6 Hahn and BanachHahn [1927] and Ba

6 Hahn and Banach
Hahn [1927] and Banach [1929] took an even more general approach. Even though
both used the same technique that Helly used—reducing the problem to the case
of enlarging the domain of the functional by just one vector—neither credited Helly
with the central idea for the proof of the Hahn-Banach theorem. Banach, however,
referred to Helly’s 1912 paper in deriving as his first application of the theorem the
result of Riesz that Helly had proved. Aside from that, Hahn and Banach went a
long way to shaping functional analysis as we know it today. They
• Defined the general normed space. Hahn [1922] and Banach [1923a] did it independently.
Each of them required completeness. Banach later [l932] removed it
in his book, distinguishing between normed and Banach spaces. (The general
notion of norm was ‘in the air’ at this time. Wiener, too, [1922] defined it
contemporaneously.)
• Abandoned systems of linear equations and considered the general problem of
extending a continuous linear form defined on a general normed space, not a
sequence space as Helly had done. Thus, they formulated the theorem as we
know it today.
• Defined the dual space of a general complete normed space and proved that it
too is a complete normed space with respect to the standard norm.
9
• Defined reflexivity and realized that a normed space X is generally embedded
in its second dual X"".
• Used transfinite induction (Helly had used ordinary induction). The way it was
used here became an essential tool of the analyst from that time forward.
In 1927 Hahn returned to Helly’s 1921 results in the context of general real Banach
spaces. His proof of Helly’s results by transfinite induction instead of ordinary
induction simplified and generalized them. Although transfinite induction had been
used by analysts before, with the exception of Banach’s treatment [1923b] of the
problem of measure, it had not been employed like this. Hahn, of course, did not
use the Zorn’s lemma formulation of transfinite induction, for that did not exist until
l935, but rather used ordinals. Aside from treating the earlier problem strictly as
one of extending linear functionals, Hahn also formally introduced the notion of dual
space (polare Raum) for the first time, noted that X is embedded in its second dual
X"" and defined reflexivity (regularit¨at). Duality theory had reached adolescence.
Unaware of Hahn’s work, Banach also used well-ordering and transfinite induction
to prove the Hahn-Banach theorem in l929. He acknowledged Hahn’s priority in his
book and generalized the result slightly: instead of considering the linear form f to
be dominated by a multiple of the norm, he considered an f dominated by a sublinear
functional; he made no other use of the greater generality, however. Nobody did until
locally convex spaces had been introduced. Then Banach’s more general result was
quite useful.
Their work has the following immediate consequences:
• Norm-preserving extensions. Given a continuous linear functional f defined
on a subspace of a normed space, there exists a continuous linear extension F
defined on the whole space such that %f% = %F% .
• Nontrivial continuous linear forms. A linear form f on a locally convex space
X is continuous if and only if there is a continuous seminorm p on X such that
|f| ≤ p. Moreover, if X is Hausdorff, and x ,=0, there must be a continuous
seminorm p on X such that p (x) ,=0. The Hahn-Banach theorem implies that,
for any nonzero vector x, there is a continuous linear functional f on X such that
f(x) = p (x) ,=0. Consequently, if every continuous linear functional vanishes
on a vector x, then x = 0.

Kết quả (Việt) 1:

6 Hahn và BanachHahn [1927] và Banach [1929] mất một cách tiếp cận tổng hợp hơn. Mặc dùcả hai sử dụng cùng một kỹ thuật sử dụng ha-giảm vấn đề ánsố mở rộng tên miền của các chức năng của chỉ là một véc tơ — không ghi havới ý tưởng trung tâm để chứng minh định lý Hahn-Banach. Banach, Tuy nhiên,gọi của ha 1912 giấy trong phát sinh như ông ứng dụng đầu tiên của định lý cáckết quả của Riesz ha đã chứng minh. Bên cạnh đó, Hahn và Banach đã đi mộtdài con đường để hình thành giải tích hàm như chúng ta biết ngày nay. Họ• Xác định không gian không chung. Hahn [1922] và Banach [1923a] đã làm nó một cách độc lập.Mỗi người trong số họ yêu cầu sự hoàn chỉnh. Banach sau đó [l932] gỡ bỏ nótrong cuốn sách của ông, phân biệt giữa không và không gian Banach. (Tổng quátkhái niệm về chuẩn là 'trong không khí' tại thời điểm này. Wiener, quá, [1922] định nghĩa nócontemporaneously.)• Hủy bỏ hệ thống phương trình tuyến tính và xem xét vấn đề chung củamở rộng một hình thức tuyến tính liên tục được định nghĩa trên một không gian không nói chung, không mộtchuỗi không gian như Helly đã làm. Do đó, họ xây dựng định lý như chúng tôibiết ngày nay.• Xác định không gian kép của một không gian không đủ nói chung và chứng minh rằng nócũng là một không gian không đủ đối với định mức tiêu chuẩn.9• Xác định reflexivity và nhận ra rằng một không gian không X nói chung được nhúngtrong của nó X kép thứ hai"".• Sử dụng transfinite cảm ứng (ha đã sử dụng bình thường cảm ứng). Cách nó đãđược sử dụng ở đây trở thành một công cụ cần thiết của các nhà phân tích từ phía trước thời gian đó.Năm 1927 Hahn trở lại của ha 1921 kết quả trong bối cảnh của chung thực Banachtại toàn. Chứng minh của ông của ha của kết quả bằng quy nạp transfinite thay vì bình thườngcảm ứng đơn giản hóa và tổng quát chúng. Dù transfinite cảm ứngđược sử dụng bởi các nhà phân tích trước đó, với ngoại lệ của Banach điều trị [1923b] của cácvấn đề của biện pháp, nó đã không được sử dụng như thế này. Hahn, tất nhiên, khôngsử dụng của Zorn bổ đề xây dựng transfinite cảm ứng, cho mà không tồn tại cho đến khil935, nhưng được sử dụng thay vì số. Ngoài việc điều trị vấn đề trước đó chặt chẽ nhưmột mở rộng tuyến tính functionals, Hahn cũng chính thức giới thiệu khái niệm képkhông gian (polare Raum) cho lần đầu tiên, ghi nhận rằng X được nhúng vào trong kép thứ haiX"" và xác định reflexivity (regularit¨at). Lý thuyết nhị nguyên đã đạt đến tuổi vị thành niên.Không biết về công việc của Hahn, Banach cũng có sử dụng cảm ứng tốt đặt hàng và transfiniteđể chứng minh định lý Hahn-Banach trong l929. Ông thừa nhận của Hahn ưu tiên trongsách và tổng quát hóa kết quả hơi: thay vì xem xét f tuyến tính hình thức đểđược chi phối bởi một bội số của chuẩn, ông coi là một f bị chi phối bởi một sublinearchức năng; ông đã không sử dụng khác của quát hơn, Tuy nhiên. Không ai đã làm cho đến khitại địa phương lồi tại đã được giới thiệu. Sau đó kết quả tổng quát hơn của Banach làkhá hữu ích.Công việc của họ có những hậu quả ngay lập tức sau đây:• Bảo quản chuẩn mở rộng. Cho một f chức năng tuyến tính liên tục được định nghĩatrên một con của một không gian không, có tồn tại một phần mở rộng tuyến tính liên tục Fđịnh nghĩa trên toàn bộ không gian như vậy đó % %f = %F %.• Nontrivial liên tục tuyến tính hình thức. Một tuyến tính hình thức f trên một không gian địa phương lồiX là liên tục nếu và chỉ nếu có là một liên tục seminorm p trên X như vậy mà|f| ≤ p. Hơn nữa, nếu X là Hausdorff, và x, = 0, có phải là một liên tụcseminorm p trên X như vậy đó p (x) = 0. Định lý Hahn-Banach ngụ ý rằng,cho bất kỳ véc tơ nonzero x, X là một f chức năng tuyến tính liên tục như vậy màf (x) = p (x), = 0. Do đó, nếu mỗi liên tục biến mất chức năng tuyến tínhtrên một vectơ x, sau đó x = 0.

Kết quả (Việt) 2:

