Multi-Dimensional Loss Systems In

Multi-Dimensional Loss Systems
In this chapter we generalise the classical teletraffic theory to deal with service-integrated systems (ISDN and B-ISDN). Every class of service corresponds to a traffic stream. Several traffic streams are offered to the same trunk group.
In Sec. 10.1 we consider the classical multi-dimensional Erlang-B loss formula. This is an example of a reversible Markov process which is considered in more details in Sec. 10.2. In Sec. 10.3 we look at more general loss models and strategies, including service-protection (maximum allocation = class limitation = threshold priority policy) and multi-slot BPP-traffic. These models all have the so-called product-form property, and the numerical evalu-ation is very simple by using the convolution algorithm for loss systems, implemented in the tool ATMOS (Sec. 10.4). In Sec. 10.4.2 we review other algorithms for the same problem. Further on, we consider applications to systems with rearrangement (Sec. ??), which corre-sponds to minimum allocation of channels to a traffic stream. This model is applied to the evaluation of a hierarchical cellular communication system.
The models considered do not only include on/off-sources with fixed bandwidth, but also systems where a call requires a stochastic number of servers (Sec. ??). The models are also applicable to evaluation of ATM (B-ISDN )-systems at both connection level and burst level. The bandwidth demand is described by a discrete distribution. At connection level we use Erlang’s lost calls cleared (LCC) model, and at burst level we use Fry-Molina’s lost calls held (LCH ) model (cf. Sec. ??). The models considered so far are all based on flexible channel/slot allocation. In Sec. ?? we mention non-flexible slot allocation, where all slots belonging to a certain connection must be adjacent.
The models considered can be generalised to arbitrary circuit switched networks with direct routing, where we calculate the end-to-end blocking probabilities (Chap. 11). All the models are insensitive to the service time distribution, and are thus robust for applications. At the end of the chapter we review the literature and summarise the historical development in this area.
10.1 Multi-dimensional Erlang-B formula
We consider a group of n trunks (channels, slots), which is offered two independent PCT-I traffic streams: (λ1, µ1) and (λ2, µ2). The offered traffic becomes (A1 = λ1/µ1), respectively (A2 = λ2/µ2).
Let (i, j) denote the state of the system, i.e. i is the number of calls from stream 1 and j is the number of calls from stream 2. We have the following restrictions:
The state transition diagram is shown in Fig. 10.1. Under the assumption of statistical equilibrium the state probabilities are obtained by solving the global balance equations for each node (node equations), in total (n + 1)(n + 2)/2 equations.
As we shall see in the next section, this diagram corresponds to a reversible Markov process, and the solution has product form. We can easily show that the global balance equations are satisfied by the following state probabilities which can be written on product form:

where p(i) and p(j) are one-dimensional truncated Poisson distributions, Q is a normalisation constant, and (i, j) fulfil the above restrictions (10.1). As we have Poisson arrival processes, which have the PASTA-property (Poisson Arrivals See Time Averages), the time congestion, call congestion, and traffic congestion are all identical for both traffic streams, and they are all equal to P(i + j = n).
By the Binomial expansion or by convolving two Poisson distributions we find the following, where Q is obtained by normalisation:

This is the Truncated Poisson distribution (7.8) with the offered traffic


Figure 10.1: Figure 10.1: Two-dimensional state transition diagram for a loss system with n channels offered two PCT-I traffic streams. This is equivalent with a state transition diagram for the loss system M/H2/n, where the hyper-exponential distribution H2 is given in (10.7).

