In our case, some of the variables,

In our case, some of the variables, for instance, the bij, are restricted to integer
values. So our program is an example of a mixed integer linear program (MILP).
We call it the LTD-MILP. Although many efficient algorithms are known for solving
even very large LPs, no efficient algorithms are known for the solution of arbitrary
ILPs and MILPs. In fact, a general ILP or MILP is an example of an NP-hard
problem [GJ79]. Commercial packages are readily available to solve LPs, ILPs, and
MILPs. In many cases, these are part of a larger package of mathematical and/or
optimization routines.
Even with the use of such packages, ILPs and MILPs are too time consuming to
solve, except for small-sized problems. Therefore, many heuristics have been developed for finding approximate solutions to these problems. These approximations are
often based on specific features of the problem at hand. In the following, we describe
one such heuristic for our problem. Our heuristic uses the fact the LPs are easy to
solve and obtains an approximate solution to the LTD-MILP using the techniques of
LP-relaxation and rounding. Before we can describe our method, we need to define
a few terms used in mathematical programming.
A feasible solution of a mathematical program is any set of values of the variables that satisfy all the constraints. An optimal solution, or simply solution, of a
mathematical program is a feasible solution that optimizes (minimizes or maximizes,
as the case may be) the objective function. The value of a mathematical program is
the value of the objective function achieved by any optimal solution.
Note that if we replace the constraints bij ∈ {0, 1} by the constraints 0 ≤ bij ≤ 1,
the LTD-MILP reduces to an LP, which we will call the LTD-LP. Moreover, any
feasible solution of the LTD-MILP is also a feasible solution of the LTD-LP, but the
LTD-LP may (and usually will) have other feasible solutions. If some optimal solution
of the LTD-LP happens to be a feasible solution of the LTD-MILP (that is, the bijs
are 0 or 1), the values of the LTD-MILP and LTD-LP will be equal. Otherwise, the
value of the LTD-LP will be a lower bound on the value of the LTD-MILP. (This
is the case for minimization problems.) We call this lower bound the LP-relaxation
bound.
Note that if the values of the bij are fixed at 0 or 1 such that the degree constraints
are satisfied, the LTD-MILP again reduces to an LP. Fixing the values of the bij fixes
the lightpath topology; the remaining problem is to route the packets over this
lightpath topology to minimize the congestion. So we call the LP obtained in this
manner the routing-LP. The value of any routing-LP is an upper bound on the value
of the LTD-MILP. If we are clever (or lucky) in fixing the values of the bij so that the
degree constraints are satisfied, this will be a good upper bound. For clues on how
to fix the values of the bij, we turn again to the LTD-LP.

Kết quả (Việt) 1:

Trong trường hợp của chúng tôi, một số của các biến, ví dụ, bij, được giới hạn cho số nguyêngiá trị. Vì vậy, chương trình là một ví dụ về một chương trình tuyến tính hỗn hợp số nguyên (MILP).Chúng tôi gọi nó là công ty TNHH-MILP. Mặc dù nhiều các thuật toán hiệu quả được biết đến để giải quyếtLPs thậm chí rất lớn, không có thuật toán hiệu quả được biết đến với các giải pháp của tùy ýILPs và MILPs. Trong thực tế, một ILP chung hoặc MILP là một ví dụ về một NP-khó khănvấn đề [GJ79]. Thương mại các gói có sẵn để giải quyết các LPs, ILPs, vàMILPs. Trong nhiều trường hợp, đây là một phần của một gói lớn của toán học và/hoặcthói quen tối ưu hóa.Ngay cả với việc sử dụng các gói như vậy, ILPs và MILPs là quá tốn thời gian đểgiải quyết, trừ những vấn đề có kích thước nhỏ. Vì vậy, nhiều chẩn đoán đã được phát triển cho việc tìm kiếm các giải pháp gần đúng cho những vấn đề này. Xấp xỉ nàythường dựa trên các tính năng cụ thể của vấn đề ở bàn tay. Năm sau, chúng tôi mô tảmột như vậy heuristic cho vấn đề của chúng tôi. Heuristic chúng tôi sử dụng một thực tế mà của LPs là dễ dàng đểgiải quyết và thu được một giải pháp gần đúng cho công ty TNHH MILP bằng cách sử dụng các kỹ thuật củaLP-thư giãn và làm tròn. Trước khi chúng tôi có thể mô tả các phương pháp của chúng tôi, chúng tôi cần xác địnhmột vài điều khoản được sử dụng trong chương trình toán học.Một giải pháp khả thi của chương trình toán học là bất kỳ thiết lập các giá trị của các biến mà đáp ứng tất cả các khó khăn. Một giải pháp tối ưu, hoặc chỉ đơn giản là giải pháp, trong mộtchương trình toán học là một giải pháp khả thi, tối ưu hóa (tối thiểu hoặc tối đa,như trường hợp có thể được) hàm mục tiêu. Giá trị của một chương trình toán họcgiá trị của hàm mục tiêu đạt được bằng bất kỳ giải pháp tối ưu.Lưu ý rằng nếu chúng tôi thay thế khó khăn bij ∈ {0, 1} bởi những hạn chế 0 ≤ bij ≤ 1,công ty TNHH MILP làm giảm một LP, chúng tôi sẽ gọi cho công ty TNHH-LP. Hơn nữa, bất kỳCác giải pháp khả thi của công ty TNHH MILP cũng là một giải pháp khả thi của công ty TNHH-LP, nhưng cácCông ty TNHH-LP có thể (và thường sẽ) có giải pháp khả thi khác. Nếu một số giải pháp tối ưucủa công ty TNHH-LP sẽ xảy ra là một giải pháp khả thi của công ty TNHH-MILP (có nghĩa là, các bijslà 0 hoặc 1), các giá trị của công ty TNHH-MILP và công ty TNHH-LP sẽ được bình đẳng. Nếu không, cácgiá trị của công ty TNHH-LP sẽ có một ràng buộc thấp hơn về giá trị của công ty TNHH-MILP. (Điều nàylà trường hợp cho giảm thiểu vấn đề này.) Chúng tôi gọi này bị ràng buộc dưới LP-thư giãnràng buộc.Lưu ý rằng nếu các giá trị của bij được cố định ở 0 hay 1 như vậy mà mức độ khó khănhài lòng, LTD-MILP một lần nữa làm giảm đến một LP. Sửa chữa các giá trị của các bản sửa lỗi bijtô pô lightpath; vấn đề còn lại là định tuyến các gói dữ liệu qua đâylightpath các tô pô để giảm thiểu các tắc nghẽn. Vì vậy, chúng tôi gọi LP thu được ở đâycách tuyến-LP. Giá trị của bất kỳ định tuyến-LP là một ràng buộc về giá trịcủa công ty TNHH-MILP. Nếu chúng ta thông minh (hoặc may mắn) trong sửa chữa các giá trị của bij vì vậy mà cácmức độ khó khăn là hài lòng, đây sẽ là một ràng buộc tốt. Manh mối về cáchđể khắc phục các giá trị của bij, chúng tôi quay lại để LTD-LP.

