Chapter 6Computers in Probability E

Chapter 6
Computers in Probability Education
R. Biehler
This chapter is concerned with the impact of computers on probability in general secondary education. Mathematics educators have been producing ideas for using computers and calculators in probability education for two decades. Although there are many teaching suggestions, empirical research on this topic is uncommon and critical reports of practical experience rarely go beyond an enthusiastic description. A critical review of ideas, software and experience which would be helpful for further research and development is the major objective of this chapter. We will deal with pedagogical aspects, the subject matter and its change, and the role of changing technology. Various approaches will be reviewed; computers used as general mathematical utilities, simulation as a scientific method, and simulation for providing an empirical background for probability. Graphical methods may enhance the idea of visualization. The emphasis is on general orientation in the field.
1. Computers and Current Practice in Probability Teaching
If we asked informed experts in educational computing 'What is really going on with computers in the probability classroom?', most of them would say 'Not very much at the moment.' The inherent pedagogical problems of a computer orientated approach are dealt with below.
Pedagogical problems and perspectives
The tardy integration of computers is also true for mathematics teaching in general. Even in England, where there is good educational software, the use of the computer in probability is still uncommon; in many other countries, available software is inferior. Occasionally teachers develop short and somewhat unprofessional programs, or programming is done in the classroom together with the students. Apart from the lack of software, many other familiar factors are responsible for this situation.
In many countries, probability has entered the curriculum only recently. Teaching probability is a difficult task. It may seem counterproductive to multiply difficulties by introducing the computer as a further element which needs organizational effort and additional competence. It may seem strange that educators consider new potential content in probability which is now accessible with the support of computers, even though the very elementary ideas of probability are neither well understood nor well taught. On the other hand, the new technology might help to overcome central learning difficulties. Two aspects of probability education yield a promising starting point for further research into targets of difficulty which appropriate pedagogical use of computers may help solve:
(i) 'lack of experience'. Time constraints and limited resources do not allow for sufficient opportunities for gaining experience to support the learning of probability. Learning environments which allow computer simulation as well as exploration of real data may be of considerable help here.
(ii) 'concept-tool gap'. There is a gap between the intended generality of the probability concept and the system of operations and tools students actually use. Solving problems by simulation or substituting analytical methods by computer-based graphical and numerical methods makes a new range of problems and realistic situations accessible to students' activities.
The two targets of difficulty are related to two complementary approaches to the use of computers, namely as idealized objects for exploration and as cultural tools for working on problems. The new technologies are perhaps more relevant for probability than for other parts of the mathematics curriculum which have fairly unified methods. As probability is an applied subject, the objects referred to (i.e. random situations and processes, decision situations) and their comprehensive study have an importance of their own; this calls for a greater diversity of methods and tools. Moreover, there are numerous problems which are conceptually simple but very time-consuming; just think of collecting the results of a sample of 20 experiments with 100 throws of a die.
Using computers in teaching will also contribute to an understanding of the new technologies and of their competent use. For instance, it is not adequate to consider simulation merely as a method of teaching; rather, the use of simulation outside school is also considered relevant if one takes a broader, cultural view of educational innovations.
What are the challenges and perspectives for mathematics education in general, and for probability education in particular? Pollak (1989) identifies problem areas where secondary mathematics education should contribute to developing 'intelligent citizenship':
- uncertain situations, in particular low-probability and high risk events
- reasoning from data
- intelligent planning and optimization
- systems thinking (appreciation of complexity, unforeseen consequences, instabilities)
- thinking discretely or algorithmically
- understanding the possibility of modelling situations in a structural, quantitative and analytic way
Most of these areas are related to probability and to the use of computers. Sometimes computers cause the problem, e.g. an abundance of data; or they are inyolved in analyzing the problem, e.g. stochastic models for the spread of AIDS or risk analysis of nuclear power plants. In other words, people are confronted not only with 'primary' randomness but with culturally mediated randomness, i.e. with other people's attempts to control, understand, and use uncertainty with available tools.
As children have experience with randomness in games on home computers, one cannot postpone the treatment of computer-generated random numbers beyond school level because of their mathematical complexity. These situations, therefore, call for developing a new conception of the subject matter of probability taking the new technologies into account. The use of computers outside school and related changes in social practice and academic disciplines provide relevant background knowledge for curriculum designers and teachers alike. Some important developments will be briefly described now.
Changes in probability, statistics, and in their applications
Computer technology has enriched the tools available to handle random situations. Much professional software has been produced; among them are statistical packages like SPSS, interactive statistical systems for data analysis like S, specific simulation languages like Simula, and modelling systems like Stella. They intend to support different users, working styles, and objectives in various areas of science and practice. Their educational potential is as yet largely unexplored.
