Figure 4: Bar plot illustrating the

Figure 4: Bar plot illustrating the probability mass function of

We can see that this mass function is quite complex and there are large differences between consecutive values of U. However, when and increase there will be less irregularities and the mass function will converge toward a smoother graph, with its limit given by (3).
3.2 Inferences on when the sample sizes are different: This is the unconditional approach, suggested first by Barnard (1947). Although it was difficult to implement at the time, today’s computer capacities can make this approach workable. As also remarked by Barnard (1947), the problem is rather two-dimensional and it is helpful that we consider the grid mentioned earlier. In fact, that grid can be a convenient graphical tool if we are able to determine precisely the limit curve(s) which separate(s), for , its rejection area from its acceptance area.
3.2.1 Exact unconditional approach for hypothesis testing: Suppose we wish to test vs. , at the significance level . It is intuitively clear that is represented by the line (D), with equation in the plane in Figure 1, and observation ( with as ordinate)corresponds to a point on the grid. If P is close to (D), or above it, this will not allow us to reject , while a point P far away from it, e.g. closer to the point (1,0) , will tend to confirm the alternate hypothesis .
We suppose that individual proportions and are different from 0 and 1, since otherwise we will be dealing with one proportion only. As seen above, the statistic used for this test is , which has null-distribution, as defined by (9) on the horizontal axis. However, the values of and are unknown, and we only know the value of their difference, which is under the null-hypothesis.
We hence start with a specific couple and use one of the two following approaches:
1) P-value approach: The P-value can be computed for any observed value of , obtained from the two observed numbers of successes . This is the sum of the probabilities of all points lying to the left of that value, i.e. , using the MDB distribution.
If we want to backtrack one step and use the two-dimensional graph for solution, we look into the grid . The P-value is obtained by adding the probabilities at all points of more extreme than the observed point , these being points of , lying below ( M ), the line parallel to the first diagonal and having intercept .
Moreover, to make the test conservative and reject only if the evidence is overwhelming, we consider all couples with difference , and compute the corresponding P-values . Let . We reject if < , the fixed significance level.
2) Critical region approach: This is the region which allows the rejection of whenever the observed value of the test statistic belongs to it.
Let be the largest value in with P-value less than or equal to , i.e. , but , where is the next value of V in increasing order. The critical region lies to the left of . We then take the minimum of for all couples such that and the critical region for V lies to the right of .
Considering the grid again, and looking for a two-dimensional solution, we consider the parallel to the second diagonal with ordinate . This is the frontier (G) which allows the rejection of when an observation lies below it .
Power of the test: In the second approach, under an alternate hypothesis we can compute the probability that an observation from U is within the critical region defined above, using (9) again, but with . We proceed again with different couples with sum and take the minimum of the related values.
Remarks:
1) For the right-tailed test , we proceed in a similar way for the P-value approach, but use the sum of the probabilities of all points lying to the right of that value, i.e. and then use as P- value for the test.
2) For the critical region approach: Let be the smallest value in with P-value less than or equal to , i.e. , but , , where is the next value of U in decreasing order. We choose to determine the critical region for the test.
3) For a two-tailed test, for P-values we use both and and compare with .
For critical regions we use both and above, but with instead of .
Again, considering the grid , frontier(s) for rejection of in the right-tailed test, and two-tailed test, can be determined similarly to the left-tailed test.
3.2.2. Numerical example 1:
To investigate its proportions of customers in two separate geographic areas of the country, a company picks a random sample of 25 shoppers in area A, in which 17 are found to be its customers. A similar random sample of 20 shoppers in area B gives 8 customers. We wish to test the hypothesis that the difference of the two proportions is at least .35.
