¯ Dis the electric flux density, in

¯ Dis the electric flux density, in coulombs per meter squared (Coul/m
2
).
¯ Bis the magnetic flux density, in webers per meter squared (Wb/m
2
).
¯ Mis the (fictitious) magnetic current density, in volts per meter (V/m
2
).
¯ Jis the electric current density, in amperes per meter squared (A/m
2
).
ρis the electric charge density, in coulombs per meter cubed (Coul/m
3
).
The sources of the electromagnetic field are the currents ¯ Mand
¯ Jand the electric
charge densityρ. The magnetic current
¯ Mis a fictitious source in the sense that it is
only a mathematical convenience: the real source of a magnetic current is always a loop
of electric current or some similar type of magnetic dipole, as opposed to the flow of an
actual magnetic charge (magnetic monopole charges are not known to exist). The magnetic
current is included here for completeness, as we will have occasion to use it in Chapter 4
when dealing with apertures. Since electric current is really the flow of charge, it can be
said that the electric charge densityρis the ultimate source of the electromagnetic field.
In free-space, the following simple relations hold between the electric and magnetic
field intensities and flux densities:
¯ B=µ0
¯ H, (1.2a)
¯ D=0
¯ E, (1.2b)
whereµ0=4π×10
−7
henry/m is the permeability of free-space, and0=8.854×10
−12
farad/m is the permittivity of free-space. We will see in the next section how media other
than free-space affect these constitutive relations.
Equations (1.1a)–(1.1d) are linear but are not independent of each other. For instance,
consider the divergence of (1.1a). Since the divergence of the curl of any vector is zero
[vector identity (B.12), from Appendix B], we have
∇·∇ׯ E=0=−
∂
∂t
(∇·¯ B)−∇·¯ M.
Since there is no free magnetic charge,∇·¯ M=0, which leads to∇·¯ B=0, or (1.1d).
Thecontinuity equationcan be similarly derived by taking the divergence of (1.1b), giving
∇·¯ J+
∂ρ
∂t
=0,(1.3)
where (1.1c) was used. This equation states that charge is conserved, or that current is
continuous, since∇·¯ Jrepresents the outflow of current at a point, and∂ρ/∂t represents
the charge buildup with time at the same point. It is this result that led Maxwell to the
conclusion that the displacement current density∂¯ D/∂t was necessary in (1.1b), which
can be seen by taking the divergence of this equation.
The above differential equations can be converted to integral form through the use of
various vector integral theorems. Thus, applying the divergence theorem (B.15) to (1.1c)
and (1.1d) yields


S
¯ D·d¯ s=

V
ρdv=Q, (1.4)


S
¯ B·d¯ s=0, (1.5)
8 Chapter 1: Electromagnetic Theory
C
S
dl n B ˆ
FIGURE 1.3 The closed contourCand surfaceSassociated with Faraday’s law.
whereQin (1.4) represents the total charge contained in the closed volume V(enclosed
by a closed surfaceS). Applying Stokes’ theorem (B.16) to (1.1a) gives


C
¯ E·d¯
l =−
∂
∂t

S
¯ B·d¯ s−

S
¯ M·d¯ s,(1.6)
which, without the ¯ Mterm, is the usual form of Faraday’s lawand forms the basis for
Kirchhoff’s voltage law. In (1.6), Crepresents a closed contour around the surface S,as
showninFigure1.3.Ampere’s lawcan be derived by applying Stokes’ theorem to (1.1b):


C
¯ H·d¯
l =
∂
∂t

S
¯ D·d¯ s+

S
¯ J·d¯ s=
∂
∂t

S
¯ D·d¯ s+I,(1.7)
whereI=

S
¯ J·d¯ s is the total electric current flow through the surface S. Equations
(1.4)–(1.7) constitute the integral forms of Maxwell’s equations.
The above equations are valid for arbitrary time dependence, but most of our work will
be involved with fields having a sinusoidal, or harmonic, time dependence, with steadystate conditions assumed. In this case phasor notation is very convenient, and so all field
quantities will be assumed to be complex vectors with an impliede
jωt
time dependence
and written with roman (rather than script) letters. Thus, a sinusoidal electric field polarized
in the ˆ xdirection of the form
¯ E(x,y,z,t)=ˆxA(x,y,z)cos(ωt +φ),(1.8)
whereAis the (real) amplitude,ωis the radian frequency, andφis the phase reference of
the wave att =0, has the phasor for
¯ E(x, y, z)=ˆxA(x, y, z)e
jφ
.(1.9)
We will assume cosine-based phasors in this book, so the conversion from phasor quantities to real time-varying quantities is accomplished by multiplying the phasor bye
jωt
and
taking the real part:
¯ E(x, y, z, t)=Re{
¯ E(x, y, z)e
jωt
},(1.10)
as substituting (1.9) into (1.10) to obtain (1.8) demonstrates. When working in phasor
notation, it is customary to suppress the factore
jωt
that is common to all terms.
When dealing with power and energy we will often be interested in the time average of
a quadratic quantity. This can be found very easily for time harmonic fields. For example,
the average of the square of the magnitude of an electric field, given as
¯ E=ˆxE1cos(ωt +φ1)+ˆyE2cos(ωt +φ2)+ˆzE2cos(ωt +φ3), (1.11)
has the phasor form
¯ E=ˆxE1e
jφ1
+ˆyE2e
jφ2
+ˆzE3e
jφ3
,(1.12)
1.2 Maxwell’s Equations 9
can be calculated as
|
¯ E|
2
avg =
1
T