New tools are related to new ways of thinking about random situations. This applies to individual humans or to whole scientific communities. Two domains of rapid development are data analysis and simulation, which, at the same time, are key notions in many disciplines. The accelerating quantification of many parts of society is greatly influenced by the new technologies. The use of computers has partly revolutionized the practice and theory of analyzing data, particularly through Exploratory Data Analysis (Biehler, 1985). Simulation, although perhaps less present in everyday life than data has enriched the methodology in many scientific applications. The following categories from Howson and Kahane (1986, pp.2-12) are useful to describe the influence of information technology on probability.
New and revived areas of research in statistics and probability.
* simulation and modelling
* random number generators
* stochastic processes
* probabilistic analysis of algorithms
* exploratory and graphical data analysis
* multivariate data analysis and statistics
* computer-intensive methods (like bootstrap methods)
* expert systems for decision making under uncertainty
Experimentation and proof in mathematics. Computers support an interactive and
experimental style of working with models and data. This constitutes a new type of scientific method which still has to find its role with regard to more traditional strategies. Computers can be used for supporting conjectures by numerical or graphical evidence; for supplying counter examples; and for assisting the process of proving by calculation and enumeration.
In such a context, proofs can be more clearly considered with regard to their role for explanation and insight. More controversial are aspects such as probabilistic proofs, where it can be shown, for instance, that a number is prime with a very high probability. Are such methods acceptable within mathematics? This problem was partly responsible for the slow acceptance of the Monte Carlo method by statisticians in the early days; compared to pure mathematics, they were considered second class. Tukey (1962) attacked this mathematical purism fiercely. The opinion that analytical methods are superior for their greater generality and certainty has now shifted; simulation is no longer a last resort but is a method of its own right.

Kết quả (Việt) 2:

Chương 6
Computers trong Probability Giáo dục
R. Biehler
chương này là có liên quan với các tác động của máy tính về xác suất trong giáo dục phổ thông. Toán học giáo dục đã được sản xuất ý tưởng cho việc sử dụng máy tính và các máy tính trong giáo dục xác suất để hai thập kỷ. Mặc dù có rất nhiều lời đề nghị giảng dạy, nghiên cứu thực nghiệm về chủ đề này là báo cáo không phổ biến và quan trọng của kinh nghiệm thực tế ít khi đi xa hơn một mô tả nhiệt tình. Một xem xét quan trọng của ý tưởng, phần mềm và kinh nghiệm đó sẽ giúp ích cho nghiên cứu và phát triển hơn nữa là mục tiêu chính của chương này. Chúng tôi sẽ đối phó với những khía cạnh sư phạm, các vấn đề và thay đổi của nó, và vai trò của công nghệ thay đổi. Phương pháp tiếp cận khác nhau sẽ được xem xét; máy tính được sử dụng như các tiện ích chung toán học, mô phỏng như một phương pháp khoa học, và mô phỏng cho việc cung cấp một nền tảng thực tiễn cho xác suất. Phương pháp đồ họa có thể nâng cao ý tưởng của hình. Trọng tâm là định hướng chung trong lĩnh vực này.
1. Máy vi tính và thực hành hiện tại trong giảng dạy xác suất
Nếu chúng ta hỏi thông các chuyên gia về máy tính giáo dục 'thực sự là gì đang xảy ra với máy tính trong lớp học xác suất?', Hầu hết trong số họ sẽ nói "Không phải rất nhiều vào lúc này." Các vấn đề sư phạm vốn có của một cách tiếp cận máy tính định hướng được xử lý dưới đây.
Vấn đề sư phạm và các quan niệm
sự hội nhập chậm trễ của các máy tính cũng đúng đối với toán học giảng dạy nói chung. Ngay cả ở Anh, nơi có phần mềm giáo dục tốt, việc sử dụng máy tính trong xác suất là vẫn còn phổ biến; ở nhiều nước khác, phần mềm có sẵn là kém hơn. Đôi khi giáo viên phát triển các chương trình ngắn và hơi thiếu chuyên nghiệp, hoặc các chương trình được thực hiện trong lớp học cùng với các sinh viên. Ngoài việc thiếu các phần mềm, nhiều yếu tố quen thuộc khác là chịu trách nhiệm cho tình trạng này.
