13.4 ECONOMIC ORDER QUANTITY (EOQ)

13.4 ECONOMIC ORDER QUANTITY (EOQ) MODELS

A crucial assumption of

the basic EOQ model

is that demand occurs

at a constant known

rate through time.

We first examine a class of models called economic order quantity (EOQ) models. These

are the most basic of all the inventory planning models. Developed originally in 1915 by

F. W. Harris of Westinghouse Corporation, they are also among the earliest management

science models. Despite their simplicity, numerous companies have applied these models,

and they continue to play a prominent role in inventory management.

We begin by studying the most basic EOQ model. Then we examine several interest-
ing variations of this basic model. All of these models make the following assumptions:

■ A company orders a single product from a supplier and sells this product to its

customers.

■ Orders can be placed at any time (continuous review).

■ There is a constant, known demand rate for the product, usually expressed in units

per year (annual demand).

■ There is a constant, known lead time for delivery of the product from the supplier.

■ There is a fixed ordering cost each time the product is ordered, independent of the

size of the order.

■ The price the company charges for the product is fixed.

■ The annual holding cost is proportional to the average amount of inventory on hand.

The constant demand rate means, for example, that if the yearly demand is 52,000

units, then each week’s demand is approximately 1000 units—there are no peaks or valleys

during the year. The known lead time means that if the company places an order on Mon-
day and the lead time is 3 days, then the order arrives, with certainty, on Thursday. We dis-
cuss the holding cost in more detail shortly.

The Basic EOQ Model

The most basic EOQ model adds the following two assumptions.

■ No stockouts are allowed; that is, the company never allows itself to run out of in-
ventory.

■ The unit cost of purchasing the product from the supplier is constant. In particular,

no quantity discounts are available.

FUNDAMENTAL INSIGHT

Importance of EOQ

The basic EOQ model and its variations are among

the simplest models discussed in this book, and they

have been known for close to a century. However,

they capture the essence of many companies’ prob-
lems,and they are still in wide use today. As with most

models for managing inventory,they balance the costs

of ordering too frequently and not ordering fre-
quently enough.

These assumptions have important implications.

Because the demand rate and lead time are assumed

known, the company can ensure that it always has

enough on hand to meet demand on time. The main

decision is whether to order small amounts fre-
quently or to order large amounts infrequently. The

former results in large fixed costs and small holding

costs (less inventory on hand), whereas the latter re-
sults in the opposite. The EOQ analysis balances

these two competing forces.

We now analyze this basic EOQ model in the

following example.

13.4 Economic Order Quantity (EOQ) Models 743

EXAMPLE 13.1 ORDERING CAMERAS AT MACHEY’S

Figure 13.1

Inventory Level for

the Basic EOQ

Model

Machey’s Department Store sells 1200 cameras per year, and the demand pattern

throughout the year is very steady. The store orders its cameras from a regional ware-
house, and it usually takes a week for the cameras to arrive after an order has been placed.

Each time an order is placed, an ordering cost of $125 is incurred. The store pays $100 for

each camera and sells them for $130 apiece. There is no physical storage cost, but the

store’s annual cost of capital is estimated at 8% per year—that is, it can earn 8% on any ex-
cess cash it invests. The store wants to determine how often it should order cameras, when

it should place orders, and how many cameras it should order in each order.

Objective To determine when to order and how much to order so that the store never runs

out of cameras and profit is maximized.

WHERE DO THE NUMBERS COME FROM?

Throughout this chapter, we refer you back to Sections 13.2 and 13.3 for a general discus-
sion of the inputs to these inventory problems. For this reason, we do not include this

“Where Do the Numbers Come From?” section in later examples.

Solution

We first discuss some basic quantities and relationships. Let D 1200 be the annual de-
mand. Because demand occurs steadily through the year, Machey’s places an order every

time its inventory gets sufficiently low. Therefore, there are really two decisions to make:

(1) when to order, and (2) how much to order. The first of these is straightforward. Because

the lead time is 1 week, and the demand in a week is D52, or about 23, Machey’s should

place an order when its inventory drops to 23 cameras. This way, the order will arrive just

as inventory runs out.

