This month's puzzle concerns a frog

This month's puzzle concerns a frog who is hopping on the integers from minus infinity to plus infinity. Each hop is chosen at random (with equal probability) to be either +2 or -1. So the frog will make steady but irregular progress in the positive direction. The frog will hit some integers more than once and miss others entirely. What fraction of the integers will the frog miss entirely? Please find an exact answer.
Update, 4/20/07: You may consider the answer to be the limit as N goes to infinity of the fraction of integers between -N and N a frog starting at -N and randomly hopping as described misses on average. Also an answer correct to six decimal places is good enough.
Answer:
The answer is ((3-sqrt(5))/2)**2 = (7-3*sqrt(5))/2 = .145898+
This can be derived as follows.
First we consider the frog at the origin and ask what is the probability, p, that the frog will ever occupy -1 in the future. It is easy to see that p satisfies the equation p=.5+.5*p**3 since with the next hop the frog will either be at -1 immediately or at 2 and if it is at 2 then in order to return to -1 it will have to go back to 1, then 0, then -1 each part of which will occur independently with probability p. Selecting the appropriate root gives p=(-1+sqrt(5))/2.
Next we select a hop of +2 from the frog's path and ask what is the probability that the middle point was never hit. Clearly going forward in time, from the above, the middle point will be hit with probability p. A little thought shows that going backward in time the middle point had been hit with probability p also. These probabilities are independent so the probability that the middle point from a hop of +2 in the frog's path was never hit is (1-p)**2.
Now if the frog takes 2*n hops (when n is large) about n of the hops will be +2 and about n will be -1. So the frog will move about n units in the positive direction. So to get past a section of integers n long will require about n hops of +2 for each of which the middle point has probability (1-p)**2 of never being hit. So the expected number of points which are never hit is n*(1-p)**2 which means the fraction of points which are never hit is (1-p)**2. Now 1-p = (3-sqrt(5))/2 so the result follows.

Kết quả (Việt) 1:

câu đố của tháng này liên quan đến một con ếch đang nhảy trên các số nguyên từ vô cực trừ để cộng vô cùng. mỗi hop được chọn ngẫu nhiên (với xác suất bằng nhau) là 2 hoặc -1. để con ếch sẽ làm cho tiến độ ổn định nhưng không thường xuyên theo hướng tích cực. con ếch sẽ đạt một số nguyên nhiều hơn một lần và bỏ lỡ những người khác hoàn toàn. những phần nhỏ của số nguyên sẽ ếch bỏ lỡ hoàn toàn?hãy tìm một câu trả lời chính xác
cập nhật, 4/20/07:. bạn có thể xem xét các câu trả lời là giới hạn như n đi đến vô cùng của các phần nhỏ của các số nguyên giữa-n và na ếch bắt đầu từ-n và nhảy ngẫu nhiên như bỏ lỡ mô tả trên trung bình. cũng là một câu trả lời đúng đến sáu chữ số thập phân là đủ tốt
câu trả lời:.
câu trả lời là ((3-sqrt (5)) / 2) ** 2 = (7-3 * sqrt (5)) / 2 = 0,145898
này có thể được bắt nguồn như sau.
đầu tiên chúng ta xem xét ếch ở nguồn gốc và yêu cầu xác suất, p là gì, mà con ếch bao giờ sẽ chiếm -1 trong tương lai. nó rất dễ dàng để thấy rằng p thỏa mãn phương trình p = 0,5 0,5 * p ** 3 từ với bước kế tiếp con ếch hoặc sẽ được ở -1 ngay lập tức hoặc 2 và nếu nó là 2 sau đó để quay trở lại -1 nó sẽ phải quay trở lại để 1, sau đó 0,sau đó -1 mỗi phần trong số đó sẽ xảy ra độc lập với xác suất p. chọn gốc thích hợp cho p = (-1 sqrt (5)) / 2.
tiếp theo chúng tôi chọn một hop của 2 từ con đường của ếch và yêu cầu xác suất mà điểm giữa được không bao giờ đánh là những gì. sẽ rõ ràng về phía trước trong thời gian, từ trên, điểm trung bình sẽ được nhấn với xác suất p.một chút suy nghĩ cho thấy tụt lùi trong thời gian điểm trung lưu đã được nhấn với xác suất p cũng có. các xác suất độc lập để xác suất mà điểm giữa từ một hop của 2 trong con đường của ếch không bao giờ đánh là (1-p) ** 2.
bây giờ nếu con ếch mất 2 * n hoa bia (khi n lớn) về n của các bước nhảy sẽ là 2 và khoảng n sẽ là -1.để con ếch sẽ di chuyển về các đơn vị n theo hướng tích cực. do đó, để vượt qua một phần của số nguyên n dài sẽ cần khoảng n bước nhảy của 2 cho mỗi trong số đó điểm giữa có xác suất (1-p) ** 2 không bao giờ bị đánh. nên số lượng dự kiến ​​của các điểm được không bao giờ đánh là n * (1-p) ** 2 có nghĩa là các phần của điểm được không bao giờ đánh là (1-p) ** 2.tại 1-p = (3-sqrt (5)) / 2 nên kết quả sau.

