25Note that this is a case of degen

25
Note that this is a case of degenerate functionals mentioned
earlier where f.. is zero identically: this happens whenever
XX
f(x,x,t) depends on x linearly.
Example 2.4.4a
Consider a producer trying to minimize J = I: f(x, x, t) dt
where f(x, x, t) = x 2 + 2xtX is the production cost x 2 of output and
2xtX is the cost associated with expansion or contraction of his product x.
This is a case where f is linear in x and aa/ax =as/at= 2x i.e., J is
independent of the path of integration. The Euler equation gives
f Lt = 2x + ztX X- dt X
which vanishes identically
zx-ztx_o
as expected, the Calculus of Variations
provides no useful information.
Example 2.4.4b
As an example of case 2 • 4. 4 where x enters the integrand
linearly, we can consider the problem of maximizing J: TI(x, x)dt
where
Euler equation then gives
0
i.e.
x*(t)
Clearly this is not a differential equation and the solution does not
generally satisfy boundary conditions. In this example, only the
special case where x 0 = xT = (p-b 1 )/2a 1 could be satisfied.

Kết quả (Việt) 1:

25Lưu ý rằng đây là một trường hợp của thoái hóa functionals được đề cậptrước đó nơi f... là không giống nhau: điều này xảy ra bất cứ khi nàoXXf(x,x,t) phụ thuộc vào x tuyến tính.Ví dụ 2.4.4aXem xét một nhà sản xuất cố gắng giảm thiểu J = I: f (x, x, t) dtnơi f (x, x, t) = x 2 + 2xtX là sản xuất chi phí x 2 của sản lượng và2xtX là chi phí liên quan với việc mở rộng hoặc co của sản phẩm của mình x.Đây là một trường hợp đó f là tuyến tính trong x và aa/ax = như/ở = 2 x i, J làđộc lập của con đường hội nhập. Cung cấp cho phương trình Eulerf Lt = 2 x + ztX X-dt Xmà lại biến mất giống nhauzx-ztx_onhư dự kiến, phép tính biến phâncung cấp không có thông tin hữu ích.Ví dụ 2.4.4bNhư là một ví dụ về trường hợp 2 • 4. 4 nơi x vào integrandtuyến tính, chúng tôi có thể xem xét vấn đề của tối đa hóa dt J: TI (x, x)nơiEuler phương trình sau đó cung cấp cho0tức làx*(t)Rõ ràng đây không phải là một phương trình vi phân và các giải pháp khôngnói chung, thỏa mãn điều kiện biên. Trong các ví dụ này, chỉ nhữngđặc biệt trường hợp trường hợp x 0 = xT = (p-b 1) / 2a 1 có thể được hài lòng.

Kết quả (Việt) 2:

25
Lưu ý rằng đây là một trường hợp thoái hóa functionals đề cập
trước đó f .. là không giống nhau: điều này xảy ra bất cứ khi nào
XX
. f (x, x, t) phụ thuộc vào x tuyến tính
Ví dụ 2.4.4a
Hãy xem xét một nhà sản xuất đang cố gắng để giảm thiểu J = I : f (x, x, t) dt
đó f (x, x, t) = x 2 + 2xtX là chi phí sản xuất x 2 về sản lượng và
2xtX là chi phí liên quan đến việc mở rộng hay thu hẹp của sản phẩm x của mình.
Đây là một Trường hợp f là tuyến tính trong x và aa / = ax như là / vào = 2x tức, J là
độc lập của con đường hội nhập. Các phương trình Euler cho
f Lt = 2x + ztX X- dt X
mà biến mất hệt
zx-ztx_o
như mong đợi, Calculus của Biến thể
không cung cấp thông tin hữu ích.
Ví dụ 2.4.4b
Như một ví dụ về trường hợp 2 • 4. 4 x nơi đi vào tích phân
tuyến tính, chúng ta có thể xem xét các vấn đề tối đa hóa J: TI (x, x) dt
mà
Euler phương trình sau đó cung cấp cho
0
tức là
x * (t)
Rõ ràng đây không phải là một phương trình vi phân và các giải pháp không
thường đáp ứng các điều kiện biên. Trong ví dụ này, chỉ các
trường hợp đặc biệt, nếu x 0 = xt = (pb 1) / 2a 1 có thể được thỏa mãn.