312 TESTING THE GENERAL LINEAR HYPO

312 TESTING THE GENERAL LINEAR HYPOTHESIS; MANOVA
where Y1, •.• , r;, are independent and Yi = -log V; has the density
for 0 ::; Y < CXJ and 0 otherwise, and
r[1(n+l-i)+r] = __ I_'ilfl+1-i+2j
(34) Ki =r[1(n+l-i)]r(r) (r-l)!j=o 2
The joint density of Y1, ••. , r;, is then a linear combination of terms
exp[ - r.f= 1 a i Yi J. The density of U) = r.{ = 1 Yi can be obtained inductively from
the density of U)-l = r.{::l Yi and l-j, j = 2, ... , p, which is a linear combination
of terms w/- 1 eCWj - 1 +a jYj. The density of U-j consists of linear combinations
of
(35) if aj = c,
+ ( _l)k+l a.w k! e J J k+l
(c - aj )
The evaluation involves integration by parts.
Theorem 8.4.7. If P is even or if m is even, the density of Up,m,n can be
expressed as a linear combination of terms ( -log U)k ul
, where k is an integer and
I is a half integer.
From (35) we see that the cumulative distribution function of -log U is a
linear combination of terms wk e- 1w and hence the cumulative distribution
function of U is a linear combination of terms (-log U)kU I
• The values of k
and I and the coefficients depend on p, m, and n, They can be obtained by
inductively canying out the procedure leading to Theorem 8.4.7. Pillai and
Gupta (1969) used Theorem 8.4.3 for obtaining distributions.
8.4 DISTRIBUTION OF THE LIKELIHOOD RATIO CRITERION 313
An alternative approach is to use Theorem 8.4.4. The complement to the
cumulative distribution function U2r, m." is
(36)
Pr{U2r,m,,, ~ u} = pr{tp> ru}
I r =J _ J .jii "'J .fii. nf3(y
+1-2i I '.,r. m)dv ·"dv,dy. _ 1
I" - --,··1
Y, Ili~,' Y,
In the density, (1 - y)m -I can be expanded by the binomial theorem. Then
all integrations are expressed as integrations of powers of the variables.
As an example, consider r = 2. The density of Y and Yz is
where
(38)
_ [m- [( m - 1) !]2( _1)i+1 ,,-2+; ,,-4+i
-c L: ( --'-1)1( _·_l)I.,.,Yl Y2 , i,j=O mi. m J .I.J.
c= f(n+m-1)f(n+m-3)
f(n - l)r(n - 3)r2(m)
The complement to the cdf of U4• m," is
m- [(m -1) !]2( _1)i+1
(39) Pr{U4,m,,,~U}=C L: ( -'-1)1( -'-1)1"" i,j=O mi. m J .I.J.
m-l [(m -1)!] _l);+i
=Ci'~O (m-i-1)!(m-j-1)!i!j!(n-3+j)
The last step of the integration yields powers of ru and products of powers
of ru and log u (for 1 + i - j = -1).

Kết quả (Việt) 1:

312 THỬ NGHIỆM CÁC GIẢ THUYẾT TUYẾN TÍNH TỔNG QUÁT; MANOVAnơi Y1, •. •, r, là độc lập và Yi = – log V; có mật độvới 0::; Y < CXJ và 0 nếu không, vàr [1 (n + l-i) + r] = __ I_'ilfl + 1-i + 2j(34) Ki =r[1(n+l-i)]r(r) (r-l)! j = o 2Mật độ chung của Y1, ••. , r, sau đó là một tổ hợp tuyến tính của các điều khoảnđiểm kinh nghiệm [-r.f= 1 a tôi Yi J. Mật độ U) = r. {= 1 Yi có thể lấy ăngten từmật độ U)-l = r. {:: l Yi và l-j, j = 2,..., p, mà là một tổ hợp tuyến tínhtrong điều khoản w / 1 eCWj - 1 + một jYj. Mật độ của U-j bao gồm kết hợp tuyến tínhcủa(35) nếu aj = c,+ (_l) k + l a.w k! e J J k + l(c - aj)Đánh giá liên quan đến hội nhập của các bộ phận.Định lý 8.4.7. Nếu P là số chẵn, hoặc nếu m là số chẵn, mật độ lên, m, n có thểthể hiện như là một tổ hợp tuyến tính của các điều khoản (-log U) k ul, k là một số nguyên vàTôi là một số nguyên một nửa.Từ (35), chúng tôi thấy rằng hàm phân phối tích lũy-U là mộttổ hợp tuyến tính của điều khoản wk e-1w và do đó phân phối tích lũychức năng của U là một tổ hợp tuyến tính của các điều khoản (-log U) kU tôi• Giá trị của kvà tôi và các hệ số phụ thuộc vào p, m và n, họ có thể thu được bằng cáchăngten canying thủ tục dẫn tới định lý 8.4.7. Pillai vàGupta (1969) sử dụng định lý 8.4.3 cho việc phân phối. 8.4 CÁC PHÂN PHỐI CỦA CÁC TIÊU CHÍ TỶ LỆ KHẢ NĂNG 313Một cách tiếp cận khác là sử dụng định lý 8.4.4. Bổ sung cho cáchàm phân phối tích lũy U2r, m. "là(36)PR {U2r, m,,, ~ u} = pr {tp > ru} I r = J _ J .jii "'J .fii. nf3 (y
+ 1-2i tôi '., r. m) dv · " DV, dy. _ 1I" - --,·· 1Y, Ili ~,' Y,Trong mật độ, (1 - y) m-tôi có thể được mở rộng theo định lý nhị thức. Sau đótích hợp tất cả được thể hiện như là tích hợp trong quyền hạn của các biến.Ví dụ, hãy xem xét r = 2. Mật độ của Y và Yznơi(38)_ [m- [( m - 1) !] 2 (_1) i + 1,,-2 +; ,,-4 + tôi-c L: (--' -1) 1 (_·_l) I.,., Yl Y2, i, j = O mi. m J. I.J.c = f(n+m-1)f(n+m-3)f(n-l) r(n-3)r2(m)Là sự bổ sung cho cdf U4• m "m- [m (-1)!] 2 (_1) i + 1(39) Pr {U4, m,,, ~ U} = C L: (-' -1) 1 (-' -1) 1"" i, j = O mi. m J. I.J.m-l [m (-1)!] được viết bởi admin _l); + i= Ci'~ O (m-i-1)! (m-j-1)! i! j! (n-3 + j)Bước cuối cùng của sự hội nhập mang lại sức mạnh của ru và các sản phẩm của các cường quốcu ru và đăng nhập (cho 1 + i – j = -1).

