We can solve linear programming pro

We can solve linear programming problem (10.11) by the simplex method or by another algorithm for general linear programming problems (see Section 10.1). However, the special structure of problem (10.11) can be exploited to design faster algorithms. In particular, it is quite natural to employ the iterative-improvement

idea as follows. We can always start with the zero flow (i.e., set xij = 0 for every edge (i, j ) in the network). Then, on each iteration, we can try to find a path from source to sink along which some additional flow can be sent. Such a path is called flow augmenting. If a flow-augmenting path is found, we adjust the flow along the edges of this path to get a flow of an increased value and try to find an augmenting path for the new flow. If no flow-augmenting path can be found, we conclude that the current flow is optimal. This general template for solving the maximum-flow problem is called the augmenting-path method, also known as the Ford-Fulkerson method after L. R. Ford, Jr., and D. R. Fulkerson, who discovered it (see [For57])
An actual implementation of the augmenting path idea is, however, not quite straightforward. To see this, let us consider the network in Figure 10.4. We start with the zero flow shown in Figure 10.5a. (In that figure, the zero amounts sent through each edge are separated from the edge capacities by the slashes; we will use this notation in the other examples as well.) It is natural to search for a flow-augmenting path from source to sink by following directed edges (i, j ) for which the current flow xij is less than the edge capacity uij . Among several possibilities, let us assume that we identify the augmenting path 1→2→3→6 first. We can increase the flow along this path by a maximum of 2 units, which is the smallest unused capacity of its edges. The new flow is shown in Figure 10.5b. This is as far as our simpleminded idea about flow-augmenting paths will be able to take us. Unfortunately, the flow shown in Figure 10.5b is not optimal: its value can still be increased along the path 1→4→3←2→5→6 by increasing the flow by 1 on edges (1, 4), (4, 3), (2, 5), and (5, 6) and decreasing it by 1 on edge (2, 3). The flow obtained as the result of this augmentation is shown in Figure 10.5c. It is indeed maximal. (Can you tell why?)

Thus, to find a flow-augmenting path for a flow x, we need to consider paths from source to sink in the underlying undirected graph in which any two consec-utive vertices i, j are either

connected by a directed edge from i to j with some positive unused capacity rij = uij − xij (so that we can increase the flow through that edge by up to rij units), or

connected by a directed edge from j to i with some positive flow xj i (so that we can decrease the flow through that edge by up to xj i units).

Edges of the first kind are called forward edges because their tail is listed before their head in the vertex list 1 → . . . i → j . . . → n defining the path; edges of the second kind are called backward edges because their tail is listed after their head in the path list 1 → . . . i ← j . . . → n. To illustrate, for the path 1→4→3←2→5→6 of the last example, (1, 4), (4, 3), (2, 5), and (5, 6) are the forward edges, and (3, 2) is the backward edge.

For a given flow-augmenting path, let r be the minimum of all the unused capacities rij of its forward edges and all the flows xj i of its backward edges. It is easy to see that if we increase the current flow by r on each forward edge and decrease it by this amount on each backward edge, we will obtain a feasible

Kết quả (Việt) 1:

