If x +3=0thenx = −3, and if x +10=0

If x +3=0thenx = −3, and if x +10=0thenx = −10. Therefore, the roots of the equation x2 +13x +30=0arex =−3 andx =−10.
Example 3.2 Solve the quadratic equation 2x2 −11x +12 = 0 using factorization.
Solution. As in the previous example, the first step is to factorize the quadratic expression 2x2 −11x +12 as a product of linear factors. These linear factors must be of the form (2x + A) and ( x + B) in order to retrieve the quadratic factor 2x2, whereA and B are two positive constants. Since
(2x + A)(x + B)=2x2 +(A +2B)x + AB,
then the constants A and B need to be chosen so that A +2B =−11, AB= 12 . The possible combinations of integers whose product is 12 are 12×1, 6×2, 4×3, −4×−3, −6×−2, and −12×−1. The only pair of integers amongst these for which A +2B =−11 is A =−3 andB =−4. Therefore, we have 2x2 −11x +12=(2x−3)(x−4). The problem now is to solve the equation (2x−3)(x−4) = 0. Either 2x−3 = 0 orx−4 = 0. If 2 x−3 = 0 then 2 x = 3 andx =3 /2. If x−4 = 0,thenx = 4.Therefore,thetworootsoftheequation2x2−11x+12 = 0 are x =3 /2 andx = 4.
Mostquadraticexpressions,however,donotfactoriseeasilyinthesensethat they cannot be expressed as a product of linear factors with integer coefficients, even if the coefficients of the quadratic equation are integers. For example, the quadratic equation 3x2 − 9x + 5 = 0 cannot be factored into a product of linear factors with integer coefficients. Clearly, a more systematic approach is required. There is a formula for finding the solution to a quadratic equation
ax2 + bx + c =0 . (3.7)
58 Elements of Mathematics for Economics and Finance
The formula may be derived by the process known as completing the square that was introduced in Section 3.2. We assume that a = 0. Using (3.6) we see that (3.7) is equivalent to a
x + b 2a2 + 4ac−b2 4a =0 . Dividing both sides by a and taking the last term to the right-hand side yields
x + b 2a2 = b2 −4ac 4a2 . Now taking the square root of both sides gives x + b 2a =±b2 −4ac 4a2 =± √b2 −4ac 2a . Finally, subtracting b/(2a) from both sides we arrive at the formula for the roots of a quadratic equation: x = −b±√b2 −4ac 2a . (3.8) This is an important formula for the roots (that is, solutions) of a quadratic equation, which we highlight: The solutions of the quadratic equation ax2 +bx + c = 0 are x = −b±√b2 −4ac 2a .
The number of solutions of a quadratic equation depends on the sign of the expression under the square root sign in this formula. A quadratic equation has two, one or no solutions depending on whether the expression b2 −4ac is positive, zero, or negative: • If b2 −4ac > 0, there are two solutions x = −b +√b2 −4ac 2a and x = −b−√b2 −4ac 2a . • If b2 −4ac = 0, then there is one solution x =− b 2a. • If b2 −4ac < 0, then there are no solutions since the square root of b2 −4ac does not exist in this case.

Kết quả (Việt) 1:

Nếu x + 3 = 0thenx = −3, và nếu x + 10 = 0thenx = tới-10. Vì vậy, nguồn gốc của phương trình x2 + 13 x 30 = 0arex = −3 andx = tới-10.Ví dụ 3.2 giải phương trình bậc 2 x 2 −11x bằng cách sử dụng factorization + 12 = 0.Giải pháp. Như trong ví dụ trước, các bước chính là factorize −11x bậc hai biểu thức 2 x 2 + 12 như một sản phẩm của các yếu tố tuyến tính. Các yếu tố tuyến tính phải có dạng (2 x + A) và (x + B) để lấy yếu tố bậc 2 x 2, whereA và B là hai số dương. Kể từ khi(2 x + A) (x + B) = 2 x 2 +(A +2B) x + AB,sau đó, hằng số A và B phải được lựa chọn như vậy mà A + 2B = −11, AB = 12. Các tổ hợp các sản phẩm mà là 12 số nguyên là 12 × 1, 6 × 2, 4 × 3, −4 x −3, −6 x −2 và −12 x −1. Cả hai chỉ số nguyên giữa những cho mà A + 2B = −11 là A = −3 andB = −4. Vì vậy, chúng tôi có 2 x 2 −11x + 12=(2x−3)(x−4). Vấn đề bây giờ là để giải quyết các phương trình (2x−3)(x−4) = 0. Hoặc là 2x−3 = 0 orx−4 = 0. Nếu 2 x−3 = 0 thì 2 x = 3 andx = 3 /2. Nếu x−4 = 0, thenx = 4.Therefore,thetworootsoftheequation2x2−11x+12 = 0 là x = 3 /2 andx = 4.Mostquadraticexpressions, Tuy nhiên, họ không thể được thể hiện như một sản phẩm của các yếu tố tuyến tính với số nguyên coefficients, ngay cả khi coefficients của phương trình bậc hai số nguyên donotfactoriseeasilyinthesensethat. Ví dụ, phương trình bậc 3 x 2 − 9 x + 5 = 0 không yếu tố xác định một sản phẩm của các yếu tố tuyến tính với số nguyên coefficients. Rõ ràng, một cách tiếp cận có hệ thống hơn là cần thiết. Đó là một công thức cho finding giải một phương trình bậc haiax2 + bx + c = 0. (3.7)58 các yếu tố của toán học về kinh tế và tài chínhCông thức có thể xuất phát bởi quá trình được gọi là hoàn thành hình vuông mà đã được giới thiệu trong phần 3.2. Chúng tôi giả định rằng một = 0. Bằng cách sử dụng (3,6) chúng ta thấy rằng (3.7) tương đương với một x + b 2a 2 + 4ac−b2 4a = 0. Chia cả hai mặt của một và tham gia hạn cuối đến sản lượng bên phải x + b 2a 2 = b2 −4ac 4a2. Bây giờ lấy căn bậc hai của cả hai bên cho x + b 2a = ± b2 −4ac 4a2 = ± √b2 −4ac 2a. Cuối cùng, trừ b/(2a) từ cả hai phía chúng tôi đến công thức gốc của phương trình bậc hai: x = −b±√b2 −4ac 2a. (3.8) đây là một công thức quan trọng đối với các rễ (có nghĩa là, các giải pháp) của một phương trình bậc hai, chúng tôi đánh dấu: các giải pháp của phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 là x = −b±√b2 −4ac 2a.Số lượng các nghiệm của phương trình bậc hai một phụ thuộc vào các dấu hiệu của các biểu thức dưới dấu căn bậc hai trong công thức này. Phương trình bậc hai có hai một hay không có giải pháp tùy thuộc vào việc biểu b2 −4ac là tích cực, zero, hoặc phủ định: • nếu b2 −4ac > 0, có hai giải pháp x = −b + √b2 −4ac 2a và x = −b−√b2 −4ac 2a. • Nếu b2 −4ac = 0, sau đó, có một giải pháp x = − b 2a. • Nếu b2 −4ac < 0, sau đó có những giải pháp có kể từ khi bậc hai của b2 −4ac không tồn tại trong trường hợp này.

Kết quả (Việt) 2:

Nếu x + 3 = 0thenx = -3, và nếu x + 10 = 0thenx = -10. Vì vậy, gốc rễ của phương trình x2 + 13x + 30 = 0arex = -3 andx = -10.
Ví dụ 3.2 Giải quyết các phương trình bậc hai 2x2 -11x 12 = 0 bằng thừa.
Giải pháp. Như trong ví dụ trước đó, bước đầu tiên kinh là để factorize các 2x2 biểu bậc hai -11x 12 như một sản phẩm của các yếu tố tuyến tính. Những yếu tố tuyến tính phải có dạng (2x + A) và (x + B) để lấy các yếu tố 2x2 bậc hai, whereA và B là hai hằng số dương. Từ
(2x + A) (x + B) = 2x2 + (A + 2B) x + AB,
sau đó các hằng số A và B cần phải được chọn sao cho A + 2B = -11, AB = 12. Sự kết hợp có thể có của số nguyên có sản phẩm là 12 là 12 × 1, 6 × 2, 4 × 3, -4 × -3, -6 × -2, và -12 × -1. Các cặp chỉ số nguyên giữa các mà A + 2B = -11 là A = -3 andB = -4. Do đó, chúng tôi có 2x2 -11x + 12 = (2x-3) (x-4). Vấn đề bây giờ là để giải quyết các phương trình (2x-3) (x-4) = 0. Hoặc 2x-3 = 0 orx-4 = 0. Nếu 2 x-3 = 0 thì 2 x = 3 andx = 3/2 . Nếu x-4 = 0, thenx = 4.Therefore, thetworootsoftheequation2x2-11x + 12 = 0 là x = 3/2 andx = 4.
Mostquadraticexpressions, tuy nhiên, donotfactoriseeasilyinthesensethat họ không thể được thể hiện như là một sản phẩm của các yếu tố tuyến tính với số nguyên cients COE ffi, thậm chí nếu các hệ COE ffi của phương trình bậc hai là số nguyên. Ví dụ, phương trình bậc hai 3x2 - 9x + 5 = 0 có thể không được tính vào một sản phẩm của các yếu tố tuyến tính với cients ffi nguyên COE. Rõ ràng, một cách tiếp cận có hệ thống hơn là bắt buộc. Có một công thức cho fi nding giải pháp cho một bậc hai phương trình
AX2 + bx + c = 0. (3.7)
58 yếu tố của Toán học Kinh tế và Tài chính
Công thức có thể được bắt nguồn bởi các quá trình được gọi là hoàn thành các hình vuông đã được giới thiệu ở mục 3.2. Chúng tôi giả sử rằng a =? 0. Sử dụng (3.6), chúng tôi thấy rằng (3.7) là tương đương với một? X + b 2a? 2 + 4ac-b2 4a = 0. Chia cả hai vế cho a và lấy hạn cuối cùng để các bên phải sản lượng? X + b 2a? 2 = b2 -4ac 4a2. Bây giờ lấy căn bậc hai của cả hai bên cho x + b 2a = ±? B2 -4ac 4a2 = ± √b2 -4ac 2a. Cuối cùng, trừ b / (2a) từ cả hai bên chúng tôi đến các công thức cho gốc rễ của một phương trình bậc hai: x = -b ± √b2 -4ac 2a. (3.8) Đây là một công thức quan trọng cho rễ (có nghĩa là, các giải pháp) của một phương trình bậc hai, mà chúng tôi nêu rõ: Các giải pháp của phương trình bậc hai AX2 + bx + c = 0 là x = -b ± √b2 -4ac 2a .
số lượng các giải pháp của một phương trình bậc hai phụ thuộc vào dấu của biểu thức dưới dấu căn bậc trong công thức này. Một phương trình bậc hai có hai, một hoặc không có các giải pháp tùy thuộc vào việc các -4ac biểu b2 là tích cực, bằng không, hoặc tiêu cực: • Nếu -4ac b2> 0, có hai giải pháp x = -b + √b2 -4ac 2a và x = -b-√b2 -4ac 2a. • Nếu -4ac b2 = 0, sau đó có một giải pháp x = - b 2a. • Nếu -4ac b2 <0, sau đó không có giải pháp từ căn bậc hai của -4ac b2 không tồn tại trong trường hợp này.