The second decision concerns the amount of each order. We let Q be the quantity

ordered each time an order is placed. This is the primary decision variable. After we know

Q, the number of orders per year is given by

Equivalently, the time between orders (measured as a fraction of a year) is QD. For exam-
ple, if Q 300, Machey’s places DQ 4 orders per year, and the time between orders is

QD 0.25 year (3 months). A graph of the company’s inventory through time appears in

Figure 13.1. The key aspect in this figure is that the inventory level jumps up to Q when-
ever an order arrives and decreases linearly (due to demand) until the next order arrives.

Inventory

level

Q

Number of orders per year DQ (13.1)

Slope: D

Place order

Time

L

Q/D

744 Chapter 13 Inventory Models

The problem is to find an order quantity Q that maximizes Machey’s annual profit.

There are several components of the annual profit. First, each time Machey’s places an

order, it incurs a fixed ordering cost, labeled K. For this example, K $125. Because DQ

orders are placed per year, the annual ordering cost is

Annual ordering cost KDQ (13.2)

On top of this, Machey’s pays a variable cost, labeled c, for each camera it purchases.

Here, c $100. Because the annual demand is D 1200 and all demand must be met, the

annual variable cost is cD $120,000. Note that this cost does not depend on Q. Similarly,

the company’s revenue from each camera, labeled r, is r $130, so its annual revenue is

rD. This is also unaffected by the order quantity Q.

cameras, but Machey’s loses money from potential investments by having excess cash tied

up in inventory. If we let i be Machey’s annual cost of capital, where i 0.08 (8%), then it

can be shown from a net present value argument that the relevant annual holding cost is i

multiplied by the average monetary value of inventory, where this average is over the en-
tire year. Because the inventory decreases linearly from Q to 0 between orders, the average

level of inventory at a typical point in time is (Q 0)2 Q2, which implies that the av-
erage monetary value of inventory is cQ2. Therefore, the annual holding cost from money

tied up in inventory is

[In general, if there is also a storage cost of s dollars per unit held in storage per year, then

the total annual holding cost is (s ic)Q2. In the inventory literature, the combined unit

holding cost,(s ic), is usually labeled h.]

DEVELOPING THE SPREADSHEET MODEL

The spreadsheet model appears in Figure 13.2. (See the file Basic EOQ.xlsx.) In the inter-
est of space, we do not list the individual steps for developing this model. All of the for-
mulas are based directly on equations (13.1), (13.2), and (13.3). For example, the annual

holding cost, determined by equation (13.3), is calculated in cell B18 with the formula

Note that the only changing cell is the Order_quantity cell. It drives all of the quantities

below it except for the annual purchase cost and the annual revenue, which do not depend

on the order quantity. (They could actually be omitted from the model, although Machey’s

would then not be able to see its overall profit.) Also, note that we have included the lead

time in the spreadsheet model, although it is never used in any formulas. Its only role is to

determine when to order. We already saw that Machey’s should place an order when its in-
ventory drops to 23 cameras.

USING SOLVER

SOLVER

The Solver setup (not shown) is particularly simple. We maximize annual profit with a sin-
gle changing cell, the order quantity cell. There are no constraints other than nonnegativity

of the order quantity. (If you like, you can also constrain the order quantity to be an integer.

However, this is not really necessary. For all practical purposes, it suffices to round the

Solver solution to the nearest integer.) Also, the Assume Linear Model box should not be

checked because the decision variable Q appears in the denominator of equation (13.2) for

the annual ordering cost. This makes the model nonlinear.

Now we consider the annual holding cost. There is no cost for physically storing the

Annual financial holding cost icQ2 (13.3)

We can now develop a spreadsheet to optimize Machey’s annual profit.

