• The statement ∃x ∈ U (p(x)) is fa

• The statement ∃x ∈ U (p(x)) is false if there is no x ∈ U for which p(x) is true.
• The statement ∀x ∈ U (p(x)) is true if p(x) is true for each value of x in U .
• The statement ∀x ∈ U (p(x)) is false if p(x) is false for at least one value of x in U .
7. Negation of quantified statements. To negate a quantified statement, you switch the quan- tifier and push the negation inside.
• The statements ¬∀x ∈U(p(x)) and ∃x ∈ U (¬p(x)) are equivalent.
• The statements ¬∃x ∈U(p(x)) and ∀x ∈ U (¬p(x)) are equivalent.
8. Big-Oh We say that f (x) = O(g(x)) if there are positive numbers c and n0 such that
f (x) ≤ cg(x) for every x > n0.
9. Big-Theta. f (x) = Θ(g(x)) means that f = O(g(x)) and g = O(f (x)).
10. Some notation for sets of numbers. We use R to stand for the real numbers, R+ to stand for the positive real numbers, Z to stand for the integers (positive, negative, and zero), Z+ to stand for the positive integers, and N to stand for the nonnegative integers.


Problems
1. For what positive integers x is the statement (x − 2)2 + 1 ≤ 2 true? For what integers is it true? For what real numbers is it true? If we expand the universe for which we are considering a statement about a variable, does this always increase the size of the statement’s truth set?
2. Is the statement “There is an integer greater than 2 such that (x − 2)2 + 1 ≤ 2” true or false? How do you know?
3. Write the statement that the square of every real number is greater than or equal to zero as a quantified statement about the universe of real numbers. You may use R to stand for the universe of real numbers.
4. The definition of a prime number is that it is an integer greater than 1 whose only positive integer factors are itself and 1. Find two ways to write this definition so that all quantifiers are explicit. (It may be convenient to introduce a variable to stand for the number and perhaps a variable or some variables for its factors.)
5. Write down the definition of a greatest common divisor of m and n in such a way that all quantifiers are explicit and expressed explicitly as “for all” or “there exists.” Write down Euclid’s extended greatest common divisor theorem that relates the greatest common divisor of m and n algebraically to m and n. Again make sure all quantifiers are explicit and expressed explicitly as “for all” or “there exists.”
6. What is the form of the definition of a greatest common divisor, using s(x, y, z) to be the statement x = yz and t(x, y) to be the statement x < y? (You need not include references to the universes for the variables.)
7. Which of the following statements (in which Z+ stands for the positive integers and Z
stands for all integers) is true and which is false, and why?

Kết quả (Việt) 2:

• Các ∃x ∈ U tuyên bố (p (x)) là sai nếu không có x ∈ U mà p (x) là đúng.
• Tuyên bố ∀x ∈ U (p (x)) là đúng nếu p (x ) là đúng đối với mỗi giá trị của x trong U.
• Các ∀x ∈ U tuyên bố (p (x)) là sai nếu p (x) là sai đối với ít nhất một giá trị của x trong U.
7. Phủ định của báo cáo fi ed quanti. Để phủ nhận một tuyên bố quanti fi ed, bạn chuyển đổi các QUÂN ti fi er và đẩy sự phủ định bên trong.
• Các báo cáo ¬∀x ∈U (p (x)) và ∃x ∈ U (¬p (x)) là tương đương.
• Các báo cáo ¬∃x ∈U (p (x)) và ∀x ∈ U (¬p (x)) là tương đương.
8. Big-Oh Chúng ta nói rằng f (x) = O (g (x)) nếu có số dương c và n0 sao cho
f (x) ≤ cg (x) với mọi x> n0.
9. Big-Theta. f (x) = Θ (g (x)) có nghĩa là f = O (g (x)) và g = O (f (x)).
10. Một số ký hiệu cho bộ số. Chúng tôi sử dụng R để đứng cho các số thực, R + để đứng cho các số thực dương, Z để đứng cho các số nguyên (tích cực, tiêu cực và zero), Z + để đứng cho các số nguyên dương, và N để đứng cho các số nguyên không âm . Vấn đề 1. Đối với những gì nguyên dương x là tuyên bố (x - 2) 2 + 1 ≤ 2 có đúng không? Đối với những gì số nguyên là nó có đúng không? Đối với những gì con số thực tế là nó có đúng không? Nếu chúng ta mở rộng vũ trụ mà chúng ta đang xem xét một tuyên bố về một biến, điều này luôn làm tăng kích thước của chân lý bộ của tuyên bố? 2. Là tuyên bố: "Có một số nguyên lớn hơn 2 cho (x - 2) 2 + 1 ≤ 2" đúng hay sai? Làm thế nào để bạn biết? 3. Viết tuyên bố rằng hình vuông của mỗi số thực lớn hơn hoặc bằng số không như một tuyên bố fi ed quanti về vũ trụ của số thực. Bạn có thể sử dụng R để đứng trong vũ trụ của số thực. 4. Các định nghĩa fi de của một số nguyên tố là nó là một số nguyên lớn hơn 1 có chỉ số nguyên tố tích cực là chính nó và 1. Tìm hai cách để viết định nghĩa này de fi để tất cả ers fi quanti là rõ ràng. (Nó có thể được thuận tiện để giới thiệu một biến để đứng cho số lượng và có lẽ một biến hoặc một số biến cho các yếu tố của nó.) 5. Viết ra những định nghĩa fi de của một ước chung lớn nhất của m và n trong một cách mà tất cả ers fi quanti là rõ ràng và thể hiện một cách rõ ràng như "cho tất cả" hoặc "có tồn tại." Viết ra định lý ước số chung lớn nhất mở rộng của Euclid có liên quan ước chung lớn nhất của m và n để đại số m và n. Một lần nữa chắc chắn rằng tất cả các ers fi quanti là rõ ràng và thể hiện một cách rõ ràng như "cho tất cả" hoặc "có tồn tại." 6. Các hình thức trong định nghĩa fi de của một ước chung lớn nhất là gì, sử dụng s (x, y, z) là các tuyên bố x = yz và t (x, y) là tuyên bố x <y? (Bạn không cần phải bao gồm tài liệu tham khảo để các vũ trụ cho các biến.) 7. Khẳng định nào sau đây (trong đó Z + là viết tắt của các số nguyên dương và Z là viết tắt của tất cả các số nguyên) là đúng sự thật và đó là sai, và tại sao?