α) = ± 1. Kể từ khi các chuẩn mực
không mất giá trị âm, N (α) = 1. Viết α = a + bi, chúng ta có một
2 + b
2 = 1, và các
giải pháp tích hợp này cho chúng ta bốn giá trị α = ± 1, ± i.
yếu tố nghịch được gọi là đơn vị. Các đơn vị của Z là ± 1. Các đơn vị của Z [i] là ± 1 và
± i. Biết một số nguyên Gaussian đến nhân của một đơn vị tương tự như biết một
số nguyên lên đến dấu hiệu của nó.
Trong khi không có những điều như bất bình đẳng trên các số nguyên Gaussian, chúng ta có thể nói về
sự bất bình đẳng về tiêu chuẩn của họ. Đặc biệt, cảm ứng trên các chỉ tiêu (không phải trên Gaussian
nguyên chính nó) là một kỹ thuật để ghi nhớ nếu bạn muốn chứng minh một cái gì đó bằng cảm ứng
trong Z [i]. Chúng tôi sẽ sử dụng cảm ứng trên các chuẩn mực để chứng minh nhân tử độc đáo (Định lý 6.4 và
6.6).
Các chỉ tiêu mỗi số nguyên Gaussian là một số nguyên không âm, nhưng nó không phải là sự thật mà mỗi
số nguyên không âm là một chuẩn mực. Thật vậy, các chỉ tiêu là các số nguyên có dạng một
2 + b
2
, và
không phải mọi số nguyên dương là một tổng của hai hình vuông. Ví dụ như 3, 7, 11, 15, 19, và
21. Không có số nguyên Gaussian có mức tương đương với các giá trị.
2. Chia hết
chia hết trong Z [i] được định nghĩa một cách tự nhiên: chúng ta nói β chia α (và viết β | α) nếu
α = βγ cho một số γ ∈ Z [i]. Trong trường hợp này, chúng ta gọi là β một ước hoặc một yếu tố của α.
Ví dụ 2.1. Từ 14 - 3i = (4 + 5I) (1 - 2i), 4 + 5I chia 14 -. 3i
Ví dụ 2.2. Liệu (4 + 5I) | (14 + 3i)? Chúng tôi có thể làm các bộ phận bằng cách lấy một tỷ lệ và
hợp lý hóa các mẫu số:
14 + 3i
4 + 5I
=
(14 + 3i) (4 - 5I)
(4 + 5I) (4 - 5I)
=
71 - 58i
41
=
71
41
-
58
41
. i
này không có trong Z [i]: phần thực và phần ảo là 71/41 và -58/41, mà không phải là
số nguyên. Do đó 4 + 5I không chia 14 + 3i trong Z [i].
Định lý 2.3. Một số nguyên α Gaussian = a + bi là chia hết cho một số nguyên c bình thường khi và
chỉ khi c | a và c | b trong Z.
gaussian số nguyên 3
Proof. Để nói c | (a + bi) trong Z [i] cũng giống như a + bi = c (m + ni) với m, n ∈ Z, và
đó là tương đương với a = cm và b = cn, hoặc . c | a và c | b
Taking b = 0 trong định lý 2.3 cho chúng ta chia hết giữa các số nguyên bình thường không
thay đổi khi làm việc trong Z [i]: cho a, c ∈ Z, c | a trong Z [i] khi và chỉ nếu c | a trong Z. Tuy nhiên, điều này
không có nghĩa là các khía cạnh khác trong Z ở lại cùng. Ví dụ, chúng ta sẽ thấy sau này là một số
nguyên tố trong tố Z Z [i].
Các multiplicativity của chuẩn hóa quan hệ chia hết trong Z [i] vào quan hệ chia hết
trong các thiết lập quen thuộc hơn của Z, như sau.
Định lý 2.4. Đối với α, β trong Z [i], nếu β | α trong Z [