To maximize f(x, y) subject to g(x,

To maximize f(x, y) subject to g(x, y) = c is the same as finding the largest c value such that the level curve f(x, y) = k intersects g(x, y) = c. In the above figure, this happens at the point (x0, y0). Notice that at this point, the curves just touch each other. That is, they have a common tangent line. (Otherwise, the value of k could be increased further.)
But if the two curves have a common tangent line, this means that their gradient vectors must be parallel. (See the colored arrows above.) This gives us the relationship “f(x, y) = l“g(x, y), for some scalar l.
1
Using this relationship, we can describe the method of Lagrange multipliers.
Method of Lagrange Multipliers
To find the maximum and minimum values of f(x, y) subject to the constraint g(x, y) = c (assuming these extreme values exist)
1. Find all values of x, y and l such that “f(x, y) = l“g(x, y) and g(x, y) = c 2. Evaluate f(x, y) at all of the points found in (1). The largest of these values is the maximum value of f(x, y) and the smallest value is the minimum value of f(x, y).
Let us return to Example 3 from the last section, this time solving the problem using Lagrange multipliers.
Example 1:
A cardboard box without a lid is to have a surface area of 12 m2. Find the dimensions that maximize the volume of the cardboard box.
Solution:
As in Example 3 of the previous section, we let l, w, h be the length, width, and height of the box, respectively. We wish to maximize V(l, w, h) = lwh subject to the constraint A(l, w, h) = 2lh + 2wh + lw = 12.
Using Lagrange multipliers, we want to find l, w, h, and l such that “V(l, w, h) = l“A(l, w, h) and A(l, w, h) = 12. This gives us the equations:
Vl = lAl, Vw = lAw, Vh = lAh, 2lh + 2wh + lw = 12
which become
(i) wh = l(2h + w) (ii) lh = l(2h + l) (iii) lw = l(2l + 2w) (iv) 2lh + 2wh + lw = 12
2
There is no general rule for solving these systems of equations. Sometimes some ingenuity is required. Here, notice that if we multiply (i) by l, (ii) by w, and (iii) by h, then the left sides of these equations will be the same. That is, we have:
(v) lwh = l(2lh + lw) (vi) lwh = l(2wh + lw) (vii) lwh = l(2lh + 2wh)
Notice that l ∫ 0, since if it did, then wh = 0, lh = 0, and lw = 0 from (i), (ii), and (iii) which would contradict (iv). Thus, we can set (v) and (vi) equal and divide through by l to get 2lh + lw = 2wh + lw.
Subtracting lw from both sides and then dividing by 2, we see that lh = wh. But because h ∫ 0 (since this would imply that V = 0), we have that l = w.
Setting (vi) and (vii) equal and dividing through by l we get 2wh + lw = 2lh + 2wh. Subtracting 2wh from both sides, we have lw = 2lh. Since l ∫ 0 (since this would imply that V = 0), we have that w = 2h.
Thus, we have that l = w = 2h. Substituting those values into the constraint equation, 2lh + 2wh + lw = 12, we have 2(2h)h + 2(2h)h + (2h)(2h) = 12h2 = 12.
Since h must be positive, we see that h = 1. This implies that l = 2 and w = 2, which are the same values we found previously.
Example 2:
Find the smallest value of x2 + y2 subject to the constraint y + 3x = 3.
Solution:
Notice that “f = 2xi + 2yj and “g = 3i + j.
Using Lagrange multipliers, we have “f = l“g, where l is a scalar. This gives us the three equations (i) 2x = 3l, (ii) 2y = l, and (iii) y + 3x = 3.
Solve for x and y in (i) and (ii), respectively, we have x = (3/2)l and y = l/2. Plugging
these into (iii), we have
3 3 3 5 22                  3  . So l = 3/5. Plugging in l = 3/5 into our equations above, we see that x = 9/10 and y = 3/10.
Let us examine a contour diagram (Figure 2) to see why this point (0.9, 0.3) is a global minimum and why the function does not have a global maximum.
3
0.3
0.6
0.9
0.2 0.4 0.6 0.8 1
x
0.2
0.4
0.6
0.8
1 y
0.9,0.3
Figure 2: Level curves of x2 + y2 and the constraint y + 3x = 3
Notice that as the line y + 3x = 3 moves away from the point (0.9, 0.3), the contour lines it will encounter have larger and larger z-values. Hence, the point (0.9, 0.3) is a global minimum and the function does not have any global maximum value.
Examples 1 and 2 could have also been solved using the techniques from the last section. That is, we could have solved for one of the variables and substituted it into the function we wished to maximize (minimize).
But there are some instances where we cannot solve for one of the variables in the constraint. Our previous methods would fail but the method of Lagrange multipliers will work just fine. Consider the following example.
Example 3:
Find the maximum and minimum values of the function f(x, y) = x2 + 2y2 that lie on the circle x2 + y2 = 1.
Solution:
Figure 3: Sketch of x2 + 2y2 and the constraint x2 + y2 = 1
4
Figure 3 above shows a sketch of the surface of f(x, y) = x2 + 2y2 as well as the constraint x2 + y2 = 1 in red. (The circle is in the xy-plane and the saddle-like curve is the set of points on the surface that satisfy the constraint equation.)
Using Lagrange multipliers, we have “f = l“g, where l is a scalar. This gives us the three equations (i) 2x = 2xl, (ii) 4y = 2yl, and (iii) x2 + y2 = 1.
From (i), we have that either x = 0 or l = 1. If x = 0, then (iii) tells us that y = ≤1. So, we have the points (0, ≤1). If l = 1, then (ii) gives us 4y = 2y, so y = 0. But if y = 0, (iii) tells us that x = ≤1. This gives us the points (≤1, 0). Evaluating f(x, y) at these four points, we have f(0, 1) = 2, f(0, –1) = 2, f(1, 0) = 1, and f(–1, 0) = 1.
Thus, the maximum value of f(x, y) on the circle x2 + y2 = 1 is f(0, ≤1) = 2 and the minimum value is f(≤1, 0) = 1.
Figure 4 below shows the geometry behind the use of Lagrange multipliers. The maximum and minimum values of f(x, y) = x2 + 2y2 occur where the level curves touch the circle x2 + y2 = 1.
x
y
x 2+2
y 2=2
x 2+2
y 2=1 Figure 4: Level curves of x2 + 2y2 and the constraint x2 + y2 = 1
Notice that the figure supports our conclusions that we found algebraically. That is, the largest value occur at (0, ≤1) with a z-value of 2 while the smallest value occurs at (≤1, 0) with a z-value of 1.
What if we are interested in finding the largest and smallest values of a function that are within 1 unit of the origin? That is, points that are on the boundary of x2 + y2 = 1 or inside of the circle.
Intuitively, in a similar manner to how we solved problems in the last section, a natural guess would be to find any critical points inside of the circle, find critical points on the boundary, and then determine the largest and smallest values.
5
6

Kết quả (Việt) 1:

Để tối đa hóa f (x, y) tùy thuộc vào g (x, y) = c là giống như việc tìm kiếm giá trị c lớn như vậy mà mức đường cong f (x, y) = k cắt g (x, y) = c. Trong hình ở trên, điều này xảy ra tại điểm (x 0, y0). Thông báo rằng tại thời điểm này, các đường cong chỉ cần chạm vào nhau. Có nghĩa là, họ có một dòng tangent phổ biến. (Nếu không, giá trị k có thể được tăng lên hơn nữa.) Nhưng nếu các đường cong hai có một dòng tangent phổ biến, điều này có nghĩa rằng của vector gradient phải được song song. (Xem các mũi tên màu trên.) Điều này sẽ cho chúng tôi mối quan hệ "f (x, y) = l" g (x, y), cho một số vô hướng l. 1 Sử dụng mối quan hệ này, chúng tôi có thể mô tả các phương pháp của nhân đấu Lagrange. Các phương pháp của nhân đấu Lagrange Để tìm các giá trị tối đa và tối thiểu của f (x, y) tuân theo hạn chế g (x, y) = c (giả định các giá trị cực tồn tại) 1. Tìm tất cả các giá trị của x, y và l như vậy mà "f (x, y) = l" g (x, y) và g (x, y) = c 2. Đánh giá f (x, y) tại