Solution: Here, we c

Kết quả (Việt) 1:

Hình 4: Bar plot minh họa hàm khối xác suất của Chúng ta có thể thấy rằng chức năng khối lượng này là khá phức tạp và có sự khác biệt lớn giữa các giá trị liên tiếp của U. Tuy nhiên, khi nào và tăng có sẽ là bất thường ít hơn và chức năng khối lượng sẽ hội tụ về một đồ thị mượt mà, với giới hạn của nó được đưa ra bởi (3).3.2 suy luận trên khi kích thước mẫu là khác nhau: đây là phương pháp tiếp cận vô điều kiện, lần đầu tiên được đề xuất bởi Barnard (1947). Mặc dù nó đã được khó khăn để thực hiện tại thời điểm, ngày hôm nay của máy tính khả năng có thể làm cho phương pháp này hoàn toàn khả thi. Như cũng nhận xét bởi Barnard (1947), vấn đề là thay vì hai chiều và hữu ích mà chúng tôi xem xét lưới đã đề cập trước đó. Trong thực tế, lưới điện đó có thể là một công cụ đồ họa thuận tiện nếu chúng ta có thể xác định chính xác giới hạn curve(s) mà separate(s), cho, diện tích từ chối từ khu vực chấp nhận của nó.3.2.1 chính xác cách tiếp cận vô điều kiện để thử nghiệm giả thuyết: giả sử chúng ta muốn kiểm tra so với, ở mức độ ý nghĩa. Nó là trực giác rõ ràng đó là đại diện của các dòng (D), với các phương trình mặt phẳng trong hình 1, và quan sát (với như phối) tương ứng với một điểm trên lưới điện. Nếu P là gần gũi với (D), hoặc ở trên nó, điều này sẽ không cho phép chúng tôi để từ chối, trong khi một điểm P cách xa nó, ví dụ như gần gũi hơn với điểm (1,0), sẽ có xu hướng để xác nhận giả thuyết thay thế. Chúng tôi giả sử rằng tỷ lệ cá nhân và là khác nhau từ 0 và 1, vì nếu không chúng tôi sẽ đối phó với một tỷ lệ chỉ. Như đã thấy ở trên, số liệu thống kê được sử dụng cho thử nghiệm này là, trong đó có null-phân phối, như được định nghĩa bởi (9) trên trục ngang. Tuy nhiên, các giá trị của và là không rõ, và chúng tôi chỉ biết giá trị của sự khác biệt của họ, theo giả thuyết null. Do đó, chúng tôi bắt đầu với một cặp vợ chồng cụ thể và sử dụng một trong hai phương pháp sau đây:1) cách tiếp cận P-value: giá trị P có thể được tính cho bất kỳ quan sát các giá trị, được lấy từ hai số điện thoại quan sát thành công. Điều này là tổng của các xác suất của tất cả các điểm nằm ở bên trái của giá trị đó, tức là, bằng cách sử dụng phân phối MDB. Nếu chúng tôi muốn quay lại một bước và sử dụng đồ thị hai chiều cho các giải pháp, chúng ta nhìn vào lưới điện. P-giá trị thu được bằng cách thêm các xác suất ở tất cả các điểm của cực đoan hơn so với điểm quan sát, các điểm số, nằm bên dưới (M), đường song song để đánh chặn đường chéo và có đầu tiên.Hơn nữa, để làm bài kiểm tra bảo thủ và từ chối chỉ khi các bằng chứng là áp đảo, chúng tôi xem xét tất cả các cặp vợ chồng với sự khác biệt và tính toán các giá trị P tương ứng. Cho phép. Chúng tôi từ chối nếu <, mức độ ý nghĩa cố định. 2) phương pháp tiếp cận vùng quan trọng: đây là khu vực mà cho phép từ chối của bất cứ khi nào giá trị thống kê kiểm tra quan sát thuộc về nó. Hãy để là giá trị lớn nhất với P-giá trị nhỏ hơn hoặc bằng, ví dụ, nhưng mà là giá trị tiếp theo của V tăng đơn đặt hàng. Vùng quan trọng nằm ở bên trái. Chúng ta sau đó đi tối thiểu của cho cặp đôi tất cả đó và khu vực quan trọng cho V nằm ở bên phải. Xem xét lưới điện một lần nữa, và đang tìm kiếm một giải pháp hai chiều, chúng tôi xem xét việc song song với đường chéo thứ hai với