We may also interpret this model as an Erlang loss system with one Poisson arrival process and hyper-exponentially distributed holding times in the following way. The total Poisson arrival process is a superposition of two Poisson processes with the total arrival rate:

and the holding time distribution is hyper-exponentially distributed:

We weight the two exponential distributions according to the relative number of calls per time unit. The mean service time is

which is in agreement with the offered traffic.
Thus we have shown that Erlang’s loss model is valid for Hyper-exponentially distributed holding times, a special case of the general insensitivity property we proved in Sec. ??.
We may generalise the above model to N traffic streams:

which is the general multi-dimensional Erlang-B formula. By a generalisation of (10.3) we notice that the global state probabilities can be calculated by the following recursion, where q(i) denotes the relative state probabilities, and p(i) denotes the absolute state probabilities:

Đây là hằng số tương tự như phép đệ quy: This is similar to the recursion formula for the Poisson case, where

The probability of time congestion is p(n), and as the PASTA-property is valid, this is also equal to the call congestion and the traffic congestion. The numerical evaluation is dealt with in detail in Sec. 10.4.

Kết quả (Việt) 1:

Hệ thống đa chiều mất Trong chương này chúng tôi khái lý thuyết cổ điển teletraffic để đối phó với các dịch vụ tích hợp hệ thống (ISDN và B-ISDN). Mỗi lớp học của các dịch vụ tương ứng với một dòng lưu lượng truy cập. Một số lưu lượng truy cập suối được cung cấp để cùng một nhóm thân cây. Ở Sec. 10.1 chúng tôi xem xét công thức mất Erlang-B đa chiều cổ điển. Đây là một ví dụ về một quá trình Markov thể đảo ngược được coi là trong các chi tiết hơn trong Sec. 10.2. Ở Sec. 10.3 chúng ta nhìn vào tổng quát hơn mất mô hình và chiến lược, bao gồm cả dịch vụ bảo vệ (tối đa phân bổ = giới hạn lớp = ngưỡng ưu tiên chính sách) và đa khe BPP-lưu lượng truy cập. Các mô hình này tất cả có sở hữu cái gọi là mẫu sản phẩm, và số evalu-chòe là rất đơn giản bằng cách sử dụng các thuật toán convolution cho mất mát hệ thống, thực hiện trong công cụ ATMOS (Sec. 10.4). Ở Sec. 10.4.2 chúng tôi xem xét các thuật toán cho cùng một vấn đề. Hơn nữa, chúng tôi xem xét các ứng dụng để các hệ thống với sắp xếp lại (Sec.??), mà sponds corre để tối thiểu phân bổ của kênh để một dòng lưu lượng truy cập. Mô hình này được áp dụng cho việc thẩm định của một hệ thống phân cấp truyền thông di động. Các mô hình được coi là không chỉ bao gồm trên/tắt-nguồn với băng thông cố định, mà còn hệ thống nơi mà một cuộc gọi đòi hỏi một số ngẫu nhiên máy chủ (Sec.??). Các mô hình cũng được áp dụng để đánh giá Máy ATM (B-ISDN)-hệ thống ở cả cấp độ kết nối và burst cấp. Nhu cầu băng thông được mô tả bởi một phân bố rời rạc. Lúc kết nối cấp độ chúng tôi sử dụng Erlang lost mô hình cuộc gọi xóa (LCC), và tại burst cấp chúng tôi sử dụng Fry-Molina của mất cuộc gọi tổ chức mô hình (LCH) (x. Sec.??). Các mô hình được coi là cho đến nay tất cả dựa trên phân bổ linh hoạt kênh/slot. Ở Sec.?? chúng tôi đề cập đến phân bổ không linh hoạt khe, nơi tất cả khe thuộc một kết nối nhất định phải được liền kề. Các mô hình được coi là có thể được quát để tùy ý mạch chuyển mạng với định tuyến trực tiếp, nơi mà chúng tôi tính toán xác suất chặn end-to-end (chap 11). Tất cả các mô