Ở nhiều quốc gia, xác suất đã bước vào chương trình giảng dạy chỉ gần đây. Dạy xác suất là một nhiệm vụ khó khăn. Nó có thể có vẻ phản tác nhân khó khăn bằng cách giới thiệu các máy tính như là một yếu tố nữa mà cần nỗ lực tổ chức và thẩm bổ sung. Nó có thể có vẻ kỳ lạ mà các nhà giáo dục xem xét nội dung tiềm năng mới trong xác suất mà bây giờ có thể truy cập với sự hỗ trợ của máy tính, mặc dù ý tưởng rất cơ bản của xác suất được hiểu không tốt cũng không phải tốt dạy. Mặt khác, công nghệ mới có thể giúp đỡ để vượt qua khó khăn học tập trung. Hai khía cạnh của giáo dục xác suất mang lại một điểm khởi đầu đầy hứa hẹn cho các nghiên cứu sâu hơn vào các mục tiêu khó khăn mà sử dụng sư phạm phù hợp của máy tính có thể giúp giải quyết:
(i) "thiếu kinh nghiệm". Chế về thời gian và nguồn lực hạn chế không cho phép đủ cơ hội để đạt được kinh nghiệm để hỗ trợ việc học tập của xác suất. Học môi trường mà cho phép mô phỏng máy tính cũng như thăm dò các dữ liệu thực tế có thể được giúp đỡ đáng kể ở đây.
(Ii) "khoảng cách của khái niệm công cụ '. Có một khoảng cách giữa tổng quát định của khái niệm xác suất và hệ thống các hoạt động và các công cụ sinh viên thực sự sử dụng. Giải quyết vấn đề bằng cách mô phỏng hoặc thay thế các phương pháp phân tích bằng phương pháp đồ họa và số trên máy tính làm cho một dòng sản phẩm mới của các vấn đề và tình huống thực tế có thể truy cập đến các hoạt động của học sinh.
Hai mục tiêu khó khăn liên quan đến hai phương pháp bổ sung để sử dụng máy tính, cụ thể như đối tượng lý tưởng để thăm dò và là công cụ văn hóa để làm việc về vấn đề này. Các công nghệ mới có lẽ thích hợp hơn cho xác suất hơn so với các phần khác của chương trình giảng dạy toán học mà có phương pháp khá thống nhất. Là xác suất là một chủ đề áp dụng, các đối tượng được đề cập đến (tức là tình huống ngẫu nhiên và quy trình, tình huống quyết định) và nghiên cứu toàn diện của họ có một tầm quan trọng của riêng mình; này đòi hỏi một sự đa dạng hơn các phương pháp và công cụ. Hơn nữa, có rất nhiều vấn đề mà được khái niệm đơn giản nhưng rất tốn thời gian; chỉ cần nghĩ đến việc thu thập các kết quả của một mẫu của 20 thí nghiệm với 100 ném của một chết.
Sử dụng máy tính trong giảng dạy cũng sẽ đóng góp vào sự hiểu biết về các công nghệ mới và sử dụng thẩm quyền của họ. Ví dụ, nó không phải là đủ để xem xét mô phỏng chỉ đơn thuần là một phương pháp dạy học; thay vào đó, việc sử dụng các mô phỏng bên ngoài trường cũng được coi là liên quan nếu một mất một cái nhìn rộng hơn, văn hóa của sự đổi mới giáo dục.
những thách thức và quan điểm về giáo dục toán học nói chung là gì, và cho giáo dục xác suất nói riêng? Pollak (1989) xác định vấn đề khu vực, nơi giáo dục toán học trung học nên đóng góp để phát triển "công dân thông minh":
- các tình huống không chắc chắn, đặc biệt là xác suất thấp và các sự kiện có nguy cơ cao
- lý luận từ dữ liệu
- kế hoạch thông minh và tối ưu hóa
- hệ thống suy nghĩ (sự đánh giá cao của sự phức tạp, hậu quả không lường trước được, những bất ổn)
- suy nghĩ kín đáo hay thuật toán
- sự hiểu biết về khả năng tình huống mô hình một cách cơ cấu, số lượng và phân tích
Hầu hết các khu vực có liên quan đến xác suất và với việc sử dụng máy tính. Đôi khi máy tính gây ra các vấn đề, ​​ví dụ như một sự phong phú của dữ liệu; hoặc họ đang inyolved trong việc phân tích các vấn đề, ​​ví dụ như mô hình ngẫu nhiên cho sự lây lan của bệnh AIDS hoặc phân tích rủi ro của các nhà máy điện hạt nhân. Nói cách khác, những người đang phải đối mặt không chỉ với 'chính' ngẫu nhiên nhưng với tính ngẫu nhiên qua trung gian văn hóa, tức là với những nỗ lực của người khác để kiểm soát, hiểu và sử dụng không chắc chắn với các công cụ có sẵn.