phối. Đây là biên giới (G) cho phép từ chối khi một quan sát nằm dưới nó. Sức mạnh của kiểm tra: trong phương pháp thứ hai, theo một giả thuyết thay thế chúng tôi có thể tính toán xác suất một quan sát từ U nằm trong vùng quan trọng được xác định ở trên, bằng cách sử dụng (9) một lần nữa, nhưng với. Chúng tôi tiến hành một lần nữa với cặp vợ chồng khác nhau với số tiền và mất tối thiểu của các giá trị có liên quan.Nhận xét: 1) cho đuôi phải kiểm tra, chúng tôi tiến hành một cách tương tự cho các phương pháp tiếp cận giá trị P, nhưng sử dụng tổng của các xác suất của tất cả các điểm nằm ở bên phải của giá trị đó, tức là và sau đó sử dụng như là giá trị P cho kỳ thi.2) đối với các phương pháp tiếp cận khu vực quan trọng: Hãy để là giá trị nhỏ nhất với P-giá trị nhỏ hơn hoặc bằng, ví dụ, nhưng,, mà là giá trị tiếp theo của U trong giảm đơn đặt hàng. Chúng tôi chọn để xác định các khu vực quan trọng cho các bài kiểm tra.3) cho một bài kiểm tra hai đuôi, P-giá trị chúng tôi sử dụng cả hai và và so sánh với. Cho các khu vực quan trọng, chúng tôi sử dụng cả hai và ở trên, nhưng với thay vì.Một lần nữa, xem xét lưới, frontier(s) từ chối của đuôi phải kiểm tra và thử nghiệm hai đuôi, có thể được xác định tương tự như vậy để thử nghiệm đuôi trái. 3.2.2. số ví dụ 1:Để tìm hiểu các tỷ lệ của các khách hàng ở hai khu vực địa lý khác nhau của đất nước, một công ty chọn một ngẫu nhiên mẫu 25 người mua sắm ở khu vực A, trong đó những lý lẽ 17 được tìm thấy là khách hàng của mình. Tương tự như mẫu ngẫu nhiên của 20 người mua sắm ở khu B cho 8 khách. Chúng tôi muốn thử nghiệm giả thuyết rằng sự khác biệt về tỷ lệ hai là ít.35. Giải pháp: Đây, tất cả chúng ta c

Kết quả (Việt) 2:

Hình 4: Bar cốt truyện minh họa các chức năng xác khối lượng của chúng tôi có thể thấy rằng chức năng khối này là khá phức tạp và có sự khác biệt lớn giữa các giá trị liên tiếp của U. Tuy nhiên, khi tăng và sẽ có ít bất thường và chức năng hàng loạt sẽ tiến dần đến một mượt mà đồ thị, với giới hạn của nó cho bởi (3). 3.2 các kết luận trên khi cỡ mẫu là khác nhau: Đây là phương pháp vô điều kiện, đề nghị đầu tiên của Barnard (1947). Mặc dù rất khó để thực hiện vào thời điểm đó, năng lực máy tính ngày nay có thể thực hiện phương pháp này hoàn toàn khả thi. Như cũng nhận xét ​​của Barnard (1947), vấn đề là thay vì hai chiều và nó là hữu ích mà chúng ta xem xét các lưới điện đã đề cập trước đó. Trong thực tế, lưới điện mà có thể là một công cụ đồ họa thuận tiện nếu chúng tôi có thể xác định chính xác các đường cong giới hạn (s) mà tách (s), cho, khu vực từ chối từ khu vực chấp nhận của nó. 3.2.1 Phương pháp vô điều kiện chính xác để thử nghiệm giả thuyết: giả sử chúng ta muốn kiểm tra so với, ở mức ý nghĩa. Đó là trực giác rõ ràng được đại diện bởi các dòng (D), với phương trình mặt phẳng trong hình 1, và quan sát (có khi phối) tương ứng với một điểm trên lưới điện. Nếu P là gần đến (D), hoặc ở trên nó, điều này sẽ không cho phép chúng tôi từ chối, trong khi một điểm P cách xa nó, ví dụ như gần gũi hơn với các điểm (1,0), sẽ có xu hướng để xác nhận giả thuyết thay thế. Chúng tôi giả sử rằng tỷ lệ cá nhân và khác 0 và 1, vì nếu không chúng tôi sẽ được giao dịch với chỉ một tỷ lệ. Như đã thấy ở trên, các số liệu thống kê được sử dụng để thử nghiệm này là, trong đó có