hình được không nhạy cảm để phân phối dịch vụ thời gian, và được như vậy mạnh mẽ cho các ứng dụng. Vào cuối của chương chúng tôi xem xét các tài liệu và tóm tắt lịch sử phát triển trong lĩnh vực này. 10,1 multi-dimensional Erlang-B công thức Chúng tôi xem xét một nhóm n thân (kênh, khe), được cung cấp hai PCT độc lập-tôi giao thông nguồn: (λ1, µ1) và (λ2, µ2). Lưu lượng truy cập được cung cấp trở thành (A1 = λ1/µ1), tương ứng (A2 = λ2/µ2). Để cho (i, j) biểu thị trạng thái của hệ thống, tức là tôi là một số các cuộc gọi từ dòng 1 và j là số lượng các cuộc gọi từ dòng 2. Chúng tôi có các hạn chế sau: Biểu đồ chuyển đổi tiểu bang được thể hiện trong hình 10,1. Theo các giả định thống kê cân bằng các xác suất nhà nước được thu được bằng cách giải quyết các phương trình cân bằng toàn cầu cho mỗi nút (nút phương trình), trong tổng số (n + 1)(n + 2)/2 phương trình. Như chúng ta sẽ thấy trong phần tiếp theo, biểu đồ này tương ứng với một quá trình Markov đảo ngược, và các giải pháp có hình thức sản phẩm. Chúng tôi có thể dễ dàng hiển thị các phương trình cân bằng toàn cầu được hài lòng bởi các xác suất tiểu bang sau đây mà có thể được ghi vào mẫu sản phẩm: nơi p(i) và p(j) là hết các bản phân phối Poisson cắt ngắn, Q là một hằng số normalisation, và (i, j) thực hiện các hạn chế ở trên (10,1). Như chúng ta có quá trình đến Poisson, có nhà mì ống (Poisson khách đến xem thời gian trung bình), thời gian tắc nghẽn, gọi tắc nghẽn và tắc nghẽn giao thông là tất cả giống hệt nhau cho cả hai dòng lưu lượng truy cập, và họ là tất cả tương đương với P (i + j = n). Bằng việc mở rộng nhị thức hoặc bởi convolving hai phân phối Poisson chúng tôi tìm thấy sau đây, nơi Q thu được bằng cách normalisation: Đây là việc phân phối Poisson cắt ngắn (7.8) với lưu lượng truy cập được cung cấp Hình 10,1: Hình 10,1: hai chiều nhà nước chuyển đổi sơ đồ cho một hệ thống mất với n kênh cung cấp hai PCT-tôi giao thông nguồn. Điều này là tương đương với một bang quá trình chuyển đổi sơ đồ hệ thống mất M/H2/n, nơi phân phối siêu mũ H2 được đưa ra trong (10.7). Chúng tôi cũng có thể giải thích mô hình này như là một hệ thống mất Erlang với một quá trình Poisson đến và siêu theo phân phối đang nắm giữ thời gian theo cách. Quá trình tất cả đến Poisson là một chồng chập của hai quá trình Poisson với tỷ lệ tổng xuất hiện: và thời gian tổ chức phân phối siêu theo phân phối: Chúng tôi giảm cân hai phân phối mũ theo số tương đối của cuộc gọi cho mỗi đơn vị thời gian. Thời gian có nghĩa là dịch vụ đó là trong thỏa thuận với lưu lượng truy cập được cung cấp. Do đó chúng tôi có hiển thị của Erlang mất mô hình hợp lệ cho Hyper theo cấp số phân phối đang nắm giữ thời gian, một trường hợp đặc biệt của các tài sản chung insensitivity chúng tôi đã chứng minh trong giây.??. Chúng tôi có thể khái mẫu ở trên để N lưu lượng truy cập dòng: đó là công thức tổng quát đa chiều Erlang-B. Bởi một generalisation (10.3), chúng tôi nhận thấy rằng các xác suất nhà nước toàn cầu có thể được tính toán bằng đệ quy sau, nơi q(i) là bắt các xác suất tương đối nhà nước, và p(i) là bắt các xác suất tuyệt đối nhà nước: Đây là hằng số tương tự như phép đệ quy: điều này là tương tự như công thức đệ quy cho trường hợp Poisson, nơi Xác suất của tắc nghẽn thời gian là p(n), và như mì ống-bất động sản là hợp lệ, đây cũng là tương đương với các cuộc gọi tắc nghẽn và tắc nghẽn giao thông. Việc thẩm định số được xử lý với các chi tiết trong Sec. 10.4.