tất cả các điểm được tìm thấy ở (1). Lớn nhất của các giá trị này là giá trị tối đa của f (x, y) và giá trị nhỏ nhất là giá trị tối thiểu của f (x, y). Hãy cho chúng tôi quay trở lại ví dụ 3 từ phần cuối, thời gian này giải quyết vấn đề bằng cách sử dụng hệ số Lagrange. Ví dụ 1: Một hộp các tông mà không có một nắp là phải có một diện tích bề mặt của 12 m2. Tìm kích thước tối đa hóa khối lượng hộp các tông. Giải pháp: Như trong ví dụ 3 của phần trước, chúng tôi cho l, w, h là chiều dài, chiều rộng và chiều cao của hộp, tương ứng. Chúng tôi muốn tối đa hóa V (l, w, h) = lwh tuân theo các hạn chế A (l, w, h) = 2lh + 2wh + lw = 12. Sử dụng nhân đấu Lagrange, chúng tôi muốn tìm l, w, h, và l như vậy mà "V (l, w, h) = l" một (l, w, h) và một (l, w, h) = 12. Điều này sẽ cho chúng tôi các phương trình: VL = lAl, Vw = luật, Vh = lAh, 2lh + 2wh + lw = 12 mà trở thành (i) wh = l (2h + w) (ii) lh = l (2h + l) (iii) lw = l (2 l + 2w) (iv) 2lh + 2wh + lw = 12 2 Có là không có quy tắc chung để giải quyết các hệ thống này của phương trình. Đôi khi một số ngây thơ là cần thiết. Ở đây, nhận thấy rằng nếu chúng tôi nhân (i) của l, (ii) bởi w, và (iii) bởi h, sau đó các bên trái của các phương trình sẽ là như vậy. Có nghĩa là, chúng tôi có: (v) lwh = l (2lh + lw) (vi) lwh = l (2wh + lw) (vii) lwh = l (2lh + 2wh) Nhận thấy rằng ∫ l 0, vì nếu nó đã làm, sau đó wh = 0, lh = 0, và lw = 0 (i), (ii), và (iii) mà sẽ mâu thuẫn với (iv). Vì vậy, chúng tôi có thể thiết lập (v) và (vi) bằng và phân chia thông qua bởi l để có được 2lh + lw = 2wh + lw. Trừ lw từ cả hai bên và sau đó chia 2, chúng ta thấy rằng lh = wh. Nhưng vì h ∫ 0 (vì điều này sẽ ngụ ý rằng V = 0), chúng tôi có mà l = w. Cài đặt (vi) và bình đẳng (vii) và phân chia thông qua bởi l chúng tôi nhận được 2wh + lw = 2lh + 2wh. trừ 2wh từ cả hai bên, chúng tôi có lw = 2lh. Kể từ l ∫ 0 (vì điều này sẽ ngụ ý rằng V = 0), chúng tôi đã có w = 2h. Vì vậy, chúng tôi có mà l = w = 2h. Thay thế các giá trị vào phương trình giới hạn, 2lh + 2wh + lw = 12, chúng tôi có 2(2h) h + 2(2h) h + (2h)(2h) = 12 h 2 = 12. Kể từ khi h phải được tích cực, chúng tôi thấy rằng h = 1. Điều này ngụ ý rằng l = 2 và w = 2, có cùng một giá trị chúng tôi tìm thấy trước đó. Example 2: Find the smallest value of x2 + y2 subject to the constraint y + 3x = 3. Solution: Notice that “f = 2xi + 2yj and “g = 3i + j. Using Lagrange multipliers, we have “f = l“g, where l is a scalar. This gives us the three equations (i) 2x = 3l, (ii) 2y = l, and (iii) y + 3x = 3. Solve for x and y in (i) and (ii), respectively, we have x = (3/2)l and y = l/2. Plugging these into (iii), we have 3 3 3 5 22                  3  . So l = 3/5. Plugging in l = 3/5 into our equations above, we see that x = 9/10 and y = 3/10. Let us examine a contour diagram (Figure 2) to see why this point (0.9, 0.3) is a global minimum and why the function does not have a global maximum. 3 0.30.60.90.2 0.4 0.6 0.8 1x0.20.40.60.81 y0.9,0.3 Figure 2: Level curves of x2 + y2 and the constraint y + 3x = 3 Notice that as the line y + 3x = 3 moves away from the point (0.9, 0.3), the contour lines it will encounter have larger and larger z-values. Hence, the point (0.9, 0.3) is a global minimum and the function does not have any global maximum value. Examples 1 and 2 could have also been solved using the techniques from the last section. That is, we could have solved for one of the variables and substituted