Corollary 5.2. The non-zero Gaussia

Corollary 5.2. The non-zero Gaussian integers α and β are relatively prime if and only
if we can write
1 = αx + βy
for some x, y ∈ Z[i].
Proof. If α and β are relatively prime, then 1 is a greatest common divisor of α and β, so
1 = αx + βy for some x, y ∈ Z[i] by Theorem 5.1. Conversely, if 1 = αx + βy for some
x, y ∈ Z[i], then any common divisor of α and β is a divisor of 1, and thus is a unit. That
says α and β are relatively prime.
Example 5.3. We saw in Example 4.4 that α = 32 + 9i and β = 4 + 11i are relatively
prime, since the last non-zero remainder in Euclid’s algorithm is −i. We can reverse the
calculations in Example 4.4 to express −i as a Z[i]-combination of α and β:

Kết quả (Việt) 1:

Hệ luỵ 5.2. Số nguyên Gauss-zero α và β tương đối số nguyên tố nếu và chỉNếu chúng tôi có thể viết1 = αx + βyĐối với một số x, y ∈ Z [i].Bằng chứng. Nếu α và β tương đối nguyên tố, sau đó 1 là ước số chung lớn nhất của α và β, vì vậy1 = αx + βy đối với một số x, y ∈ Z [i] của định lý 5.1. Ngược lại, nếu 1 = αx + βy cho một sốx, y ∈ Z [i], sau đó bất kỳ ước chung của α và β là ước của 1, và do đó là một đơn vị. Rằngnói α và β tương đối nguyên tố.Ví dụ 5.3. Chúng ta đã thấy trong ví dụ 4.4 đó α = 32 + 9i và β = 4 + 11i là tương đốinguyên tố, kể từ cuối cùng không còn lại trong thuật toán Euclid là −i. Chúng tôi có thể đảo ngược cáctính toán trong ví dụ 4.4 để nhận −i như một Z [i]-sự kết hợp của α và β:

Kết quả (Việt) 2:

Hệ luỵ 5.2. Các khác không số nguyên Gaussian a và β là tương đối thủ nếu và chỉ
nếu chúng ta có thể viết
1 = αx + βy
cho một số x, y ∈ Z [i].
Chứng minh. Nếu α và β là tương đối nguyên tố, thì 1 là một ước số chung lớn nhất của α và β, vì vậy
1 = αx + βy cho một số x, y ∈ Z [i] bởi Định lý 5.1. Ngược lại, nếu 1 = αx + βy cho một số
x, y ∈ Z [i], sau đó bất kỳ ước chung của α và β là ước của 1, và do đó là một đơn vị. Điều đó
nói α và β là tương đối nguyên tố.
Ví dụ 5.3. Chúng ta đã thấy trong ví dụ 4.4 là α = 32 + 9i và β = 4 + 11i là tương đối
thủ, kể từ khi có dư cuối cùng trong thuật toán Euclid là -i. Chúng ta có thể đảo ngược các
tính toán trong Ví dụ 4.4 để bày tỏ -i như một Z [i] -combination của α và β: