11.4 CONSEQUENCES OF USING OLS IN T

11.4 CONSEQUENCES OF USING OLS IN THE PRESENCE OF
HETEROSCEDASTICITY
As we have seen, both βˆ*
2 and βˆ
2 are (linear) unbiased estimators: In re-
peated sampling, on the average, βˆ*
2 and βˆ
2 will equal the true β2; that is,
they are both unbiased estimators. But we know that it is βˆ*
2 that is efficient,
that is, has the smallest variance. What happens to our confidence interval,
hypotheses testing, and other procedures if we continue to use the OLS
estimator βˆ
2? We distinguish two cases.
OLS Estimation Allowing for Heteroscedasticity
Suppose we use βˆ
2 and use the variance formula given in (11.2.2), which
takes into account heteroscedasticity explicitly. Using this variance, and
assuming σ 2
i are known, can we establish confidence intervals and test
hypotheses with the usual t and F tests? The answer generally is no because
it can be shown that var (βˆ*
2) ≤ var (βˆ
2),5 which means that confidence
intervals based on the latter will be unnecessarily larger. As a result, the t and
F tests are likely to give us inaccurate results in that var (βˆ
2) is overly large
and what appears to be a statistically insignificant coefficient (because the t
value is smaller than what is appropriate) may in fact be significant if the cor-
rect confidence intervals were established on the basis of the GLS procedure.
OLS Estimation Disregarding Heteroscedasticity
The situation can become serious if we not only use βˆ
2 but also continue
to use the usual (homoscedastic) variance formula given in (11.2.3) even if
heteroscedasticity is present or suspected: Note that this is the more likely
5A formal proof can be found in Phoebus J. Dhrymes, Introductory Econometrics, Springer-
Verlag, New York, 1978, pp. 110–111. In passing, note that the loss of efficiency of βˆ
2 [i.e., by
how much var (βˆ
2) exceeds var (βˆ*
2)] depends on the sample values of the X variables and the
value of σ 2
i

Kết quả (Việt) 1:

11,4 HẬU QUẢ CỦA VIỆC SỬ DỤNG OLS IN THE PRESENCE OFHETEROSCEDASTICITYNhư chúng ta đã thấy, cả hai βˆ *2 và βˆ2 là (tuyến tính) không thiên vị estimators: re-Lấy mẫu peated, trên trung bình, βˆ *2 và βˆ2 sẽ bằng β2 đúng sự thật; Đó làhọ là cả hai estimators không thiên vị. Nhưng chúng ta biết rằng đó là βˆ *2 đó là hiệu quả,đó là, có phương sai nhỏ nhất. Điều gì sẽ xảy ra cho chúng tôi khoảng tin cậy,giả thuyết thử nghiệm, và các thủ tục khác nếu chúng tôi tiếp tục sử dụng các OLScông cụ ước tính βˆ2? Chúng ta phân biệt hai trường hợp.OLS dự toán cho phép cho HeteroscedasticityGiả sử chúng ta sử dụng βˆ2 và sử dụng công thức phương sai được đưa ra trong (11.2.2), màsẽ đưa vào tài khoản heteroscedasticity một cách rõ ràng. Bằng cách sử dụng này phương sai, vàgiả sử σ 2tôi được biết, chúng tôi có thể thiết lập khoảng tin cậy và thử nghiệmgiả thuyết với t thông thường và các xét nghiệm F? Câu trả lời thường là không bởi vìnó có thể được hiển thị rằng var (βˆ *2) ≤ var (βˆ2), 5 có nghĩa rằng sự tự tinkhoảng ngày thứ hai sẽ lớn hơn không cần thiết. Kết quả là, t vàThử nghiệm F có khả năng cung cấp cho chúng tôi kết quả không chính xác trong đó var (βˆ2) là quá lớnvà những gì dường như là một hệ thống kê không đáng kể (vì tgiá trị là nhỏ hơn so với những gì là thích hợp) trong thực tế có thể là đáng kể nếu các cor-khoảng tin cậy rect được thành lập trên cơ sở các thủ tục GLS.OLS dự toán bỏ qua HeteroscedasticityTình hình có thể trở nên nghiêm trọng nếu chúng ta không chỉ sử dụng βˆ2 nhưng cũng tiếp tụcsử dụng công thức phương sai thông thường (homoscedastic) được đưa ra trong (11.2.3) ngay cả khiheteroscedasticity là hiện tại hoặc nghi ngờ: lưu ý rằng điều này là nhiều khả năng5A chính thức bằng chứng có thể được tìm thấy trong Phoebus J. Dhrymes, giới thiệu kinh, Springer-Verlag, New York, năm 1978, pp. 110-111. Trong đi qua, lưu ý rằng sự mất mát của hiệu quả của βˆ2 [ví dụ, bằng cáchbao nhiêu var (βˆ2) vượt quá var (βˆ *2)] phụ thuộc vào giá trị mẫu biến X và cácgiá trị σ 2tôi