Annual_interest_rate*Unit_purchasing_cost*Order_quantity/2

13.4 Economic Order Quantity (EOQ) Models 745

Figure 13.2

The Basic EOQ

Model

A B C D E

Machey's EOQ model

1

2

I names used: nputs Range

3

Fixed ordering cost $125 Annual_demand =Model!$B$8

4

Annual interest rate 8% Annual_interest_rate =Model!$B$5

5

Unit purchasing cost $100 Annual_profit =Model!$B$21

6

Selling price per unit $130 Fixed_ordering_cost =Model!$B$4

7

Annual demand 1200 Order_quantity =Model!$B$12

8

Lead me in years 1/52 Orders_per_year =Model!$B$13

9

10

Ordering model Unit_purchasing_cost =Model!$B$6

11

Order 5 quantity 193.6

12

Orders per 0 year 6.2

13

Time between orders (days) 58.90

14

15

Monetary values

16

Annual fixed ordering 5 cost $77

17

Annual holding 5 cost $77

18

Annual purchasing cost $120,000

1

Kết quả (Việt) 2:

13,4 KINH TẾ TỰ SỐ LƯỢNG (EOQ) MODELS Một giả định quan trọng của mô hình EOQ cơ bản là nhu cầu mà xảy ra tại một biết hằng số tỷ lệ thông qua thời gian. Chúng tôi đầu tiên xem xét một lớp của mô hình được gọi là số lượng (EOQ) mô hình trật tự kinh tế. Những là cơ bản nhất của tất cả các mô hình lập kế hoạch hàng tồn kho. Phát triển ban đầu vào năm 1915 bởi F. W. Harris của Tổng công ty Westinghouse, họ cũng là một trong những quản lý sớm nhất mô hình khoa học. Mặc dù đơn giản của họ, nhiều công ty đã áp dụng các mô hình này, và họ tiếp tục đóng một vai trò nổi bật trong việc quản lý hàng tồn kho. Chúng ta bắt đầu bằng cách nghiên cứu các mô hình EOQ cơ bản nhất. Sau đó, chúng ta xem xét một số interest- biến ing của mô hình cơ bản này. Tất cả các mô hình này làm cho các giả định sau: ■ Một công ty đặt hàng sản phẩm duy nhất từ một nhà cung cấp và bán các sản phẩm này để nó khách hàng. ■ Đơn đặt hàng có thể được đặt ở bất cứ lúc nào (liên tục xem xét). ■ Có một hằng số, tỷ lệ nhu cầu gọi cho các sản phẩm, thường được biểu diễn theo đơn vị mỗi năm (nhu cầu hàng năm). ■ Có một hằng số, được biết thời gian dẫn giao của các sản phẩm từ các nhà cung cấp. ■ Có một chi phí đặt hàng cố định mỗi khi sản phẩm được ra lệnh, độc lập với các kích thước của đơn hàng. ■ Các giá cước của công ty cho các sản phẩm là cố định. ■ Chi phí tổ chức hàng năm là tỷ lệ thuận với số tiền trung bình của hàng tồn kho trên tay. Các phương tiện tốc độ nhu cầu liên tục, ví dụ, rằng nếu nhu cầu hàng năm là 52.000 đơn vị, sau đó nhu cầu của mỗi tuần là khoảng 1000 đơn vị, không có đỉnh núi hoặc thung lũng trong năm. Thời gian đầu được biết đến có nghĩa là nếu các công ty đặt hàng trên Mơn ngày và thời gian chờ là 3 ngày, sau đó theo thứ tự xuất hiện, với sự chắc chắn, hôm thứ Năm. Chúng tôi dis- đáng gì cả chi phí nắm giữ chi tiết hơn trong thời gian ngắn. Các cơ bản EOQ Mô hình Mô hình EOQ cơ bản nhất cho biết thêm hai giả định sau. ■ Không stockouts