applied to a linear PDE (ut + ux =

applied to a linear PDE (ut + ux = 0). Moreover, for some Runge–Kutta
methods, if one looks at the intermediate stages, e.g. u(1) (1.8) or (1.9),
one observes even bigger oscillations. Such oscillations may render difficulties
when physical problems are solved, such as the appearance of negative
density and pressure for Euler equations of gas dynamics. On the other
hand, SSP Runge–Kutta methods guarantee that each intermediate stage
solution is also TVD.
Another example demonstrating the advantage of SSP methods versus
non-SSP methods for shock wave calculations can be found in [31].
Further examples comparing some commonly used non-SSP methods with
SSP methods may be found in, e.g., [62, 55, 54]. These numerical examples
demonstrate that it is at least safer to use SSP time discretizations
whenever possible, especially when solving hyperbolic PDEs with shocks,
which make the traditional linear stability analysis inadequate. In terms
of computational cost, most SSP methods are of the same form and have
the same cost as traditional ODE solvers. It is true that the time step
t
might need to be smaller to prove the SSP property than, say, when linear
stability is proven, however in many situations
t can be taken larger in
practical calculations without causing instability.
Development of SSP methods was historically motivated in two ways,
and developed by two groups: one focusing on hyperbolic partial differential
equations, the other focusing on ordinary differential equations. Many
terms have been used to describe what we refer to as strong stability preservation;
here we stick mostly to this term for clarity.

Kết quả (Việt) 2:

áp dụng cho một PDE tuyến tính (ut + ux = 0). Hơn nữa, đối với một số Runge-Kutta
phương pháp, nếu nhìn vào các giai đoạn trung gian, ví dụ như u (1) (1.8) hoặc (1.9),
người ta quan sát dao động lớn hơn. Dao động đó có thể làm cho khó khăn
khi các vấn đề vật lý được giải quyết, chẳng hạn như sự xuất hiện của tiêu cực
mật độ và áp lực cho phương trình Euler của khí động lực. Mặt khác
tay, phương pháp SSP Runge-Kutta đảm bảo rằng mỗi giai đoạn trung gian
giải pháp cũng là TVD.
Một ví dụ khác chứng minh lợi thế của phương pháp SSP so với
phương pháp không SSP cho các tính toán sóng xung kích có thể được tìm thấy trong [31].
Ví dụ khác so sánh một số thường sử dụng phương pháp này với phi SSP
phương pháp SSP có thể được tìm thấy trong, ví dụ [62, 55, 54]. Những ví dụ bằng số
chứng minh rằng nó là ít nhất an toàn hơn để sử dụng thời gian discretizations SSP
bất cứ khi nào có thể, đặc biệt là khi giải quyết PDEs biếm với những cú sốc,
mà làm cho các phân tích ổn định tuyến tính truyền thống không đủ. Trong điều kiện
của chi phí tính toán, hầu hết các phương pháp SSP có dạng giống nhau và có
các chi phí tương tự như những người giải quyết ODE truyền thống. Đúng là các bước thời gian? T
có thể cần phải được nhỏ hơn để chứng minh tài sản hơn, nói, khi tuyến SSP
ổn định được chứng minh, tuy nhiên trong nhiều tình huống? T có thể được thực hiện lớn hơn trong
tính toán thực tế mà không gây ra bất ổn.
Phát triển các phương pháp SSP đã được thúc đẩy lịch sử trong hai cách,
và phát triển bởi hai nhóm: một tập trung vào phân từng phần hyperbol
phương trình, khác tập trung vào phương trình vi phân thường. Nhiều
thuật ngữ đã được sử dụng để mô tả những gì chúng tôi tham khảo để duy trì ổn định mạnh;
ở đây chúng tôi dính chủ yếu là để hạn này cho rõ ràng.