Power ergodic rates were first cons

Power ergodic rates were first considered by Loeve [Lo] as a condition for the pointwise ergodic theorem for unitary operators on L2 - see [Do], p. 492. Gaposhkin [G1] proved that if T is unitary on L2(p) and f has power ergodic rate a, then the one-sided ergodic Hilbert transform converges a.e.; in [G2] he proved that 52r=1 Tnf converges a.e. for 7 > max{ 1, 1 — a}. Independently of [DL], As- sani [AS1], [As2], [As3] defined power type and logarithmic type Wiener-Wintner functions for T induced by probability preserving transformations (see [AsN] for additional examples), in order to study return times phenomena with a break of duality and convergence and continuity properties of the rotated ergodic Hilbert transform. In [DL] it was also shown that if T is a mean ergodic positive contrac¬tion on L1(p) and f has power ergodic rate, then the one-sided ergodic Hilbert transform converges a.e., but all the fractional transforms may fail to converge a.e. For 1 < p < TO and T power-bounded (not invertible) on Lp(p), convergence of the fractional ergodic Hilbert transform for f with ergodic power rate was proved in [CL1],[CL2],[W]; for more precise information when T is Dunford-Schwartz (and p is finite) see [DL]. Weighted one-sided ergodic Hilbert transforms were considered in [As4].

Kết quả (Việt) 1:

Điện ergodic tỷ giá này được xem là lần đầu tiên bởi Loeve [Lo] như là một điều kiện nhất định lý hàm ergodic cho hành quân trên L2 - xem [làm], trang 492. Gaposhkin [G1] chứng minh rằng nếu T là đơn nhất trên L2(p) và f có điện ergodic giá một, sau đó là một mặt biến đổi Hilbert ergodic hội tụ a.e.; trong [G2] ông đã chứng minh rằng 52r = 1 Tnf hội tụ a.e. đối với 7 > max {1, 1 — một}. Một cách độc lập [DL], như-sani [AS1], [As2], [As3] định nghĩa loại nguồn điện và lôgarít loại Wiener-Wintner chức năng cho T gây ra bởi khả năng giữ gìn các phép biến đổi (xem [ARG] để có thêm ví dụ), để nghiên cứu trở về thời gian hiện tượng với một break duality và tính chất hội tụ và tính liên tục của xoay ergodic Hilbert biến đổi. Trong [DL] nó cũng được hiển thị nếu T là một ergodic có ý nghĩa tích cực contrac¬tion L1(p) và f có điện ergodic tỷ lệ, sau đó là một mặt biến đổi Hilbert ergodic hội tụ a.e., nhưng tất cả các biến đổi các phân đoạn có thể không phải hội tụ a.e. Cho 1 < p < đến và T power-giáp (không khả nghịch) ngày Lp(p), hội tụ của các biến đổi Hilbert fractional ergodic cho f với ergodic sức mạnh tỷ lệ đã được chứng minh trong [CL1], [CL2], [W]; thông tin chính xác hơn khi T là Dunford Schwartz (và p là hữu hạn) thấy [DL]. Biến đổi Hilbert trọng ergodic một mặt được coi là trong [Như4].

Kết quả (Việt) 2:

giá ergodic điện đầu tiên được coi là của Loeve [Lo] như là một điều kiện để pointwise lý ergodic cho người vận hành đơn nhất trên L2 - xem [Do], p. 492. Gaposhkin [G1] chứng minh rằng nếu T là đơn nhất trên L2 (p) và f có điện tỷ lệ ergodic một, sau đó là một mặt ergodic Hilbert biến hội tụ ae; trong [G2] ông đã chứng minh rằng 52r = 1 TNF tụ ae cho 7> max {1, 1 - a}. loại điện độc lập của [DL], chỉ AS sani [AS1], [AS2], [AS3] được xác định và loại logarit chức năng Wiener-Wintner cho T gây ra bởi biến đổi khả năng bảo quản (xem [ASN] cho thêm các ví dụ), để trở lại nghiên cứu các hiện tượng thời với một break của nhị nguyên và hội tụ và liên tục thuộc tính của ergodic Hilbert xoay chuyển. Trong [DL] nó cũng chỉ ra rằng nếu T là một contrac¬tion dương ergodic bình trên L1 (p) và f có tỷ lệ ergodic điện, sau đó là một mặt ergodic Hilbert biến hội tụ ae, nhưng tất cả các biến đổi phân đoạn có thể không hội tụ ae đối với 1 <p <TO, và T điện-giáp (không nghịch) trên Lp (p), hội tụ của ergodic Hilbert phân đoạn biến đổi cho e với lãi suất ergodic đã được chứng minh trong [CL1], [CL2], [W] ; để có thông tin chính xác hơn khi T là Dunford-Schwartz (và p là hữu hạn) xem [DL]. Trọng một chiều biến đổi Hilbert ergodic được xem xét trong [AS4].