The last non-zero remainder is divi

The last non-zero remainder is divisible by all common divisors of α and β, and is itself a
common divisor, so it is a greatest common divisor of α and β.
Proof. The proof is identical to the usual proof that Euclid’s algorithm works in Z. We
briefly summarize the argument. Reasoning from the first equation down shows every
common divisor of α and β divides the last non-zero remainder. Conversely, reasoning
from the final equation up shows the last non-zero remainder (which is in the second-tolast
equation) is a common divisor of α and β. Therefore this last non-zero remainder is
a common divisor which is divisible by all the others. Thus it must have maximal norm
among the common divisors, so it is a greatest common divisor.
Example 4.4. We compute a greatest common divisor of α = 32 + 9i and β = 4 + 11i.
Details involved in carrying out the division theorem in each step of Euclid’s algorithm are
omitted. The reader could work them out as more practice with the division theorem. We
find

Kết quả (Việt) 1:

Phần còn lại không cuối là số chia hết cho tất cả chung thức α và β, và bản thân mộtước chung, do đó, nó là ước số chung lớn nhất của α và β.Bằng chứng. Bằng chứng là giống hệt nhau để chứng minh thông thường mà các thuật toán Euclid của công trình ở Z. chúng tôimột thời gian ngắn tóm tắt các đối số. Lý luận từ phương trình đầu tiên xuống cho thấy mỗiước chung của α và β chia phần còn lại không cuối. Ngược lại, lý luậntừ phương trình cuối cùng lên cho thấy phần còn lại không cuối (đó là năm thứ hai-tolastphương trình) là ước chung của α và β. Do đó phần còn lại không cuối này làmột ước chung là số chia hết cho tất cả những người khác. Vì vậy, nó phải có định mức tối đatrong số thức phổ biến, vì vậy nó là một ước số chung lớn nhất.Ví dụ 4.4. Chúng tôi tính toán một ước số chung lớn nhất của α = 32 + 9i và β = 4 + 11i.Chi tiết liên quan đến việc thực hiện các định lý phân chia trong mỗi bước của thuật toán Euclidbỏ qua. Người đọc có thể làm việc họ ra như thực hành với định lý bộ phận. Chúng tôitìm thấy

Kết quả (Việt) 2:

Cuối cùng có dư chia hết cho tất cả các ước chung của α và β, và chính nó là một
ước chung, vì vậy nó là một ước số chung lớn nhất của α và β.
Proof. Bằng chứng là giống với bằng chứng thông thường mà thuật toán Euclid của các công trình trong Z. Chúng tôi
ngắn gọn tóm tắt các tham số. Lý luận từ phương trình đầu tiên xuống cho thấy mọi
ước chung của α và β chia phần còn lại khác không cuối. Ngược lại, lý luận
từ phương trình cuối cùng lên cho thấy cuối cùng có dư (đó là trong lần thứ hai-tolast
phương trình) là một ước chung của α và β. Vì vậy còn không bằng không cuối cùng này là
một ước chung đó là chia hết cho tất cả những người khác. Vì vậy nó phải có định mức tối đa
trong các ước chung, vì vậy nó là một ước số chung lớn nhất.
Ví dụ 4.4. Chúng tôi tính toán một ước số chung lớn nhất của α = 32 + 9i và β = 4 + 11i.
Thông tin chi tiết liên quan đến việc thực hiện các định lý phân trong mỗi bước của thuật toán Euclid được
bỏ qua. Người đọc có thể làm việc chúng ra như thực hành nhiều hơn với các định lý bộ phận. chúng tôi
tìm thấy