In hexagonal close packing, layers

In hexagonal close packing, layers of spheres are packed so that spheres in alternating layers overlie one another. As in cubic close packing, each sphere is surrounded by 12 other spheres. Taking a collection of 13 such spheres gives the cluster illustrated above. Connecting the centers of the external 12 spheres gives Johnson solid J_(27) known as the triangular orthobicupola (Steinhaus 1999, pp. 203-205; Wells 1991, p. 237).

Hexagonal close packing must give the same packing density as cubic close packing, since sliding one sheet of spheres cannot affect the volume they occupy. To verify this, construct a three-dimensional diagram containing a hexagonal unit cell with three layers (Steinhaus 1999, pp. 203-204). Both the top and the bottom contain six 1/6-spheres and one hemisphere. The total number of spheres in these two rows is therefore

2(6·1/6+1·1/2)=3.
(1)
The volume of spheres in the middle row cannot be simply computed using geometry. However, symmetry requires that the piece of the sphere which is cut off is exactly balanced by an extra piece on the other side. There are therefore three spheres in the middle layer, for a total of six, and a total volume

V_(spheres in unit cell)=·(4pi)/3r^3(3+3)=8pir^3.
(2)
The base of the unit cell is a regular hexagon made up of six equilateral triangles with side lengths 2r. The unit cell base area is therefore

A_(unit cell)=6[1/2(2r)(sqrt(3)r)]=6sqrt(3)r^2.
(3)
The height is the same as that of two tetrahedra length 2r on a side, so

h_(unit cell)=2(2rsqrt(2/3)),
(4)
giving

eta_(HCP)=(8pir^3)/((6sqrt(3)r^2)(4rsqrt(2/3)))=pi/(3sqrt(2))
(b) body-centered cubic
(c) face- centered cubic
(d) hexagonal closed packed
(e) Bonus: Determine the packing fraction for a diamond structure.
2. Copper Oxide Layers:
The common building blocks for most high temperature (high Tc) superconductors are copper oxide layers, as depicted in Figure I.1.6. Assume the distance between copper atoms (filled circles) is a. For simplicity let us also assume that in the third dimension these СuО2 layers are simply stacked with spacing c, and there are no other atoms in the crystal. In first approximation
the layers have a four-fold symmetry; the crystal is tetragonal.

Kết quả (Việt) 1:

Lục giác đóng gói chặt chẽ, lớp của lĩnh vực được đóng gói để cho các lĩnh vực trong xen kẽ các lớp che nhau. Như trong khối đóng gói chặt chẽ, mỗi lĩnh vực được bao quanh bởi 12 các lĩnh vực khác. Tham gia một bộ sưu tập của 13 các lĩnh vực như vậy cho cụm minh họa ở trên. Kết nối các trung tâm của các lĩnh vực 12 bên ngoài cho Johnson rắn J_(27) được gọi là tam giác orthobicupola (Steinhaus 1999, trang 203-205; Wells năm 1991, p. 237).Lục giác đóng gói chặt chẽ phải cung cấp cho mật độ đóng gói tương tự như khối chặt chẽ đóng gói, kể từ khi trượt một tờ lĩnh vực không thể ảnh hưởng đến phần họ chiếm. Để xác minh điều này, xây dựng một biểu đồ ba chiều có một tế bào đơn vị hình lục giác với ba lớp (Steinhaus 1999, trang 203-204). Cả hai phía trên và dưới cùng chứa sáu 1/6-lĩnh vực và một bán cầu. Tổng số lĩnh vực trong những hai hàng là do đó 2 (6·1/6 + 1·1/2) = 3. (1)Khối lượng các lĩnh vực trong dòng giữa không thể được tính toán chỉ đơn giản bằng cách sử dụng hình học. Tuy nhiên, đối xứng đòi hỏi rằng các mảnh của hình cầu đó cắt chính xác được cân bằng bởi một phần phụ bên kia. Do đó là ba lĩnh vực trong lớp giữa, cho một tổng số là sáu, và thể tích V_ (lĩnh vực trong tế bào đơn vị) = · (4pi) / 3r ^ 3 (3 + 3) = 8pir ^ 3. (2)Các cơ sở của các tế bào đơn vị là một hình lục giác thường xuyên tạo thành hình tam giác cạnh đều nhau sáu với bên dài 2r. Đơn vị di động cơ sở diện tích là do đó A_ (đơn vị cell)=6[1/2(2r)(sqrt(3)r)] = 6sqrt (3) r ^ 2. (3)Chiều cao là giống như tứ diện hai chiều dài 2r trên một mặt, vì vậy h_ (đơn vị cell)=2(2rsqrt(2/3)), (4)cho eta_(HCP)=(8pir^3)/((6sqrt(3)r^2)(4rsqrt(2/3)))=pi/(3sqrt(2)) (b) cơ thể Trung tâm khối(c) mặt - trung tâm khối(d) lục giác đóng cửa đóng gói(e) tiền thưởng: xác định phần đóng gói cho một cấu trúc kim cương.2. đồng ôxít lớp: Các khối xây dựng phổ biến nhất cao nhất nhiệt độ (cao Tc) chất siêu dẫn là ôxít đồng lớp, như mô tả trong hình I.1.6. Giả sử khoảng cách giữa các nguyên tử đồng (vòng tròn đầy) là một. Để đơn giản cho chúng tôi cũng giả định rằng trong kích thước thứ ba các lớp СuО2 được chỉ đơn giản là xếp chồng lên nhau với khoảng cách c, và không có không có các nguyên tử trong tinh thể. Ở xấp xỉ bậc nhất Các lớp có một đối xứng four-fold; tinh thể là bốn phương.