Kết quả (Việt) 2:

Câu đố của tháng này liên quan đến một con ếch người nhảy trên các số nguyên từ trừ vô lại plus vô cùng. Hop từng được chọn ngẫu nhiên (với xác suất bằng nhau) phải 2 hoặc -1. Vì vậy, con ếch sẽ làm cho tiến độ ổn định nhưng không thường xuyên theo hướng tích cực. Ếch sẽ nhấn một số nguyên nhiều hơn một lần và bỏ lỡ những người khác hoàn toàn. Phần nhỏ của các số nguyên sẽ bỏ con ếch lỡ hoàn toàn? Xin vui lòng tìm thấy một câu trả lời chính xác.
Cập Nhật, 4/20/07: bạn có thể xem xét câu trả lời là giới hạn khi N đi đến vô cùng của phần của số nguyên giữa -N và N một con ếch, bắt đầu từ -N và ngẫu nhiên nhảy như được mô tả bỏ lỡ trên trung bình. Ngoài ra một câu trả lời đúng cho sáu chữ số thập phân là đủ tốt.
câu trả lời:
câu trả lời là ((3-sqrt(5)) / 2) ** 2 = (7-3*sqrt(5)) / 2 =.145898
điều này có thể được bắt nguồn như sau.
Đầu tiên, chúng tôi xem xét các con ếch tại nguồn gốc và yêu cầu những gì là xác suất, p, rằng các con ếch sẽ bao giờ chiếm -1 trong tương lai. Nó rất dễ dàng để thấy rằng p thỏa mãn phương trình p =. 5. 5 * p ** 3 kể từ khi với hop tiếp theo con ếch hoặc là sẽ có lúc -1 ngay lập tức hoặc 2 và nếu nó là lúc 2 sau đó để lại -1, nó sẽ có để trở lại 1, sau đó 0, sau đó -1 mỗi một phần của mà sẽ xảy ra một cách độc lập với xác suất p. lựa chọn vào thư mục gốc phù hợp cho p =(-1 sqrt(5))/2.
tiếp theo chúng tôi chọn một hop 2 từ các con ếch con đường và yêu cầu những gì khả năng rằng các điểm trung bình không bao giờ bị. Rõ ràng có thể đi về phía trước trong thời gian, từ trên, điểm trung bình sẽ được nhấn với xác suất p. Một chút suy nghĩ cho thấy rằng đi ngược trở lại trong thời gian giữa điểm bị đánh trúng với xác suất p cũng. Các xác suất là độc lập, do đó, xác suất rằng điểm giữa một hop 2 trong con ếch con đường không bao giờ bị là (1-p) ** 2.
bây giờ nếu các con ếch mất 2 * bước nhảy n (khi n là lớn) về n của các hoa bia sẽ là 2 và về n sẽ là -1. Vì vậy, con ếch sẽ di chuyển về các đơn vị n theo hướng tích cực. Vì vậy, để vượt qua một phần của số nguyên n dài sẽ yêu cầu về các bước nhảy n 2 cho mỗi trong số đó là điểm trung bình có xác suất (1-p) ** 2 của không bao giờ bị ảnh hưởng. Vì vậy, số điểm mà không bao giờ được nhấn, dự kiến sẽ là n * (1-p) ** 2 có nghĩa là các phần của điểm mà không bao giờ đạt được (1-p) ** 2. Bây giờ 1-p = (3-sqrt(5)) / 2 vì vậy, kết quả sau.