T
0
¯ E·
¯ Edt
=
1
T

T
0

E
2
1
cos
2
(ωt +φ1)+E
2
2
cos
2
(ωt +φ2)+E
2
3
cos
2
(ωt +φ3)

dt
=
1
2

E
2
1+E
2
2+E
2
3

=
1
2
|
¯ E|
2
=
1
2
¯ E·
¯ E
∗
. (1.13)
Then the root-mean-square (rms) value is|
¯ E|
rms
=|¯ E|/
√
2.

Kết quả (Việt) 2:

¯ Dis mật độ thông lượng điện, trong cườm trên một mét vuông (Coul / m
2). ¯ Bis mật độ từ thông, trong webers mỗi mét vuông (Wb / m 2). ¯ Mis sự (hư cấu) mật độ dòng từ tính, trong volts mỗi mét (V / m 2). ¯ Jis mật độ dòng điện, trong ampe trên mỗi mét vuông (A / m 2). ρis mật độ điện tích, trong cườm trên một mét khối (Coul / m 3). Các nguồn tin của trường điện từ là những dòng ¯ Mand ¯ Jand điện phí densityρ. Các từ hiện tại ¯ Mis một nguồn hư cấu trong ý nghĩa rằng nó là chỉ là một tiện nghi toán học: nguồn gốc thực sự của một hiện từ tính luôn luôn là một vòng lặp của dòng điện hoặc một số loại tương tự của lưỡng cực từ, như trái ngược với dòng chảy của một từ thực tế phí (phí đơn cực từ tính được biết là không tồn tại). Các từ hiện tại được bao gồm ở đây cho đầy đủ, chúng tôi sẽ có dịp để sử dụng nó trong Chương 4 khi giao dịch với khẩu độ. Kể từ khi dòng điện thực sự là dòng chảy phí, nó có thể được cho biết rằng các điện tích densityρis nguồn cuối cùng của trường điện từ. Trong không gian tự do, các mối quan hệ đơn giản sau đây giữ giữa điện trường và từ trường cường độ trường và mật độ thông lượng: ¯ B = μ0 ¯ H, (1.2a) ¯ D =? 0 ¯ E, (1.2b) whereμ0 = 4π × 10 -7 henry / m là độ thẩm thấu của không gian tự do, và? 0 = 8,854 × 10 -12 farad / m là permittivity của không gian tự do. Chúng ta sẽ thấy trong phần tiếp theo như thế nào phương tiện truyền thông khác hơn so với không gian tự do ảnh hưởng đến các mối quan hệ cấu thành. Phương trình (1.1a) - (1.1d) là tuyến tính nhưng không độc lập với nhau. Ví dụ, xem xét sự khác nhau của (1.1a). Từ sự phân kỳ của các curl của bất kỳ vector là zero [vector sắc (B.12), từ Phụ lục B], chúng tôi có ∇ · ∇ × ¯ E = 0 = - ∂ ∂t (∇ · ¯ B) -∇ · ¯ M. Vì không có phí từ tính miễn phí, ∇ · ¯ M = 0, dẫn to∇ · ¯ B = 0, hoặc (1.1d). Thecontinuity equationcan được bắt nguồn tương tự bằng cách lấy phân kỳ của (1.1b), cho ∇ · ¯ J + ∂ρ ∂t = 0, (1.3) nơi (1.1c) đã được sử dụng. Phương trình này nói rằng phí được bảo tồn, hoặc hiện nay là liên tục, since∇ · ¯ Jrepresents dòng chảy của hiện tại một điểm, and∂ρ / ∂t đại diện cho sự tích tụ phí với thời gian tại cùng một điểm. Nó là kết quả này đã dẫn Maxwell đến kết luận rằng sự dịch chuyển density∂¯ hiện D / ∂t là cần thiết (1.1b), mà có thể được nhìn thấy bằng cách lấy phân kỳ của phương trình này. Các phương trình vi phân trên có thể được chuyển đổi sang thể thiếu hình thành thông qua việc sử dụng các vector khác nhau định lý tích phân. Như vậy, việc áp dụng các định lý phân kỳ (B.15) đến (1.1c) và (1.1d) sản