Kết quả (Việt) 2:

Trong bao bì đóng lục giác, các lớp của mặt cầu được đóng gói để khối cầu ở lớp xen kẽ che nhau. Như trong bao bì đóng khối, mỗi khối cầu được bao quanh bởi 12 quả cầu khác. Tham gia một bộ sưu tập của 13 lĩnh vực như cung cấp cho các cụm minh họa ở trên. Kết nối các trung tâm bên ngoài 12 lĩnh vực cho Johnson J_ rắn (27) được gọi là tam giác orthobicupola (Steinhaus 1999, pp 203-205;.. Wells 1991, p 237). Sáu phương đóng gói chặt chẽ phải cung cấp mật độ đóng gói giống như gần khối đóng gói, kể từ trượt một tấm của mặt cầu, không thể ảnh hưởng đến khối lượng mà họ chiếm đóng. Để xác minh điều này, xây dựng một sơ đồ ba chiều có chứa một đơn vị tế bào lục giác với ba lớp (Steinhaus 1999, pp. 203-204). Cả mặt trên và phía dưới chứa sáu 1/6-hình cầu và một bán cầu. Do đó tổng số lượng của quả cầu trong hai hàng này là 2 (6 · 1/6 + 1 · 1/2) = 3. (1) Khối lượng của quả cầu trong dòng giữa không thể chỉ đơn giản là tính toán sử dụng hình học. Tuy nhiên, đối xứng đòi hỏi rằng các mảnh của hình cầu đó được cắt ra được chính xác sự cân bằng một mảnh thêm ở phía bên kia. Do đó có ba khối cầu ở lớp trung lưu, cho tổng cộng sáu, và một khối lượng tổng V_ (khối cầu ở đơn vị tế bào) = · (4pi) / 3r ^ 3 (3 + 3) = 8pir ^ 3. (2) Các cơ sở của các đơn vị tế bào là một hình lục giác thường xuyên tạo thành sáu tam giác đều có độ dài phía 2r. Do đó, diện tích cơ sở tế bào đơn vị là A_ (tế bào đơn vị) = 6 [1/2 (2r) (sqrt (3) r)] = 6sqrt (3) r ^ 2. (3) Chiều cao là giống như của hai tứ diện dài 2r trên một mặt, vì vậy h_ (đơn vị tế bào) = 2 (2rsqrt (2/3)), (4) cho eta_ (HCP) = (8pir ^ 3) / ((6sqrt (3) r ^ 2) ( 4rsqrt (2/3))) = pi / (3sqrt (2)) (b) cơ thể làm trung tâm khối (c) face- lập phương tâm (d) lục giác đóng đóng gói (e) Tiền thưởng: Xác định phần đóng gói cho một cấu trúc kim cương . 2. Layers Oxide đồng: Các khối xây dựng thông thường đối với hầu hết các chất siêu dẫn nhiệt độ cao (Tc cao) là lớp oxit đồng, như mô tả trong hình I.1.6. Giả sử khoảng cách giữa các nguyên tử đồng (tròn đầy) là một. Để đơn giản chúng ta hãy cũng giả định rằng trong chiều thứ ba các СuО2 lớp được chỉ đơn giản là xếp chồng lên nhau với khoảng cách c, và không có các nguyên tử khác trong tinh thể. Trong xấp xỉ đầu tiên các lớp có một đối xứng gấp bốn lần; tinh thể là có bốn gốc.