it into the function we wished to maximize (minimize). But there are some instances where we cannot solve for one of the variables in the constraint. Our previous methods would fail but the method of Lagrange multipliers will work just fine. Consider the following example. Example 3: Find the maximum and minimum values of the function f(x, y) = x2 + 2y2 that lie on the circle x2 + y2 = 1. Solution: Figure 3: Sketch of x2 + 2y2 and the constraint x2 + y2 = 1 4 Figure 3 above shows a sketch of the surface of f(x, y) = x2 + 2y2 as well as the constraint x2 + y2 = 1 in red. (The circle is in the xy-plane and the saddle-like curve is the set of points on the surface that satisfy the constraint equation.) Using Lagrange multipliers, we have “f = l“g, where l is a scalar. This gives us the three equations (i) 2x = 2xl, (ii) 4y = 2yl, and (iii) x2 + y2 = 1. From (i), we have that either x = 0 or l = 1. If x = 0, then (iii) tells us that y = ≤1. So, we have the points (0, ≤1). If l = 1, then (ii) gives us 4y = 2y, so y = 0. But if y = 0, (iii) tells us that x = ≤1. This gives us the points (≤1, 0). Evaluating f(x, y) at these four points, we have f(0, 1) = 2, f(0, –1) = 2, f(1, 0) = 1, and f(–1, 0) = 1. Thus, the maximum value of f(x, y) on the circle x2 + y2 = 1 is f(0, ≤1) = 2 and the minimum value is f(≤1, 0) = 1. Figure 4 below shows the geometry behind the use of Lagrange multipliers. The maximum and minimum values of f(x, y) = x2 + 2y2 occur where the level curves touch the circle x2 + y2 = 1. xyx 2+2y 2=2x 2+2y 2=1 Figure 4: Level curves of x2 + 2y2 and the constraint x2 + y2 = 1 Notice that the figure supports our conclusions that we found algebraically. That is, the largest value occur at (0, ≤1) with a z-value of 2 while the smallest value occurs at (≤1, 0) with a z-value of 1. What if we are interested in finding the largest and smallest values of a function that are within 1 unit of the origin? That is, points that are on the boundary of x2 + y2 = 1 or inside of the circle. Intuitively, in a similar manner to how we solved problems in the last section, a natural guess would be to find any critical points inside of the circle, find critical points on the boundary, and then determine the largest and smallest values. 5 6

Kết quả (Việt) 2:

Để tối đa hóa f (x, y) thuộc vào g (x, y) = c cũng giống như việc tìm kiếm các giá trị c lớn nhất sao cho các đường cong độ f (x, y) = k cắt g (x, y) = c. Trong hình trên, điều này xảy ra tại điểm (x0, y0). Chú ý rằng tại thời điểm này, các đường cong chỉ cần chạm vào nhau. Đó là, họ có một đường tiếp tuyến chung. (Nếu không, giá trị của k có thể được tăng thêm.)
Nhưng nếu hai đường cong có một đường tiếp tuyến chung, điều này có nghĩa là vectơ độ dốc của họ phải được song song. (Xem các mũi tên màu ở trên). Điều này mang lại cho chúng ta những mối quan hệ "f (x, y) = l" g (x, y), đối với một số vô hướng l.
1
Sử dụng mối quan hệ này, chúng ta có thể mô tả các phương pháp nhân tử Lagrange.
Phương pháp của Lagrange Multipliers
Để tìm tối đa và tối thiểu giá trị của f (x, y) chịu sự ràng buộc g (x, y) = c (giả định các giá trị cực đoan tồn tại)
1. Tìm tất cả các giá trị của x, y và l như vậy mà "f (x, y) = l" g (x, y) và g (x, y) = c 2. Đánh giá f (x, y) tại tất cả các điểm tìm thấy trong (1). Lớn nhất trong số các giá trị này là giá trị lớn nhất của f (x, y) và giá trị nhỏ nhất là giá trị tối thiểu của f (x, y).