được phép; đó là, công ty không bao giờ cho phép bản thân để chạy ra khỏi trong- ventory. ■ Các đơn vị chi phí mua sản phẩm từ các nhà cung cấp là không đổi. Đặc biệt, không có số lượng giảm giá có sẵn. INSIGHT FUNDAMENTAL Tầm quan trọng của EOQ Mô hình EOQ cơ bản và các biến thể của nó là một trong những mô hình đơn giản nhất được thảo luận trong cuốn sách này, và họ đã được biết đến từ gần một thế kỷ. Tuy nhiên, họ nắm bắt được bản chất của prob- nhiều công ty 'vấn, và họ vẫn đang được sử dụng rộng rãi ngày nay. Như với hầu hết các mô hình quản lý hàng tồn kho, họ cân bằng chi phí đặt hàng quá thường xuyên và không đặt fre- quently đủ. Những giả định có ý nghĩa quan trọng. Bởi vì tỷ lệ nhu cầu và thời gian được giả biết đến, các công ty có thể đảm bảo rằng nó luôn luôn có đủ trên tay để đáp ứng nhu cầu về thời gian. Các chính quyết định là liệu có nên đặt hàng số lượng nhỏ fre- xuyên hoặc để đặt hàng số lượng lớn không thường xuyên. Các kết quả trước đây trong chi phí cố định lớn và nắm giữ nhỏ chi phí (ít hàng tồn kho trên tay), trong khi đó lại sau sults ở đối diện. Các phân tích EOQ cân bằng hai lực lượng cạnh tranh. Bây giờ chúng ta phân tích mô hình EOQ cơ bản này trong ví dụ sau. 13,4 trật tự kinh tế lượng (EOQ) Mô hình 743 VÍ DỤ 13.1 MÁY ĐẶT AT MACHEY'S Hình 13.1 Inventory cấp cho các cơ bản EOQ mẫu Department Store Machey của bán 1200 máy ảnh mỗi năm, và các mô hình cầu trong suốt cả năm là rất ổn định. Các đơn đặt hàng cửa hàng máy ảnh của mình từ một ware- khu vực ngôi nhà, và nó thường mất một tuần cho các máy ảnh đến sau một đơn đặt hàng đã được đặt. Mỗi khi một đơn đặt hàng được đặt, chi phí đặt hàng của 125 $ được phát sinh. Các cửa hàng trả $ 100 cho mỗi camera và bán chúng với $ 130 USD một chiếc. Không có chi phí lưu trữ vật lý, nhưng các chi phí hàng năm của cửa hàng vốn được ước tính ở mức 8% mỗi năm, nghĩa là, nó có thể kiếm được 8% trên bất kỳ Ex- tiền thuế đó đầu tư. Các cửa hàng muốn để xác định mức độ thường xuyên nên đặt camera, khi cần đặt hàng, và có bao nhiêu máy ảnh nó nên đặt ở mỗi đơn hàng. Mục tiêu Để xác định khi nào để đặt hàng và bao nhiêu để đặt hàng để các cửa hàng không bao giờ chạy ra khỏi máy ảnh và lợi nhuận là tối đa. Ở ĐÂU CÁC SỐ ĐẾN TỪ? Trong suốt chương này, chúng tôi giới thiệu bạn quay trở lại mục 13.2 và 13.3 cho một cuộc thảo luận chung sion của yếu tố đầu vào cho những vấn đề hàng tồn kho. Vì lý do này, chúng tôi không bao gồm điều này "Where Do các số đến từ đâu?" Trong ví dụ sau này. Giải pháp Chúng tôi đầu tiên thảo luận về một số lượng cơ bản và các mối quan hệ. Cho D 1200 là triển hàng năm mand. Do nhu cầu xảy ra đều đặn qua các năm, Machey của đặt một đơn đặt hàng mỗi lần hàng tồn kho của nó được đủ thấp. Vì vậy, có thực sự hai quyết định để thực hiện: (1) khi đặt hàng, và (2) có bao nhiêu để đặt