Kết quả (Việt) 2:

11,4 HẬU QUẢ SỬ DỤNG OLS TRONG HIỆN DIỆN CỦA CÁC
biến ngẫu
Như chúng ta đã thấy, cả hai β *
2 và beta
2 là (tuyến tính) ước lượng không thiên vị: Trong tái
lấy mẫu peated, trên trung bình, β *
2 và beta
2 sẽ bằng β2 đúng ; nghĩa là,
họ đều là ước lượng không thiên vị. Nhưng chúng ta biết rằng đó là β *
2 đó là hiệu quả,
đó là, có phương sai nhỏ nhất. Điều gì xảy ra khoảng tin cậy của chúng tôi,
giả thuyết thử nghiệm, và các thủ tục khác nếu chúng ta tiếp tục sử dụng OLS
ước lượng β
2? Chúng tôi phân biệt hai trường hợp.
OLS Ước Cho phép các biến ngẫu
Giả sử chúng ta sử dụng beta
2 và sử dụng các công thức đúng cho trong (11.2.2), mà
sẽ đưa vào tài khoản các biến ngẫu nhiên một cách rõ ràng. Sử dụng sai này, và
giả sử σ 2
i được biết, chúng ta có thể thiết lập khoảng tin cậy và kiểm tra
giả thuyết với các t thông thường và kiểm tra F? Câu trả lời thường là không có bởi vì
nó có thể được hiển thị var (β *
2) ≤ var (β
2), 5 có nghĩa là sự tự tin
khoảng dựa trên sau này sẽ không cần thiết lớn hơn. Kết quả là, các t và
F xét nghiệm này có thể cho chúng ta kết quả không chính xác trong var (β
2) là quá lớn
và những gì dường như là một hệ số không đáng kể về mặt thống kê (vì t
giá trị nhỏ hơn so với những gì là thích hợp) có thể trong thực tế là đáng kể nếu nhũng
khoảng tin cậy rect được thành lập trên cơ sở các thủ tục GLS.
OLS Estimation bất chấp các biến ngẫu nhiên
tình hình có thể trở nên nghiêm trọng nếu chúng ta không chỉ sử dụng β
2 mà còn tiếp tục
sử dụng bình thường theo công thức (homoscedastic) sai cho trong ( 11.2.3) ngay cả khi
các biến ngẫu nhiên là hiện tại hoặc nghi ngờ: Lưu ý rằng đây là nhiều khả năng
5A bằng chứng chính thức có thể được tìm thấy trong Phoebus J. Dhrymes, Giới thiệu Kinh tế, Springer-
Verlag, New York, 1978, trang 110-111.. Trong đi qua, lưu ý rằng sự mất hiệu quả của β
2 [ví dụ, bởi
bao nhiêu var (β
2) vượt var (β *
2)] phụ thuộc vào các giá trị mẫu của biến X và
giá trị của σ 2
i