Chúng ta hãy trở lại với ví dụ 3 từ phần trước, lần này giải quyết vấn đề bằng cách sử dụng Lagrange . nhân
Ví dụ 1:
Một hộp các tông mà không có một nắp là phải có một diện tích bề mặt của 12 m2. Tìm các kích thước và tăng thể tích của hộp các tông.
Giải pháp:
Như trong Ví dụ 3 của phần trước, chúng ta để cho l, w, h là chiều dài, chiều rộng và chiều cao của hộp, tương ứng. Chúng tôi muốn tối đa hóa V (l, w, h) = chịu lwh với ràng buộc A (l, w, h) = 2LH + 2wh + lw = 12.
Sử dụng Lagrange, chúng tôi muốn tìm l, w, h, và l như vậy mà "V (l, w, h) = l" A (l, w, h) và A (l, w, h) = 12. Điều này cho chúng ta các phương trình:
Vl = Lal, Vw = Luật, Vh = Lah, 2LH + 2wh + lw = 12
mà trở thành
(i) wh = l (2h + w) (ii) lh = l (2h + l) (iii) lw = l (2l + 2W) (iv) 2LH + 2wh + lw = 12
2
Không có quy tắc chung cho việc giải quyết những hệ phương trình. Đôi khi một số sự khéo léo là bắt buộc. Ở đây, nhận thấy rằng nếu chúng ta nhân (i) bằng l, (ii) bằng w, và (iii) bằng h, sau đó mặt trái của những phương trình này sẽ giống nhau. Đó là, chúng ta có:
(v) lwh = l (2LH + lw) (vi) lwh = l (2wh + lw) (vii) lwh = l (2LH + 2wh)
Chú ý rằng l ∫ 0, vì nếu nó đã làm, sau đó wh = 0, lh = 0, và lw = 0 từ (i), (ii) và (iii) mà sẽ mâu thuẫn (iv). Như vậy, chúng ta có thể thiết lập (v) và (vi) bằng nhau và chia thông qua bởi l để có được 2LH + lw = 2wh + lw.
Trừ lw từ cả hai bên và sau đó chia cho 2, chúng ta thấy rằng lh = wh. Nhưng vì h ∫ 0 (vì điều này sẽ có nghĩa là V = 0), ta có l = w.
Setting (vi) và (vii) bằng nhau và chia thông qua bởi l chúng tôi nhận 2wh + lw = 2LH + 2wh. Trừ 2wh từ cả hai bên, chúng tôi có lw = 2LH. Kể từ l ∫ 0 (vì điều này sẽ hàm ý rằng V = 0), ta có w = 2h.
Như vậy, ta có l = w = 2h. Thay thế các giá trị đó vào phương trình ràng buộc, 2LH + 2wh + lw = 12, chúng tôi đã 2 (2h) h + 2 (2h) + h (2h) (2h) = 12h2 = 12.
Từ h phải được tích cực, chúng ta thấy rằng h = 1. Điều này ngụ ý rằng l = 2 và w = 2, đó là những giá trị cùng chúng tôi tìm thấy trước đó.
Ví dụ 2:
Tìm giá trị nhỏ nhất của x2 + y2 tượng với ràng buộc y + 3x = 3.
Giải pháp:
Chú ý rằng " f = 2xi + 2yj và "g = 3i + j.
Sử dụng Lagrange, chúng tôi có" f = l "g, nơi l là một vô hướng. Điều này cho chúng ta ba phương trình (i) 2x = 3l, (ii) 2y = l, và (iii) y + 3x = 3.
Giải quyết cho x và y trong (i) và (ii), tương ứng, chúng ta có x = (3/2) l và y = l / 2. Cắm
những thành (iii), chúng tôi có
3 3 3 5 22                  3 . Vì vậy, l = 3/5. Cắm vào l = 3/5 vào phương trình của chúng tôi ở trên, chúng ta thấy rằng x = 9/10 và y = 3/10.