hàng. Việc đầu tiên trong số này là đơn giản. Bởi vì thời gian đầu là 1 tuần, và các nhu cầu trong một tuần là D52, hoặc khoảng 23, Machey của nên đặt hàng khi hàng tồn kho giảm xuống 23 camera. Bằng cách này, thứ tự sẽ đến chỉ là hàng tồn kho chạy ra ngoài. Các quyết định thứ hai liên quan số lượng của từng đơn hàng. Chúng ta hãy để Q là số lượng đặt hàng mỗi lần một đơn hàng được đặt. Đây là biến quyết định chính. Sau khi chúng tôi biết Q, số lượng đơn đặt hàng mỗi năm được tính bằng cách tương đương, thời gian giữa các đơn đặt hàng (đo như là một phần nhỏ của một năm) là QĐ. Ví dụ ple, nếu Q 300, Machey của nơi DQ 4 đơn đặt hàng mỗi năm, và thời gian giữa các đơn đặt hàng là QĐ 0,25 năm (3 tháng). Một đồ thị của hàng tồn kho của công ty thông qua thời gian xuất hiện trong hình 13.1. Các khía cạnh quan trọng trong con số này là mức tồn kho nhảy lên đến Q bất kỳ khi nào một đơn đặt hàng đến và giảm tuyến tính (do nhu cầu) cho đến khi lệnh tiếp theo đến. Inventory mức Q Số đơn đặt hàng mỗi năm DQ (13.1) Độ dốc: D Nơi để Time L Q / D 744 Chương 13 Inventory Models Vấn đề là để tìm thấy một số lượng Q để tối đa hoá lợi nhuận hàng năm của Machey. Có một số thành phần của lợi nhuận hàng năm. Đầu tiên, mỗi lần nơi Machey của một trật tự, nó phải gánh chịu một chi phí cố định đặt hàng, dán nhãn K. Đối với ví dụ này, K 125 $. Bởi vì DQ các đơn đặt hàng mỗi năm, chi phí đặt hàng hàng năm là KDQ chi phí đặt hàng hàng năm (13.2) Ngày đầu này, Machey pays chi phí biến đổi, có nhãn c, cho mỗi máy ảnh nó mua. Ở đây, c $ 100. Bởi vì nhu cầu hàng năm là D 1200 và tất cả các nhu cầu cần được đáp ứng, các chi phí biến đổi hàng năm là cD $ 120.000. Lưu ý rằng chi phí này không phụ thuộc vào Q. Tương tự, doanh thu của công ty từ mỗi máy ảnh, r, dán nhãn là r 130 $, do đó doanh thu hàng năm của nó là RD. Điều này cũng không bị ảnh hưởng bởi những Q. số lượng đặt hàng máy ảnh, nhưng Machey của mất tiền từ các khoản đầu tư tiềm năng bởi có tiền mặt dư thừa gắn lên trong hàng tồn kho. Nếu chúng ta để cho tôi được chi phí hàng năm Machey của thủ đô, nơi i 0.08 (8%), sau đó nó có thể được thể hiện từ một đối số giá trị hiện tại thuần là chi phí nắm giữ hàng năm có liên quan là i nhân với giá trị tiền tệ trung bình của hàng tồn kho, nơi trung bình này là trong en- năm lốp. Bởi vì hàng tồn kho giảm tuyến tính từ Q 0 giữa đơn đặt hàng, trung bình mức độ hàng tồn kho tại một điểm điển hình trong thời gian là (Q 0) 2 Q2, trong đó hàm ý rằng av- erage giá trị tiền tệ của hàng tồn kho là cQ2. Do đó, chi phí tổ chức hàng năm từ tiền gắn lên trong hàng tồn kho là [Nói chung, nếu có cũng là một chi phí lưu trữ của USD trên mỗi đơn vị tổ chức trong lưu trữ cho mỗi năm, sau đó tổng chi phí nắm giữ hàng năm (s ic) Q2. Trong các tài liệu hàng tồn kho, kết hợp đơn vị chi phí nắm giữ, (s ic), thường