Chúng tôi có thể giải quyết vấn đề lập trình tuyến tính (10,11) bằng phương pháp simplex hoặc bằng một thuật toán để tổng hợp các vấn đề lập trình tuyến tính (xem phần 10,1). Tuy nhiên, cấu trúc đặc biệt của vấn đề (10,11) có thể được khai thác để thiết kế thuật toán nhanh hơn. Đặc biệt, nó là khá tự nhiên để sử dụng lặp đi lặp lại cải tiến ý tưởng như sau. Chúng tôi luôn luôn có thể bắt đầu với dòng zero (tức là, đặt xij = 0 cho mỗi cạnh (i, j) trong mạng). Sau đó, trên mỗi lặp đi lặp lại, chúng tôi có thể cố gắng tìm một đường đi từ nguồn chìm dọc theo đó có thể được gửi một số lưu lượng bổ sung. Như một con đường được gọi là dòng chảy augmenting. Nếu một con đường augmenting dòng chảy được tìm thấy, chúng tôi điều chỉnh dòng chảy dọc theo các cạnh của con đường này để có được một dòng chảy của một giá trị gia tăng và cố gắng tìm một con đường thông cho dòng mới. Nếu không có dòng chảy-augmenting đường dẫn có thể được tìm thấy, chúng tôi kết luận rằng dòng là tối ưu. Mẫu này tổng hợp để giải quyết vấn đề dòng chảy tối đa được gọi là phương pháp đường dẫn augmenting, còn được gọi là phương pháp Ford-Fulkerson sau L. R. Ford, Jr., và D. R. Fulkerson, người phát hiện ra nó (xem [For57])Một thực hiện thực tế của các ý tưởng thông đường dẫn là, Tuy nhiên, không khá đơn giản. Để thấy điều này, chúng ta hãy xem xét mạng trong hình 10.4. Chúng tôi bắt đầu với dòng chảy không hiển thị trong hình 10.5a. (Trong con số đó, số tiền không được gửi qua mỗi cung được tách ra từ năng lực cạnh bằng các slashes; chúng tôi sẽ sử dụng ký hiệu này trong các ví dụ khác.) Nó là tự nhiên để tìm kiếm một con đường augmenting dòng chảy từ nguồn chìm bởi sau đây hướng cạnh (i, j) mà hiện tại dòng chảy xij là ít hơn uij công suất cạnh. Trong số nhiều khả năng, chúng ta hãy giả định rằng chúng tôi xác định thông đường dẫn 1→2→3→6 đầu tiên. Chúng tôi có thể làm tăng dòng chảy dọc theo con đường này bởi một tối đa là 2 đơn vị, đó là khả năng không sử dụng nhỏ nhất của các cạnh của nó. Dòng mới Hiển thị trong hình 10.5b. Điều này là càng xa càng tốt, chúng tôi ý tưởng simpleminded về dòng chảy-augmenting đường dẫn sẽ có thể để chúng tôi. Thật không may, dòng chảy Hiển thị trong hình 10.5b không phải là tối ưu: giá trị của nó vẫn còn có thể được tăng lên dọc theo con đường 1→4→3←2→5→6 bằng cách tăng dòng chảy của 1 rìa, (1, 4), (4, 3), (2, 5), và (5, 6) và giảm nó bởi 1 rìa (2, 3). Dòng chảy thu được như là kết quả của augmentation này được thể hiện trong hình 10,5 c. Đó là thực sự tối đa. (Bạn có thể cho biết lý do tại sao không?)Vì vậy, để tìm thấy một dòng chảy-augmenting con đường cho một dòng chảy x, chúng ta cần phải xem xét các đường đi từ nguồn chìm trong đồ thị vô hướng tiềm ẩn trong đó hai đỉnh consec utive bất kỳ tôi, j là một trong hai kết nối bởi một cạnh đạo diễn từ tôi để j với một số khả năng không sử dụng tích cực rij = uij − xij (do đó chúng tôi có thể làm tăng dòng chảy qua cạnh đó bởi lên đến đơn vị rij), hoặc kết nối bởi một cạnh hướng từ j với tôi với một số tích cực chảy xj tôi (do đó chúng tôi có thể làm giảm dòng chảy qua đó cạnh bởi lên đến xj tôi đơn vị).Cạnh của các loại đầu tiên được gọi là cạnh phía trước bởi vì đuôi liệt kê trước khi đầu của họ ở đỉnh danh sách 1 →... tôi → j... → n xác định đường dẫn; cạnh của các loại thứ hai được gọi là lạc hậu cạnh vì đuôi là liệt kê sau đợt đầu của họ trong danh sách 1 đường dẫn →... tôi ← j... → n. Để minh họa, cho 1→4→3←2→5→6 đường dẫn của các ví dụ cuối, (1, 4), (4, 3), (2, 5), và (5, 6) là các cạnh phía trước, và (3, 2) là rìa lạc hậu.Đối với một đường augmenting dòng chảy nhất định, cho phép r là tối thiểu của tất cả rij không sử dụng khả năng của các cạnh phía trước và tất cả dòng chảy xj i của các cạnh lạc hậu. Nó là dễ dàng nhận thấy rằng nếu chúng ta tăng lưu lượng hiện tại bởi r trên mỗi cạnh phía trước và giảm nó bằng số tiền này trên mỗi cạnh lạc hậu, chúng ta sẽ có được một khả thi

Kết quả (Việt) 2:

Chúng tôi có thể giải quyết vấn đề lập trình tuyến tính (10.11) bằng phương pháp simplex hoặc theo một thuật toán cho vấn đề lập trình tuyến tính tổng quát (xem Phần 10.1). Tuy nhiên, cấu trúc đặc biệt của vấn đề (10.11) có thể bị khai thác để thiết kế các thuật toán nhanh hơn. Đặc biệt, nó là khá tự nhiên để sử dụng các lặp hoàn thiện ý tưởng như sau. Chúng tôi luôn luôn có thể bắt đầu với dòng chảy không (tức là, đặt xij = 0 cho mỗi cạnh (i, j) trong mạng). Sau đó, trên mỗi lần lặp, chúng ta có thể cố gắng để tìm một đường đi từ nguồn tới chìm dọc theo đó một số lưu lượng bổ sung có thể được gửi đi. Một con đường như vậy được gọi là dòng chảy làm tăng. Nếu một đường dẫn dòng chảy làm tăng được tìm thấy, chúng tôi điều chỉnh dòng chảy dọc theo các cạnh của con đường này để có được một dòng chảy của một giá trị gia tăng và cố gắng tìm một con đường làm tăng cho dòng chảy mới. Nếu không có đường dẫn dòng chảy làm tăng có thể được tìm thấy, chúng tôi kết luận rằng dòng điện là tối ưu. Điều này mẫu chung cho việc giải quyết các vấn đề tối đa dòng chảy được gọi là phương pháp làm tăng-path, còn được gọi là phương pháp Ford-Fulkerson sau LR Ford, Jr., và DR Fulkerson, người phát hiện ra nó (xem [For57]) An thực hiện thực tế của ý tưởng con đường làm tăng, tuy nhiên, không hoàn toàn đơn giản. Để thấy điều này, chúng ta hãy xem xét mạng trong hình 10.4. Chúng tôi bắt đầu với những dòng chảy không thể hiện trong hình 10.5a. (Trong số đó, bằng không tiền gửi qua mỗi cạnh được tách ra từ năng lực cạnh bằng các dấu gạch chéo;., Chúng tôi sẽ sử dụng ký hiệu này trong các ví dụ khác nữa) Đó là tự nhiên để tìm kiếm một con đường dòng chảy làm tăng từ nguồn chìm bằng cách làm theo hướng cạnh (i, j) mà xij dòng chảy hiện tại là ít hơn so với uij suất cạnh. Trong số nhiều khả năng, chúng ta hãy giả định rằng chúng tôi xác định con đường làm tăng 1 → 2 → 3 → 6 đầu tiên. Chúng tôi có thể làm tăng dòng chảy dọc theo con đường này bằng một tối đa của 2 đơn vị, đó là khả năng sử dụng nhỏ nhất của các cạnh của nó. Các dòng chảy mới được hiển thị trong hình 10.5b. Điều này là như xa như là ý tưởng đầu óc đơn giản của chúng tôi về con đường làm tăng dòng chảy sẽ có thể đưa chúng ta. Thật không may, các dòng chảy trong hình 10.5b không phải là tối ưu: giá trị của nó vẫn có thể được tăng lên dọc theo đường 1 → 4 → 3 ← 2 → 5 → 6 bằng cách tăng dòng chảy bằng 1 trên các cạnh (1, 4), (4, 3), (2, 5), và (5, 6) và làm giảm nó bằng 1 trên cạnh (2, 3). Các dòng chảy thu được là kết quả của việc tăng thêm này được thể hiện trong hình 10.5c. Nó thực sự là tối đa. (Bạn có thể nói lý do tại sao?) Vì vậy, để tìm một con đường dòng chảy làm tăng cho một dòng chảy x, chúng ta cần phải xem xét đường từ nguồn tới chìm trong đồ thị vô hướng cơ bản trong đó bất kỳ hai đỉnh consec-utive i, j hoặc là được nối với nhau bằng một cạnh có hướng từ i tới j với một số tích cực sử dụng công suất Rij = uij - xij (vì vậy mà chúng ta có thể làm tăng lưu lượng thông qua cạnh đó, cho tới Rij đơn vị), hoặc kết nối bởi một cạnh có hướng từ j để tôi với một số xj dòng chảy tích cực i (để chúng tôi có thể làm giảm lưu lượng thông qua cạnh đó, cho tới xj i đơn vị). Edges của các loại đầu tiên được gọi là chuyển tiếp các cạnh vì đuôi của họ được liệt kê trước khi đầu của họ trong danh sách đỉnh 1 →. . . i → j. . . → n xác định con đường; cạnh của loại thứ hai được gọi là lạc hậu vì cạnh đuôi của họ được liệt kê sau đầu của họ trong danh sách đường 1 →. . . i ← j. . . → n. Để minh họa, cho đường 1 → 4 → 3 ← 2 → 5 → 6 của ví dụ cuối cùng, (1, 4), (4, 3), (2, 5), và (5, 6) là các cạnh phía trước và (3, 2) là cạnh lạc hậu. Đối với một đường dẫn dòng chảy làm tăng nhất định, hãy để r là tối thiểu của tất cả các khả năng không sử dụng Rij của các cạnh phía trước của nó và tất cả các dòng xj i cạnh lạc hậu của nó. Nó rất dễ dàng để thấy rằng nếu chúng ta tăng dòng chảy hiện tại của r trên mỗi cạnh phía trước và làm giảm nó bằng số tiền này vào mỗi cạnh ngược lại, chúng ta sẽ có được một khả thi