22Example 2. 4. 2Ramsey's (1928) op

22
Example 2. 4. 2
Ramsey's (1928) optimal saving problem may be simplified as
Max. J(k) = JTu(c) dt
0
where u(c) is the utility of per capita consumption a where
c = f(k) - k , with the production f(k) as a concave increasing
function of capital per worker k and k is per capita investment.
This is case 2.4.2 where the integrand u(c) = u[f(k) - k] does not
involve t explicitly. Euler equation gives immediately
u(c) - k(au/ak) = a (constant)
'k =[a- u(c)]/u'(c)
where au;a'k = u'(c)(-1).
See Allen (1938. p. 540).
2.4.3 Absence of x
J(x)
Euler's equation gives
r f(x,t) dt
0
+' = 0 • Jx
(29)
(30)
This is not a differential equation but a non-linear (in general)
Algebraic equation. In general, boundary conditions cannot be satisfied,
as there are no constants of integration. In other words, the solution
exists only if the curve x = x(t) happens to pass through the specified
boundary points.

Kết quả (Việt) 2:

22
Ví dụ 2. 4. 2
(1928) Vấn đề tiết kiệm tối đa của Ramsey có thể được đơn giản hóa như
Max. J (k) = JTu (c) dt
0
nơi u (c) là tiện ích của mỗi đầu người tiêu thụ một nơi
c = f (k) - k, với f sản xuất (k) là một lõm tăng
chức năng của vốn trên mỗi lao động . k và k là mỗi đầu người đầu tư
này là trường hợp 2.4.2 nơi tích phân u (c) = u [f (k) - k] không
liên quan đến t một cách rõ ràng. Euler phương trình cho ngay lập tức
u (c) - k (au / ak) = a (không đổi)
'k = [a- u (c)] / u' (c)
nơi au; a'k = u '(c) ( -1).
Xem Allen (1938. p. 540).
2.4.3 Sự vắng mặt của x
J (x)
phương trình Euler cho
rf (x, t) dt
0
+ '= 0 • JX
(29)
(30)
Đây không phải là một phương trình khác biệt, nhưng một phi tuyến tính (nói chung)
Phương trình đại số. Nói chung, điều kiện biên không thể được thỏa mãn,
như là không có hằng số của hội nhập. Nói cách khác, các giải pháp
chỉ tồn tại nếu đường x = x (t) sẽ xảy ra để vượt qua thông qua các quy định
điểm ranh giới.