§4. Triangles with angles of 60◦ an

§4. Triangles with angles of 60◦ and 120◦

In triangle ABC with angle A equal to 120◦ bisectors AA1, BB1 and CC1 are drawn. Prove that triangle A1B1C1 is a right one.
In triangle ABC with angle A equal to 120◦ bisectors AA1, BB1 and CC1 meet at point O. Prove that ∠A1C1O = 30◦.

a) Prove that if angle ∠A of triangle ABC is equal to 120◦ then the center of the circumscribed circle and the orthocenter are symmetric through the bisector of the outer

angle ∠A.

b) In triangle ABC, the angle ∠A is equal to 60◦; O is the center of the circumscribed circle, H is the orthocenter, I is the center of the inscribed circle and Ia is the center of the escribed circle tangent to side BC. Prove that IO = IH and IaO = IaH.
In triangle ABC angle ∠A is equal to 120◦. Prove that from segments of lengths a, b and b + c a triangle can be formed.

In an acute triangle ABC with angle ∠A equal to 60◦ the heights meet at point
H.

a) Let M and N be the intersection points of the midperpendiculars to segments BH and CH with sides AB and AC, respectively. Prove that points M , N and H lie on one line.

b) Prove that the center O of the circumscribed circle lies on the same line.
In triangle ABC, bisectors BB1 and CC1 are drawn. Prove that if ∠CC1B1 = 30◦, then either ∠A = 60◦ or ∠B = 120◦.
See also Problem 2.33.


§5. Integer triangles

The lengths of the sides of a triangle are consecutive integers. Find these integers if it is known that one of the medians is perpendicular to one of the bisectors.

The lengths of all the sides of a right triangle are integers and the greatest common

divisor of these integers is equal to 1. Prove that the legs of the triangle are equal to 2mn and m2 − n2 and the hypothenuse is equal to m2 + n2, where m and n are integers.
A right triangle the lengths of whose sides are integers is called a Pythagorean triangle.

The radius of the inscribed circle of a triangle is equal to 1 and the lengths of its sides are integers. Prove that these integers are equal to 3, 4, 5.

Give an example of an inscribed quadrilateral with pairwise distinct integer lengths of sides and the lengths of whose diagonals, the area and the radius of the circumscribed circle are all integers. (Brakhmagupta.)

a) Indicate two right triangles from which one can compose a triangle so that the lengths of the sides and the area of the composed triangle would be integers.

b) Prove that if the area of a triangle is an integer and the lengths of the sides are consecutive integers then this triangle can be composed of two right triangles the lengths of whose sides are integers.
a) In triangle ABC, the lengths of whose sides are rational numbers, height BB1

is drawn.
Prove that the lengths of segments AB1 and CB1 are rational numbers.

Kết quả (Việt) 1:

§4. Hình tam giác với góc của 60◦ và 120◦ Trong tam giác ABC với góc một bằng 120◦ bisectors AA1, BB1 và CC1 được rút ra. Chứng minh rằng tam giác A1B1C1 là một trong những quyền. Trong tam giác ABC với góc A bằng 120◦ bisectors AA1, BB1 và CC1 gặp nhau tại điểm O. chứng minh rằng ∠A1C1O = 30◦. a) chứng minh rằng nếu ∠A góc của tam giác ABC bằng 120◦ sau đó là trung tâm của đường tròn và orthocenter đang đối xứng qua bisector của bên ngoàigóc ∠A.b) trong tam giác ABC, ∠A góc là tương đương với 60◦; O là tâm của đường tròn, H là orthocenter, tôi là trung tâm của vòng tròn ghi và Ia là trung tâm của escribed circle tangent sang bên BC. Chứng minh rằng IO = IH và IaO = IaH. Trong tam giác ABC góc ∠A là bằng 120◦. Chứng minh rằng từ các phân đoạn của độ dài a, b và b + c một tam giác có thể được hình thành. Trong một tam giác cấp tính ABC với góc ∠A bằng 60◦ đỉnh cao đáp ứng tại điểmH.a) để M và N là giao điểm của midperpendiculars để phân đoạn BH và CH với cạnh AB và AC, tương ứng. Chứng minh rằng điểm M, N và H nằm trên cùng một dòng.b) chứng minh rằng Trung tâm O của đường tròn nằm trên cùng một dòng. Trong tam giác ABC, bisectors BB1 và CC1 được rút ra. Chứng minh rằng nếu ∠CC1B1 = 30◦, sau đó ∠A hoặc = 60◦ hay ∠B = 120◦.Xem thêm vấn đề 2,33.§5. Tam giác nguyên Độ dài các cạnh của một tam giác là số nguyên liên tiếp. Tìm các số nguyên nếu nó được biết đến là một trong các số trung vị là vuông góc với một trong các bisectors. Độ dài của tất cả các cạnh của một tam giác bên phải là số nguyên và phổ biến nhấtước chung của các số nguyên là bằng 1. Chứng minh rằng chân của tam giác bằng n2 − 2mn và m2 và hypothenuse là tương đương với m2 + n2, nơi m và n là các số nguyên.Một tam giác vuông dài mà hai bên là các số nguyên được gọi là tam giác Pythagore. Bán kính của hình tròn ghi trong một tam giác là bằng 1 và độ dài của hai mặt của nó là số nguyên. Chứng minh rằng các số nguyên bằng 3, 4, 5. Cho một ví dụ của một tứ giác ghi với cử số nguyên khác biệt độ dài của hai bên và độ dài đường chéo mà, khu vực và bán kính của đường tròn này là các số nguyên tất cả. (Brakhmagupta.) a) cho biết hai hình tam giác bên phải mà từ đó một có thể soạn một hình tam giác, do đó độ dài của các bên và diện tích tam giác gồm sẽ là số nguyên.b) chứng minh rằng nếu khu vực của một hình tam giác là một số nguyên và độ dài của hai bên là các số nguyên liên tiếp thì tam giác này có thể bao gồm hai hình tam giác bên phải dài mà hai bên là các số nguyên. a) trong tam giác ABC, độ dài của hai bên mà là số hữu tỉ, chiều cao BB1được rút ra.Chứng minh rằng độ dài của đoạn AB1 và CB1 là số hữu tỉ.