Khi trẻ có kinh nghiệm với ngẫu nhiên trong các trò chơi trên máy tính gia đình, một không thể trì hoãn việc điều trị của máy tính tạo ra các số ngẫu nhiên vượt quá trình độ học vì sự phức tạp toán học của họ. Những tình huống này, do đó, hãy gọi cho phát triển một quan niệm mới về chủ đề của xác suất lấy công nghệ mới vào tài khoản. Việc sử dụng các máy tính bên ngoài trường và những thay đổi có liên quan trong thực tế xã hội và các môn học cung cấp kiến thức nền có liên quan cho các nhà thiết kế chương trình giảng dạy và giáo viên như nhau. Một số phát triển quan trọng sẽ được mô tả ngắn gọn bây giờ.
Những thay đổi trong xác suất, thống kê, và trong các ứng dụng của họ
công nghệ máy tính đã làm phong phú các công cụ có sẵn để xử lý các tình huống ngẫu nhiên. Phần mềm chuyên nghiệp lớn đã được sản xuất ra; trong số đó là phần mềm thống kê như SPSS, hệ thống thống kê tương tác để phân tích dữ liệu như S, ngôn ngữ mô phỏng cụ thể như Simula, và hệ thống mô hình hóa như Stella. Họ có ý định để hỗ trợ người sử dụng khác nhau, phong cách làm việc, và mục tiêu trong lĩnh vực khác nhau của khoa học và thực tiễn. Tiềm năng giáo dục của họ là như nào vẫn chưa được khảo.
Các công cụ mới có liên quan đến cách suy nghĩ mới về những tình huống ngẫu nhiên. Điều này áp dụng cho con người cá nhân hoặc các cộng đồng khoa học toàn. Hai lĩnh vực phát triển nhanh chóng là phân tích và mô phỏng dữ liệu, trong đó, đồng thời, là khái niệm quan trọng trong nhiều lĩnh vực. Định lượng gia tăng của nhiều bộ phận của xã hội bị ảnh hưởng rất nhiều bởi các công nghệ mới. Việc sử dụng máy tính đã phần nào cách mạng hóa việc thực hành và lý thuyết về phân tích dữ liệu, đặc biệt là thông qua thăm dò phân tích dữ liệu (Biehler, 1985). Mô phỏng, mặc dù có lẽ ít hiện diện trong cuộc sống hàng ngày hơn là dữ liệu đã được làm giàu các phương pháp luận trong nhiều ứng dụng khoa học. Các loại sau đây từ Howson và Kahane (1986, pp.2-12) là hữu ích để mô tả ảnh hưởng của công nghệ thông tin trên xác suất.
New và khu vực hồi sinh của nghiên cứu trong thống kê và xác suất.
* Mô phỏng và mô hình hóa
* máy phát điện số ngẫu nhiên
* quy trình ngẫu nhiên
* Phân tích xác suất của các thuật toán
* thăm dò và phân tích dữ liệu đồ họa
* Phân tích dữ liệu đa biến và thống kê
các phương pháp máy tính chuyên sâu * (như phương pháp bootstrap)
* hệ thống chuyên gia cho việc ra quyết định không chắc chắn
thí nghiệm và chứng minh trong toán học. Máy tính hỗ trợ một tương tác và
phong cách thí nghiệm làm việc với các mô hình và dữ liệu. Đây là loại hình mới của phương pháp khoa học mà vẫn phải tìm vai trò của nó đối với các chiến lược truyền thống hơn với. Máy tính có thể được sử dụng để hỗ trợ các phỏng đoán bằng các chứng cứ số và biểu đồ; để cung cấp các ví dụ truy cập; và hỗ trợ cho quá trình chứng minh bằng cách tính toán và đếm.
Trong một bối cảnh như vậy, bằng chứng có thể được rõ hơn xem xét liên quan đến vai trò của họ đối với lời giải thích và hiểu biết với. Nhiều tranh cãi là những khía cạnh như bằng chứng xác suất, nơi nó có thể được hiển thị, ví dụ, một số là số nguyên tố với một xác suất rất cao. Là những phương pháp như vậy chấp nhận được trong toán học? Vấn đề này là một phần trách nhiệm đối với việc chấp nhận chậm của phương pháp Monte Carlo nhà thống kê trong những ngày đầu; so với toán học thuần túy, họ được coi là hạng hai. Tukey (1962) tấn công purism toán học này quyết liệt. Các ý kiến cho rằng phương pháp phân tích được cấp trên cho tổng quát hơn của họ và chắc chắn bây giờ đã thay đổi; mô phỏng không còn là một phương sách cuối cùng nhưng là một phương pháp đúng nghĩa của nó.