null-phân phối, theo định nghĩa của (9) trên trục ngang. Tuy nhiên, các giá trị và chưa được biết, và chúng tôi chỉ biết được giá trị của sự khác biệt của họ, mà là dưới null-giả thuyết. Chúng tôi do đó bắt đầu với một vài cụ thể và sử dụng một trong hai phương pháp sau đây: Phương pháp 1) P-giá trị: P-giá trị có thể được tính cho bất kỳ giá trị quan sát của, thu được từ hai con số quan sát được những thành công. Đây là tổng của các xác suất của tất cả các điểm nằm bên trái của giá trị đó, ví dụ, bằng cách sử dụng phân phối MDB. Nếu chúng tôi muốn quay lại một bước và sử dụng đồ thị hai chiều cho các giải pháp, chúng ta nhìn vào lưới điện. P-giá trị thu được bằng cách thêm các xác suất ở tất cả các điểm khắc nghiệt hơn so điểm quan sát, những là điểm, nằm ​​bên dưới (M), đường thẳng song song để đánh chặn đường chéo và có đầu tiên. Hơn nữa, để đảm bảo thủ thử nghiệm và bác bỏ chỉ khi các bằng chứng là áp đảo, chúng tôi xem xét tất cả các cặp vợ chồng có sự khác biệt, và tính toán P-giá trị tương ứng. Để cho . Chúng tôi từ chối nếu <, ý nghĩa cố định mức. 2) Critical khu vực tiếp cận:. Đây là khu vực cho phép từ chối bất cứ khi nào các giá trị quan sát thống kê kiểm định thuộc về nó cho được giá trị lớn nhất với P-giá trị nhỏ hơn hoặc bằng, tức là, nhưng, mà là giá trị tiếp theo của V thứ tự tăng dần. Các khu vực quan trọng nằm bên trái của. Sau đó chúng tôi lấy tối thiểu cho tất cả các cặp vợ chồng như vậy mà và các khu vực quan trọng đối với V nằm bên phải. Xét lưới một lần nữa, và tìm kiếm một giải pháp hai chiều, chúng ta xem xét song song với đường chéo thứ hai với phối. Đây là biên giới (G) cho phép từ chối khi một quan sát nằm dưới nó. Sức mạnh của thử nghiệm: Trong phương pháp thứ hai, theo một giả thuyết thay thế chúng ta có thể tính toán xác suất mà một quan sát từ U là trong các khu vực quan trọng được xác định ở trên , sử dụng (9) một lần nữa, nhưng với. Chúng tôi tiến hành một lần nữa với các cặp vợ chồng khác nhau với số tiền và lấy tối thiểu của các giá trị liên quan. Ghi chú: 1) Đối với các bài kiểm tra phải đuôi, chúng tôi tiến hành theo một cách tương tự cho phương pháp P-giá trị, nhưng sử dụng tổng các xác suất của tất cả các điểm nằm bên phải mà giá trị, ví dụ và sau đó sử dụng giá trị như P- cho thử nghiệm. 2) đối với các phương pháp tiếp cận khu vực quan trọng: Hãy là giá trị nhỏ nhất với P-giá trị nhỏ hơn hoặc bằng, tức là, nhưng,, mà là giá trị tiếp theo của U trong thứ tự giảm. Chúng tôi lựa chọn để xác định các khu vực quan trọng đối với các bài kiểm tra. 3) Đối với một bài kiểm tra hai đuôi, cho P-giá trị chúng tôi sử dụng cả hai và và so sánh với. Đối với những vùng quan trọng chúng tôi sử dụng cả hai và ở trên, nhưng với thay. Một lần nữa, xem xét lưới, biên giới (s) để từ chối trong các thử nghiệm phải đuôi, và kiểm tra hai đuôi, có thể được xác định tương tự để kiểm tra bên trái đuôi. 3.2.2. Số ví dụ 1: Để tra tỷ lệ của khách hàng tại hai khu vực địa lý riêng biệt của đất nước, một công ty chọn một mẫu ngẫu nhiên 25 người mua hàng tại khu vực A, trong đó 17 được tìm thấy là khách hàng của mình. Một mẫu ngẫu nhiên tương tự của 20 người mua hàng tại khu vực B cung cấp cho 8 khách hàng. Chúng tôi muốn kiểm tra giả thuyết rằng sự khác biệt của hai tỷ lệ ít nhất là 0,35. Giải pháp: Ở đây, chúng tôi c