Kết quả (Việt) 2:

§4. Hình tam giác với góc 60◦ và 120◦

Trong tam giác ABC có góc A bằng 120◦ bisectors AA1, BB1 và CC1 được rút ra. Chứng minh rằng tam giác A1B1C1 là một trong những quyền.
Trong tam giác ABC có góc A bằng 120◦ bisectors AA1, BB1 và CC1 gặp nhau tại điểm O. Chứng minh rằng ∠A1C1O = 30◦.

A) Chứng minh rằng nếu góc ∠A của tam giác ABC là bằng 120◦ sau đó trung tâm của đường tròn ngoại tiếp và trực tâm là đối xứng qua phân giác ngoài

. góc ∠A

b) trong tam giác ABC, góc ∠A bằng 60◦; O là trung tâm của đường tròn ngoại tiếp, H là trực tâm, tôi là trung tâm của vòng tròn ghi và Ia là trung tâm của các tiếp tuyến đường tròn bàng tiếp sang bên kia BC. Chứng minh rằng IO = IH và IAO = IAH.
Trong tam giác góc ABC ∠A bằng 120◦. Chứng minh rằng từ các phân đoạn có độ dài a, b và b + ca tam giác có thể được hình thành.

Trong một tam giác cấp tính ABC với góc ∠A bằng 60◦ đỉnh cao gặp nhau tại điểm
H.

a) Gọi M và N là điểm giao nhau của midperpendiculars để phân đoạn BH và CH có cạnh AB và AC, tương ứng. Chứng minh rằng điểm M, N và H nằm trên một dòng.

B) Chứng minh rằng các trung tâm O của đường tròn ngoại tiếp nằm trên cùng một đường.
Trong tam giác ABC, đường trung BB1 và CC1 được rút ra. Chứng minh rằng nếu ∠CC1B1 = 30◦, sau đó hoặc là ∠A = 60◦ hoặc ∠B = 120◦.
Xem thêm vấn đề 2.33.


§5. Integer tam giác

Chiều dài của các cạnh của một tam giác là các số nguyên liên tiếp. Tìm các số nguyên nếu nó được biết rằng một trong những trung vị là vuông góc với một trong các đường trung.

Chiều dài của tất cả các mặt của một hình tam giác bên phải là số nguyên và số chung lớn nhất

ước của các số nguyên là bằng 1. Chứng minh rằng hai chân tam giác bằng nhau để 2 triệu và m2 -. n2 và cạnh huyền bằng m2 + n2, trong đó m và n là các số nguyên
một tam giác có độ dài các mà hai bên là các số nguyên được gọi là tam giác Pythagore.

Bán kính của vòng tròn ghi của một tam giác là bằng 1 và chiều dài các cạnh của nó là các số nguyên. Chứng minh rằng các số nguyên là bằng 3, 4, 5.

Hãy cho một ví dụ của một tứ giác ghi với độ dài số nguyên khác biệt cặp của hai bên và độ dài của đường chéo mà, khu vực và bán kính của đường tròn ngoại tiếp là các số nguyên. (Brakhmagupta.)

A) Cho biết hai tam giác vuông từ đó người ta có thể soạn một tam giác sao cho độ dài của các cạnh và diện tích của tam giác sáng tác sẽ là số nguyên.

B) Chứng minh rằng nếu diện tích của một tam giác là một số nguyên và các độ dài các cạnh là các số nguyên liên tiếp sau đó tam giác này có thể bao gồm hai bên tam giác độ dài của mà hai bên là các số nguyên.
a) trong tam giác ABC, độ dài của mà hai bên là những con số hợp lý, chiều cao BB1

được rút ra.
Chứng minh rằng chiều dài của phân đoạn AB1 và CB1 là con số hợp lý.