lượng? S ¯ D · D s =? V ρdv = Q, (1.4)? S ¯ B · t s = 0 , (1.5) 8 Chương 1: Lý thuyết điện từ C S dl n B. Hình 1.3 đóng contourCand surfaceSassociated luật Faraday whereQin (1.4) thể hiện tổng phí chứa trong các khối V đóng (kèm theo bởi một bề mặt đóng). Áp dụng định lý Stokes '(B.16) đến (1.1a) cho? C ¯ E · D l = - ∂ ∂t? S ¯ B · D s-? S ¯ M · D s, (1.6) trong đó , mà không có sự ¯ Mterm, là hình thức thông thường của lawand Faraday tạo cơ sở cho luật Kirchhoff của điện áp. Trong (1.6), Crepresents một đường viền khép kín xung quanh bề mặt S, như showninFigure1.3.Ampere của lawcan được bắt nguồn bằng cách áp dụng định lý Stokes 'đến (1.1b):? C ¯ H · D l = ∂ ∂t? S ¯ D · D s +? S ¯ J · D s = ∂ ∂t? S ¯ D · D S + I, (1.7) whereI =? S ¯ J · D S là tổng lưu lượng dòng điện qua các bề mặt S . Phương trình (1.4) - (1.7) tạo thành các hình thức không thể thiếu trong phương trình Maxwell. Các phương trình trên có giá trị tùy ý phụ thuộc thời gian, nhưng hầu hết các công việc của chúng tôi sẽ được tham gia với các lĩnh vực có một hình sin, hoặc hài hòa, thời gian phụ thuộc, với điều kiện SteadyState giả định. Trong phasor trường hợp này ký hiệu là rất thuận tiện, và như vậy tất cả các lĩnh vực với số lượng sẽ được giả định là vectơ phức tạp với một impliede jωt thời gian phụ thuộc và viết với roman (chứ không phải là kịch bản) chữ. Như vậy, một điện trường phân cực hình sin trong xdirection của mẫu ¯ E (x, y, z, t) = xA (x, y, z) cos (ωt + φ), (1.8) whereAis sự (real) biên độ , ωis tần số radian, andφis các tài liệu tham khảo giai đoạn của các att sóng = 0, có phasor cho ¯ E (x, y, z) = xA (x, y, z) e jφ. (1.9) Chúng ta sẽ giả cosine- phasors dựa vào cuốn sách này, do đó, việc chuyển đổi từ số lượng phasor đến lượng thời gian khác nhau thực sự được thực hiện bằng cách nhân phasor bye jωt và lấy phần thực: ¯ E (x, y, z, t) = Re {¯ E (x , y, z) e jωt}, (1.10) như thay thế (1.9) vào (1.10) để có được (1.8) cho thấy. Khi làm việc trong phasor ký hiệu, nó là phong tục để ngăn chặn các factore jωt đó là chung cho tất cả các kỳ hạn. Khi đối phó với sức mạnh và năng lượng chúng ta sẽ thường xuyên được quan tâm trong thời gian trung bình của một số lượng bậc hai. Điều này có thể được tìm thấy rất dễ dàng cho các lĩnh vực thời gian hài hòa. Ví dụ, với mức trung bình của bình phương của cường độ điện trường, cho là ¯ E = xE1cos (ωt + φ1) + yE2cos (ωt + φ2) + zE2cos (ωt + φ3), (1.11) có dạng phasor ¯ E = xE1e jφ1 + yE2e jφ2 + zE3e jφ3, (1.12) 1.2 Maxwell Equations 9 có thể được tính như | ¯ E | 2 trung bình = 1 T? T 0 ¯ E · ¯ Edt = 1 T? T 0? E 2 1 cos 2 (ωt + φ1) + E 2 2 cos 2 (ωt + φ2) + E 2 3 cos 2 (ωt + φ3)? dt = 1 2? E 2 1 + E 2 2 + E 2 3? = 1 2 | ¯ E | 2 = 1 2 ¯ E · ¯ E *. (1.13) Sau đó (rms) giá trị root-mean-square là | ¯ E | rms = | ¯ E | / √ 2.