Kết quả (Việt) 2:

Trong trường hợp của chúng tôi, một số biến, ví dụ, bij, bị hạn chế số nguyên
giá trị. Vì vậy, chương trình của chúng tôi là một ví dụ về một chương trình tuyến tính nguyên hỗn hợp (MILP).
Chúng tôi gọi nó là LTD-MILP. Mặc dù nhiều thuật toán hiệu quả được biết đến với việc giải quyết
thậm chí LP rất lớn, không có thuật toán hiệu quả được biết đến với các giải pháp của bất
ILPs và MILPs. Trong thực tế, một ILP chung hoặc MILP là một ví dụ về một NP-hard
vấn đề [GJ79]. Gói thương mại đang có sẵn để giải quyết LP, ILPs, và
MILPs. Trong nhiều trường hợp, đây là một phần của một gói lớn của toán học và / hoặc
thói quen tối ưu hóa.
Ngay cả với việc sử dụng các gói như vậy, ILPs và MILPs quá nhiều thời gian để
giải quyết, trừ các vấn đề quy mô nhỏ. Do đó, nhiều công nghệ tự động đã được phát triển cho việc tìm kiếm các giải pháp gần đúng để những vấn đề này. Những xấp xỉ được
thường dựa trên các tính năng cụ thể của vấn đề ở bàn tay. Sau đây, chúng tôi mô tả
một heuristic, ví dụ cho vấn đề của chúng tôi. Heuristic, chúng tôi sử dụng thực tế, LP là dễ dàng để
giải quyết và có được một giải pháp xấp xỉ LTD-MILP sử dụng các kỹ thuật của
LP-thư giãn và làm tròn. Trước khi chúng ta có thể mô tả phương pháp của chúng tôi, chúng ta cần phải xác định
một vài điều khoản sử dụng trong chương trình toán học.
Một giải pháp có tính khả thi của một chương trình toán học là bất kỳ tập hợp các giá trị của các biến mà đáp ứng tất cả các hạn chế. Một giải pháp tối ưu, hoặc chỉ đơn giản là giải pháp, trong một
chương trình toán học là một giải pháp khả thi tối ưu hóa (giảm thiểu hoặc tối đa,
như trường hợp có thể) các hàm mục tiêu. Giá trị của một chương trình toán học là
giá trị của hàm mục tiêu đạt được bằng bất kỳ giải pháp tối ưu.
Lưu ý rằng nếu chúng ta thay ∈ chế bij {0, 1} bởi những hạn chế 0 ≤ bij ≤ 1,
các LTD-MILP giảm đến một LP , mà chúng tôi sẽ gọi LTD-LP. Hơn nữa, bất kỳ
giải pháp có tính khả thi của các LTD-MILP cũng là một giải pháp khả thi của Công ty TNHH-LP, nhưng
LTD-LP có thể (và thường) có giải pháp khả thi khác. Nếu một số giải pháp tối ưu
của Công ty TNHH-LP sẽ xảy ra là một giải pháp khả thi của Công ty TNHH-MILP (có nghĩa là, các bijs
là 0 hoặc 1), các giá trị của Công ty TNHH-MILP và LTD-LP sẽ được bình đẳng. Nếu không, các
giá trị của Công ty TNHH-LP sẽ thấp hơn ràng buộc về giá trị của Công ty TNHH-MILP. (Đây
là trường hợp cho vấn đề giảm thiểu.) Chúng tôi gọi đây là giới hạn thấp hơn LP-thư giãn
ràng buộc.
Lưu ý rằng nếu các giá trị của bij được cố định ở mức 0 hoặc 1 mà các chế độ
là hài lòng, LTD-MILP một lần nữa giảm xuống một LP. Xác định giá trị của các bij sửa
topo đường quang; vấn đề còn lại là để định tuyến các gói tin trên này
topo đường quang để giảm thiểu sự tắc nghẽn. Vì vậy, chúng ta gọi là LP thu được trong này
cách định tuyến-LP. Giá trị của bất kỳ định tuyến-LP là một trên ràng buộc về giá trị
của Công ty TNHH-MILP. Nếu chúng ta thông minh (hay may mắn) trong việc sửa chữa các giá trị của bij để
hạn chế mức độ hài lòng, đây sẽ là một tốt trên ràng buộc. Đối với các đầu mối về cách
để sửa chữa các giá trị của bij, chúng tôi trở về cùng LTD-LP.