Kết quả (Việt) 2:

312 KIỂM TRA TỔNG LINEAR giả thuyết; MANOVA
nơi Y1, • •, r ;, độc lập và Yi = -log V. có mật độ
số 0 ::; Y <CXJ và 0 nếu ngược lại, và
r [1 (n + li) + r] = __ I_'ilfl + 1-i + 2j
(34) Ki = r [1 (n + li)] r (r) (rl )! j = o 2
mật độ chung của Y1, ••. , R ;, sau đó là một sự kết hợp tuyến tính của các điều khoản
exp [- rf = 1 ai Yi J. Mật độ của U) = r {= 1 Yi có thể đạt được một cách quy nạp từ.
Mật độ của U) -l = r {.: : l Yi và lj, j = 2, ..., p, mà là một sự kết hợp tuyến tính
của các điều khoản w / - 1 eCWj - 1 + a JYJ. Mật độ của Uj gồm tổ hợp tuyến tính
của
(35) nếu aj = c
+ (_l) k + l aw k! e JJ k + l
(c - aj)
. Việc đánh giá liên quan đến hội nhập của phần
lý 8.4.7. Nếu P là chẵn hoặc nếu m là chẵn, mật độ của Up, m, n có thể được
thể hiện như là một sự kết hợp tuyến tính của các điều khoản (-log U) k ul
, với k là một số nguyên và
tôi là một số nguyên nửa.
Từ (35 ), chúng tôi thấy rằng các chức năng phân phối tích lũy của -log U là một
sự kết hợp tuyến tính của các điều khoản WK e- 1w và do đó phân phối tích lũy
chức năng của U là một sự kết hợp tuyến tính của các điều khoản (-log U) kU tôi
• các giá trị của k
và tôi và các hệ số phụ thuộc vào p, m, n, họ có thể thu được bằng
quy nạp canying hiện các thủ tục dẫn đến định lý 8.4.7. Pillai và
Gupta (1969) đã sử dụng Định lý 8.4.3 cho các phân phối có được.
8.4 PHÂN PHỐI CỦA KHẢ NĂNG TỶ LỆ TIÊU CHÍ 313
Một phương pháp khác là sử dụng Định lý 8.4.4. Việc bổ sung cho các
chức năng phân phối tích lũy U2r, m. "Là
(36)
Pr {U2r, m ,,, ~ u} = {pr tp> ru}
I r = J _ J .jii" 'J .fii. 3NF (y n + 1-2i tôi ', r m..) dv · "dv, dy _ 1.
I" - -, ·· 1
Y, Ili ~, "Y,
Trong mật độ, (1 - y) m -Tôi có thể được mở rộng bằng các định lý nhị thức. Sau đó,
tất cả tích hợp được thể hiện như tích hợp các quyền hạn của các biến.
Ví dụ, hãy xem xét r = 2. Mật độ của Y và Yz là
nơi
(38)
_ [m- [(m - 1)!] 2 (_1 ) i + 1 ,, - 2+; ,, - 4 + i
-c L: (--'- 1) 1 (_ · _l) Tôi,, YL Y2, i, j = O mi... m J .IJ
c = f (n + m-1) f (n + m-3)
f (n - l) r (n - 3) r2 (m)
Các bổ sung cho các lũy của U4 • m, "là
m- [(m -1)!] 2 (_1) i + 1
(39) Pr {U4, m ,,, ~ U} = CL: (-'- 1) 1 (-'- 1) 1 " . "i, j = O mi m J .IJ
ml _l) [(m -1)!]; + i
!!!! = Ci '~ O (mi-1) (mj-1) i j (n -3 + j)
bước cuối cùng của hội nhập mang lại quyền hạn của ru và các sản phẩm của các cường quốc
của ru và đăng nhập u (1 + i - j = -1).