Chúng ta hãy xét một sơ đồ đường viền (hình 2) để xem lý do tại sao thời điểm này (0.9, 0.3) là một toàn cầu . tối thiểu và lý do tại sao các chức năng không có một tối đa toàn cầu
3
0,3
0,6
0,9
0,2 0,4 0,6 0,8 1
x
0,2
0,4
0,6
0,8
1 y
0.9,0.3
Hình 2: Các đường Mức độ x2 + y2 và các ràng buộc y + 3x = 3
Chú ý rằng các dòng y + 3x = 3 di chuyển từ các điểm (0.9, 0.3), các đường đồng mức nó sẽ gặp phải có lớn hơn và lớn hơn z-giá trị. Do đó, điểm (0.9, 0.3) là một tiểu toàn cục và các chức năng không có bất kỳ giá trị tối đa toàn cầu.
Ví dụ 1 và 2 có thể cũng đã được giải quyết bằng cách sử dụng các kỹ thuật từ phần cuối. Đó là, chúng ta có thể đã giải quyết cho một trong các biến và thay thế nó vào chức năng, chúng tôi mong muốn tối đa hóa (giảm thiểu).
Nhưng có một số trường hợp mà chúng tôi không thể giải quyết với một trong các biến trong ràng buộc. Phương pháp trước đây của chúng tôi sẽ thất bại nhưng các phương pháp nhân tử Lagrange sẽ chỉ làm việc tốt. Hãy xem xét ví dụ sau.
Ví dụ 3:
Tìm các giá trị tối đa và tối thiểu của hàm f (x, y) = x2 + 2y2 nằm trên đường tròn x2 + y2 = 1.
Giải pháp:
Hình 3: Sơ đồ x2 + 2y2 và constraint x2 + y2 = 1
4
Hình 3 ở trên cho thấy một bức phác họa bề mặt của f (x, y) = x2 + 2y2 cũng như các ràng buộc x2 + y2 = 1 màu đỏ. (Vòng tròn là trong xy-máy bay và các đường cong yên ngựa như là tập hợp các điểm trên bề mặt có thỏa mãn phương trình ràng buộc.)
Sử dụng Lagrange, chúng tôi có "f = l" g, nơi l là một vô hướng. Điều này cho chúng ta ba phương trình (i) = 2x 2XL, (ii) 4Y = 2yl, và (iii) x2 + y2 = 1.
Từ (i), ta có thể x = 0 hoặc l = 1. Nếu x = 0, sau đó (iii) cho chúng ta biết rằng y = ≤1. Vì vậy, chúng tôi có các điểm (0, ≤1). Nếu l = 1, sau đó (ii) cung cấp cho chúng tôi 4Y = 2y, do đó y = 0. Nhưng nếu y = 0, (iii), ta thấy x = ≤1. Điều này mang lại cho chúng ta những điểm (≤1, 0). Đánh giá f (x, y) tại bốn điểm, chúng tôi có f (0, 1) = 2, f (0, -1) = 2, f (1, 0) = 1, và f (-1, 0) = 1.
Như vậy, giá trị lớn nhất của f (x, y) trên đường tròn x2 + y2 = 1 là f (0, ≤1) = 2 và các giá trị tối thiểu là f (≤1, 0) = 1.
Hình 4 dưới đây cho thấy các hình học đằng sau việc sử dụng các nhân tử Lagrange. Các giá trị tối đa và tối thiểu của f (x, y) = x2 + 2y2 xảy ra nơi các đường cong mức chạm vào vòng tròn x2 + y2 = 1.
x
y
x 2 + 2
y 2 = 2
x 2 + 2
y 2 = 1 Hình 4 : đường cong Mức độ x2 + 2y2 và các ràng buộc x2 + y2 = 1
Chú ý rằng con số này hỗ trợ kết luận của chúng tôi mà chúng tôi tìm thấy đại số. Đó là, giá trị lớn nhất xảy ra ở (0, ≤1) với một giá trị z của 2 trong khi giá trị nhỏ nhất xảy ra tại (≤1, 0) với một giá trị z của 1.
Nếu chúng ta quan tâm trong việc tìm kiếm lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đó là trong vòng 1 đơn vị về nguồn gốc? Đó là, điểm này nằm trên ranh giới x2 + y2 = 1 hay bên trong vòng tròn.
Bằng trực giác, một cách tương tự như cách chúng tôi giải quyết vấn đề trong phần cuối cùng, một đoán tự nhiên sẽ tìm thấy bất kỳ điểm quan trọng bên trong vòng tròn, tìm ra những điểm quan trọng về ranh giới, và sau đó xác định giá trị nhỏ nhất và lớn nhất.
5
6