The prime p = 11251 has the propert

The prime p = 11251 has the property that p − 1 is divisible by 54, and it is easy to check that 5448 has order exactly 54 in F11251. The first step is to solve
,
which reduces to 11089x0 = 11089. This one is easy; the answer is x0 = 1, so our inital value of x is x = 1.
The next step is to solve
,
which reduces to 11089x1 = 3742. Note that we only need to check values of x1 between 1 and 4, although if q were large, it would pay to use a faster algorithm such as Proposition 2.22 to solve this discrete logarithm problem. In any case, the solution is x1 = 2, so the value of x is now x = 11 = 1 + 2 • 5. Continuing, we next solve
,
which reduces to 11089x2 = 1. Thus x2 = 0, which means that the value of x remains at x = 11.
The final step is to solve
.
This reduces to solving 11089x3 = 6320, which has the solution x3 = 4. Hence our final answer is
x = 511 = 1 + 2 • 5 + 4 • 53.
As a check, we compute
5448511 = 6909 in F11251.
The Pohlig–Hellman algorithm (Theorem 2.32) for solving the discrete logarithm problem uses the Chinese remainder theorem (Theorem 2.25) to knot together the solutions for prime powers from Proposition 2.34. The following example illustrates the full Pohlig–Hellman algorithm. Example 2.37. Consider the discrete logarithm problem
23x = 9689 in F11251. (2.22)

Kết quả (Việt) 1:

Số nguyên tố p = 11251 có tính chất đó p − 1 là số chia hết cho 54, và nó rất dễ dàng để kiểm tra rằng 5448 có trật tự chính xác 54 tại F11251. Bước đầu tiên là để giải quyết ,làm giảm để 11089 x 0 = 11089. Điều này là dễ dàng; câu trả lời là x 0 = 1, do đó, chúng tôi giá trị ban đầu của x là x = 1.Bước tiếp theo là để giải quyết ,làm giảm để 11089 x 1 = 3742. Lưu ý rằng chúng tôi chỉ cần kiểm tra giá trị của x 1 giữa 1 và 4, mặc dù nếu q là lớn, nó sẽ trả tiền để sử dụng một thuật toán nhanh hơn chẳng hạn như đề xuất 2,22 để giải quyết vấn đề lôgarit rời rạc này. Trong bất kỳ trường hợp nào, các giải pháp là x 1 = 2, do đó, giá trị của x bây giờ x = 11 = 1 + 2 • 5. Tiếp tục, chúng tôi tiếp theo giải quyết ,làm giảm 11089 x 2 = 1. Do đó x 2 = 0, có nghĩa là giá trị của x vẫn còn ở x = 11.Bước cuối cùng là để giải quyết .Điều này làm giảm để giải quyết 11089 x 3 = 6320 người, mà đã giải x 3 = 4. Do đó chúng tôi câu trả lời cuối cùng làx = 511 = 1 + 2 • • 5 + 4 53.Như là một kiểm tra, chúng tôi tính toán 5448511 = 6909 trong F11251. Thuật toán Pohlig-Hellman (định lý 2,32) để giải quyết vấn đề lôgarit rời rạc sử dụng định lý Trung Quốc còn lại (định lý 2,25) để nút với nhau các giải pháp cho các quyền hạn nguyên tố từ đề xuất 2,34. Ví dụ sau minh hoạ các thuật toán Pohlig-Hellman đầy đủ. Ví dụ 2,37. Xem xét vấn đề lôgarit rời rạc 23 x = 9689 ở F11251. (2,22)

Kết quả (Việt) 2:

Các p nguyên tố = 11.251 có các tài sản mà p - 1 chia hết cho 54, và nó rất dễ dàng để kiểm tra xem 5448 có trật tự chính xác 54 trong F11251. Bước đầu tiên là để giải quyết
,
làm giảm đến 11089x0 = 11089. Cái này rất dễ dàng; câu trả lời là x0 = 1, do đó giá trị của chúng tôi inital của x là x = 1.
Bước tiếp theo là để giải quyết
,
làm giảm đến 11089x1 = 3742. Lưu ý rằng chúng ta chỉ cần kiểm tra giá trị của x1 giữa 1 và 4, mặc dù nếu q đã lớn, nó sẽ trả tiền để sử dụng một thuật toán nhanh hơn như Dự 2.22 để giải quyết vấn đề này logarit rời rạc. Trong mọi trường hợp, giải pháp là x1 = 2, vì vậy giá trị của x tại là x = 11 = 1 + 2 • 5. Tiếp tục, chúng ta sau giải quyết
,
làm giảm đến 11089x2 = 1. Do đó x2 = 0, có nghĩa là giá trị của x vẫn tại x = 11.
Bước cuối cùng là để giải quyết
.
Điều này làm giảm để giải quyết 11089x3 = 6320, trong đó có các giải pháp x3 = 4. Do đó trả lời cuối cùng của chúng tôi là
x = 511 = 1 + 2 + 5 • 4 • 53 .
Khi kiểm tra, chúng tôi tính toán
5448511 = 6909 trong F11251.
Các thuật toán Pohlig-Hellman (Định lý 2.32) để giải quyết các bài toán logarit rời rạc sử dụng các lý phần còn lại của Trung Quốc (Định lý 2.25) để hôn cùng những giải pháp cho các quyền hạn cơ bản từ Dự 2,34. Ví dụ sau đây minh họa các thuật toán Pohlig-Hellman đầy đủ. Ví dụ 2.37. Hãy xem xét các bài toán logarit rời rạc
23x = 9689 trong F11251. (2.22)