Second-order optimality conditions

Second-order optimality conditions are of great interest, since they refine first-order conditions with second-order
information which is much helpful to recognize optimal solutions as well as to design numerical algorithms for computing
them. The nature of this second-order information is the following. Roughly speaking, first-order optimality conditions say
that at a minimizer the directional derivative of the map, composed from the objective and constraints, does not belong
to the interior of the (composite) negative cone in the product of the image spaces. This directional derivative may lie on
the boundary of the mentioned cone. In this case, second-order conditions provide additional information. In general, this
information is that the second directional derivative of the Lagrangian is nonnegative. However, Kawasaki [1] discovered
that, when one considers the closure of the mentioned negative cone, the second derivative of the Lagrangian may be strictly
negative if the encountered first-order directional derivative of the mentioned composite map lies on a particular part of
the boundary of the mentioned negative cone. He called this phenomenon the envelope-like effect. A number of researchers
still do not pay attention to this effect, and some made mistakes related to this phenomenon. Many authors consider
only the mentioned negative cone, not its closure, and hence no envelope-like effect occurs. There have been significant

Kết quả (Việt) 1:

Thứ hai để điều tiết quan tâm rất lớn, vì họ tinh chỉnh các điều kiện đầu tiên đặt hàng với thứ hai đểthông tin mà nhiều hữu ích để nhận ra giải pháp tối ưu để thiết kế các giải thuật số cho máy tínhhọ. Bản chất của thông tin đặt hàng thứ hai này là như sau. Khoảng nói, đầu tiên, để điều tiết nóimà tại một minimizer hướng đạo hàm của bản đồ, bao gồm từ các mục tiêu và các ràng buộc, không thuộc vềcho hình nón phủ định (tổng hợp) trong sản phẩm của các hình ảnh không gian nội thất. Này bắt nguồn từ định hướng có thể nằm trênranh giới của hình nón được đề cập. Trong trường hợp này, điều kiện thứ hai để cung cấp thông tin bổ sung. Nói chung, điều nàythông tin là hướng đạo hàm thứ hai của Lagrange là vô. Tuy nhiên, phát hiện của Kawasaki [1]rằng, khi ta xem xét việc đóng cửa của hình nón được đề cập tiêu cực, hàm Lagrange là, thứ hai có thể nghiêm chỉnhtiêu cực nếu đặt hàng đầu tiên gặp Hướng đạo hàm của tổng hợp đồ được đề cập nằm trên một phần cụ thể củaranh giới của hình nón được đề cập tiêu cực. Ông kêu gọi hiện tượng này có hiệu lực như phong bì. Một số nhà nghiên cứuvẫn không chú ý đến hiệu ứng này, và một số sai lầm được thực hiện liên quan đến hiện tượng này. Nhiều tác giả xem xétchỉ là hình nón phủ định được đề cập, không đóng cửa, và do đó không có phong bì như hiệu ứng xảy ra. Đã có đáng kể