6 Hahn và Banach
Hahn [1927] và Banach [1929] mất một cách tiếp cận thậm chí tổng quát hơn. Mặc dù
cả hai sử dụng kỹ thuật tương tự mà Helly sử dụng làm giảm các vấn đề trong trường hợp
của việc mở rộng các lĩnh vực của các chức năng bởi chỉ cần một vector-không ghi Helly
với ý tưởng trung tâm cho chứng minh của định lý Hahn-Banach. Banach, tuy nhiên,
gọi đến 1912 giấy Helly trong phát sinh như là ứng dụng đầu tiên của ông về định lý các
kết quả của Riesz rằng Helly đã chứng minh. Bên cạnh đó, Hahn và Banach đã đi một
chặng đường dài để định hình phân tích chức năng như chúng ta biết ngày nay. Họ
• Xác định các không gian định chuẩn chung. Hahn [1922] và Banach [1923a] đã làm nó một cách độc lập.
Mỗi người họ đầy đủ yêu cầu. Banach sau [l932] gỡ bỏ nó
trong cuốn sách của ông, việc phân biệt giữa các không gian định chuẩn và Banach. (Tổng
quan niệm của chỉ tiêu là "trong không khí 'vào thời điểm này. Wiener, quá, [1922] định nghĩa nó
contemporaneously.)
• Hệ thống Abandoned phương trình tuyến tính và được coi là vấn đề chung của
việc mở rộng một dạng tuyến tính liên tục được xác định vào một vị tướng định chuẩn không gian, không phải là một
không gian tự như Helly đã làm. Do đó, họ xây dựng các định lý như chúng ta
biết ngày nay.
• Xác định không gian kép của một không gian định chuẩn tổng quát đầy đủ và chứng minh rằng nó
cũng là một không gian định chuẩn đầy đủ tương ứng với định mức tiêu chuẩn với.
9
• Xác định tính phản ánh và nhận ra rằng một không gian định chuẩn X thường được nhúng
trong kép X thứ hai của mình "".
• Được sử dụng cảm ứng siêu hạn (Helly đã sử dụng cảm ứng thông thường). Cách nó đã được
sử dụng ở đây đã trở thành một công cụ thiết yếu của các nhà phân tích từ thời điểm đó trở đi.
Năm 1927 Hahn trở về Helly của 1921 kết quả trong bối cảnh chung Banach thực
không gian. Chứng minh của ông về kết quả của Helly bằng cảm ứng siêu hạn thay vì bình thường
cảm ứng đơn giản hóa và khái quát hóa chúng. Mặc dù cảm ứng siêu hạn đã được
sử dụng bởi các nhà phân tích trước đây, với ngoại lệ của điều trị Banach của [1923b] của
vấn đề đo lường, nó đã không được sử dụng như thế này. Hahn, tất nhiên, không
sử dụng bổ đề xây dựng cảm ứng siêu hạn của Zorn, cho rằng không tồn tại cho đến
l935, nhưng thay vì sử dụng hoặc thứ tự. Ngoài việc điều trị các vấn đề trước đó đúng là
một mở rộng functionals tuyến tính, Hahn cũng chính thức giới thiệu các khái niệm kép
không gian (polare Raum) lần đầu tiên, lưu ý rằng X được nhúng vào trong đôi thứ hai của nó
X "" và xác định tính phản xạ (regularit¨ tại). Lý thuyết nhị nguyên đã đạt vị thành niên.
Không hay biết về công việc của Hahn, Banach cũng được sử dụng cũng đã đặt hàng và cảm ứng siêu hạn
để chứng minh định lý Hahn-Banach trong l929. Ông thừa nhận ưu tiên Hahn trong cuốn
sách và khái quát hóa kết quả hơi: thay vì xem xét các hình thức tuyến tính f để
bị chi phối bởi một bội số của các chỉ tiêu, ông được coi là một f thống trị bởi một sublinear
chức năng; ông đã không sử dụng khác của tính khái quát cao hơn, tuy nhiên. Không ai đã làm cho đến khi
không gian lồi địa phương đã được giới thiệu. Sau đó, kết quả tổng quát hơn Banach là
khá hữu ích.
Công việc của họ có hậu quả tức thì sau đây:
• Norm-bảo quản các phần mở rộng. Cho một tuyến tính liên tục chức năng f xác định
trên một không gian con của một không gian định chuẩn, có tồn tại một phần mở rộng tuyến tính liên tục F
xác định trên toàn bộ không gian như vậy mà% f% =% F%.
• hình thức tuyến tính liên tục không tầm thường. Một hình thức f tuyến tính trên một không gian lồi địa phương
X là liên tục khi và chỉ khi có một seminorm p liên tục trên X như vậy mà
| f | ≤ p. Hơn nữa, nếu X là Hausdorff, và x, = 0, thì phải có một liên tục
seminorm p trên X như vậy mà p (x), = 0. Định lý Hahn-Banach ngụ ý rằng,
đối với bất kỳ vector khác không x, có một tuyến tính liên tục chức năng f trên X như vậy mà
f (x) = p (x), = 0. Do đó, nếu mọi liên tục Vanishes chức năng tuyến tính
trên một vector x, sau đó x = 0.