được dán nhãn h.] PHÁT TRIỂN Mô hình bảng Mô hình bảng xuất hiện trong hình 13.2. (Xem tập tin cơ bản EOQ.xlsx.) Trong liên est của không gian, chúng tôi không liệt kê các bước cá nhân để phát triển mô hình này. Tất cả các cho- Mulas dựa trực tiếp vào phương trình (13.1), (13.2), và (13,3). Ví dụ, hàng năm chi phí nắm giữ, được xác định bởi phương trình (13.3), được tính trong tế bào B18 với công thức Lưu ý rằng các tế bào duy nhất thay đổi là tế bào Order_quantity. Nó làm tất cả của số lượng dưới nó trừ chi phí mua hàng hàng năm và doanh thu hàng năm, mà không phụ thuộc vào số lượng đặt hàng. (Họ thực sự có thể được bỏ qua từ mô hình, mặc dù Machey của sau đó sẽ không thể nhìn thấy lợi nhuận tổng thể của nó.) Ngoài ra, lưu ý rằng chúng tôi đã bao gồm các dẫn thời gian trong mô hình bảng tính, mặc dù nó không bao giờ được sử dụng trong bất kỳ công thức. Vai trò duy nhất của nó là để xác định khi nào để đặt hàng. Chúng ta đã thấy rằng Machey của nên đặt hàng khi trong- nó ventory giảm đến 23 camera. SỬ DỤNG SOLVER SOLVER thiết lập The Solver (không hiển thị) là đặc biệt đơn giản. Chúng tôi tối đa hóa lợi nhuận hàng năm với một sin- thay đổi tế bào gle, các tế bào khối lượng đặt hàng. Không có hạn chế khác hơn nonnegativity của số lượng đặt hàng. (Nếu bạn thích, bạn cũng có thể hạn chế số lượng đặt hàng là một số nguyên. Tuy nhiên, điều này là không thực sự cần thiết. Đối với tất cả các mục đích thực tế, nó cũng đủ để làm tròn các giải pháp Solver đến số nguyên gần nhất.) Ngoài ra, hộp mô hình tuyến tính Giả không nên được kiểm tra bởi vì các quyết định biến Q xuất hiện trong mẫu số của phương trình (13.2) cho các chi phí đặt hàng hàng năm. Điều này làm cho các mô hình phi tuyến. Bây giờ chúng ta xem xét các chi phí tổ chức hàng năm. Không có chi phí cho vật lý lưu trữ các icQ2 chi phí nắm giữ tài chính hàng năm (13.3) Bây giờ chúng ta có thể phát triển một bảng tính để tối ưu hóa lợi nhuận hàng năm Machey của. Annual_interest_rate * Unit_purchasing_cost * Order_quantity / 2 13.4 trật tự kinh tế lượng (EOQ) Mô hình 745 Hình 13.2 Các cơ bản EOQ mẫu A BCDE mô hình EOQ Machey của 1 2 Tôi tên được sử dụng: nputs Khoảng 3! Cố định đặt hàng có giá 125 $ Annual_demand = Mẫu $ B $ 8 4! lãi suất 8% Annual_interest_rate = Mẫu hàng năm $ B $ 5 5! Unit mua chi phí $ 100 Annual_profit = Mẫu $ B $ 21 6 Giá bán mỗi đơn vị 130 $ Fixed_ordering_cost $ B $ 4 = Mẫu! 7 hàng năm nhu cầu 1200 Order_quantity = Mẫu! $ B $ 12 8 Xin hãy dẫn tôi trong những năm 1/52 Orders_per_year = Mẫu! $ B $ 13 9 10 mô hình đặt hàng Unit_purchasing_cost = Mẫu! $ B $ 6 11 Đặt hàng 5 lượng 193,6 12 đơn đặt hàng mỗi năm 6,2 0 13 Thời gian giữa các đơn đặt hàng (ngày) 58,90 14 15 Tiền tệ giá trị 16 năm cố định đặt hàng 5 có giá 77 $ 17 hàng năm nắm giữ 5 có giá 77 $ 18 mua hàng năm có giá 120.000 $ 1