21is as~ [(~) 2 + (dt) 2 }~ = [1 +

21
is as~ [(~) 2 + (dt) 2 }~ = [1 + x 2 )~ dt one can see that this is
reduced to cinir.lizing the functional .T(.:::-)
This is the special case 2.4.1 in which the integrand docs not involve
either ~ or t explicitly. Euler equation gives f. = constant, i.e.
~
the solution of which gives x = 0 or ~(t) = at + b where a and b are
constants» i.e. a family of straight lines. Clearly only one such
line goes through the two fixed points A[0,~0 ) and B[T,.rT). This is,
of course, obvious from the start.
2.4.2 Absence of t
.r = fTf at
0
Euler's equation gives
f - 4_ -r = f - f. 5: - f .. x .r dt .J X • X .:::'X XX
which gives, on multiplication by±
f . f ·2 f ... -a c·f '"' > o ~.r - !::.r.r - 4:X.rx = dt - XJ X =
the first integral of which is
where c is some constant.
(25)
(26)
(27)
(28)

Kết quả (Việt) 1:

21là ~ [(~) 2 + (dt) 2} ~ = [1 + x 2) ~ dt một có thể thấy rằng điều này làgiảm để cinir.lizing các chức năng.T(.:::-)Đây là trường hợp đặc biệt 2.4.1 trong đó tài liệu integrand không bao gồmhoặc là ~ hoặc t một cách rõ ràng. Phương trình Euler cho f. = hằng số, tức là~Các giải pháp mà cho x = 0 hoặc ~(t) = lúc + b nơi một và bhằng số» tức là một gia đình của đường thẳng. Rõ ràng duy nhất như vậyđường đi qua hai điểm cố định A [0, ~ 0) và B[T,.rT). Đây là,Tất nhiên, rõ ràng từ đầu.2.4.2 vắng mặt của tMa < ma > = fTf < ma, x > tại0Phương trình Euler chof - 4_ - r = f - f. 5:-f... x ma dt.J X • X.:::'X XXđó cung cấp cho, trên nhân by±f. f ·2 f... - một c·f ' "' > o ~.r -!::. r.r – 4:X.rx = dt - XJ X =tích phân đầu tiên trong đó lànơi c là một số liên tục.(25)(26)(27)(28)

Kết quả (Việt) 2:

21
là như ~ [(~) 2 + (dt) 2} ~ = [1 + x 2) ~ dt người ta có thể thấy rằng điều này là
giảm đến cinir.lizing các .T chức năng (::.:-)
Đây là trường hợp đặc biệt 2.4.1 trong đó các tài liệu tích phân không liên quan đến
một trong hai hoặc ~ t một cách rõ ràng. Euler phương trình cho f. = Hằng số, tức là
~
các giải pháp trong đó cung cấp cho x = 0 hoặc ~ (t) = at + b trong đó a và b là
hằng số »tức là một gia đình của các đường thẳng. Rõ ràng chỉ có một như
đường đi qua hai điểm cố định A [0, 0 ~) và B [T, .rT). Đây là,
tất nhiên, rõ ràng ngay từ đầu.
2.4.2 Sự vắng mặt của t
.r <.r> = FTF <.r, x> ở
0
phương trình Euler cho
f - 4_ -r = f - f. 5: - f .. x .r dt .JX • X ::: 'X XX.
mà cho, nhân rộng bởi ±
f. ! f · 2 f ... -ac · f '"'> o ~ .r - :: rr - 4:. X.rx = dt - XJ X =
tích phân đầu tiên trong số đó là
nơi c là một số không đổi.
( 25)
(26)
(27)
(28)