Example 2.8.2 The set R× of non-zer

Example 2.8.2 The set R× of non-zero real numbers is a 1-dimensional
Lie group, with multiplication as the operation and with neutral element
1. Likewise the set C× of non-zero complex numbers is a 2-dimensional Lie
group, with complex multiplication as the operation. The smooth structure
is determined by the chart (x1, x2) 7→ x1 + ix2. The product
xy = (x1 + ix2)(y1 + iy2) = x1y1 − x2y2 + i(x1y2 + x2y1)
is a smooth function of the entries, and so is the inverse
x−1 = (x1 + ix2)−1 = x1 − ix2
x2
1 + x2 2 .
Example 2.8.3 Let G = SO(2), the group of all 2 × 2 real matrices which
are orthogonal, that is, they satisfy the relation AAt = I, and which have
determinant 1. The set G is in one-to-one correspondence with the unit circle
in R2 by the map
(x1, x2) 7→  − xx 12 x x2 1 .
If we give G the smooth structure so that this map is a diffeomorphism,
then it becomes a 1-dimensional Lie group, called the circle group. The
multiplication of matrices is given by a smooth expression in x1 and x2, and
so is the inversion x 7→ x−1, which only amounts to a change of sign on x2.
Example 2.8.4 Let G = GL(n, R), the set of all invertible n × n matrices.
It is a group, with matrix multiplication as the operation. It is a manifold
in the following fashion. The set M(n, R) of all real n × n matrices is in
bijective correspondence with Rn2 and is therefore a manifold of dimension
n2. The subset G = {A ∈ M(n, R) | det A 6= 0} is an open subset, because
the determinant function is continuous. Hence G is a manifold.
Furthermore, the matrix multiplication M(n, R) × M(n, R) → M(n, R) is
given by smooth expressions in the entries (involving products and sums),
hence it is a smooth map. It follows that the restriction to G × G is also
smooth.
Finally, the map x 7→ x−1 is smooth G → G, because according to
Cramer’s formula the entries of the inverse x−1 are given by rational functions in the entries of x (with the determinant in the denominator). It follows
that G = GL(n, R) is a Lie group.
Example 2.8.5 Let G be an arbitrary group, equipped with the discrete
topology (see Example 2.3.4). It is a 0-dimensional Lie group.
Theorem 2.8. Let G ⊂ GL(n, R) be a subgroup which is also a manifold in
Rn2. Then G is a Lie group.

Kết quả (Việt) 1:

Ví dụ 2.8.2 × thiết lập R của các số thực không là một 1-chiềuNói dối nhóm, với phép nhân là các hoạt động và trung tính nguyên tố1. tương tự như vậy × tập C của không số phức là một lời nói dối 2 chiềuNhóm, với các phép nhân phức tạp như các hoạt động. Cấu trúc mịnđược xác định bởi 7→ bảng xếp hạng (x 1, x 2) x 1 + ix2. Sản phẩmxy = (x 1 + ix2)(y1 + iy2) = x1y1 − x2y2 + i (x1y2 + x2y1)là một chức năng mịn của các mục, và do đó là nghịch đảox−1 = (x 1 + ix2) −1 = x 1 − ix2x 21 + x 2 2.Ví dụ 2.8.3 cho G = SO(2), nhóm của tất cả 2 × 2 Ma trận thực màđược trực giao, có nghĩa là, họ đáp ứng mối quan hệ AAt = tôi, và đó cóyếu tố quyết định 1. Các thiết lập G là trong-một sự trao đổi với vòng tròn đơn vịtrong R2 bởi bản đồ(x 1, x 2) 7→ − xx 12 x x 2 1.Nếu chúng tôi cung cấp cho G cấu trúc mịn để cho bản đồ này là một diffeomorphism,sau đó, nó sẽ trở thành một nhóm Lie chiều 1, được gọi là nhóm vòng tròn. Cácphép nhân ma trận được đưa ra bởi một biểu hiện mịn trong x 1, x 2, vàVì vậy, là x−1 x 7→ đảo ngược, chỉ số tiền đến một sự thay đổi của dấu hiệu trên x 2.Ví dụ 2.8.4 cho G = GL (n, R), tập hợp của tất cả các ma trận khả nghịch n × n.Đó là một nhóm với phép nhân ma trận như các hoạt động. Nó là một đa tạptrong thời trang sau. M (n, R) thiết lập tất cả thực sự n × n ma trận là trongsong ánh sự trao đổi với Rn2 và do đó là một đa tạp của kích thướcN2. Tập hợp con G = {một ∈ M (n, R) | det một 6 = 0} là một tập hợp con mở, bởi vìCác chức năng quyết định là liên tục. Vì thế G là một đa tạp.Hơn nữa, các phép nhân ma trận M (n, R) × M (n, R) → M (n, R) làđược đưa ra bởi các biểu thức mịn trong entries (liên quan đến sản phẩm và số tiền),do đó, nó là một bản đồ mịn. Nó sau những hạn chế để G × G là cũngmịn.Cuối cùng, x−1 x 7→ bản đồ là mịn G → G, bởi vì theoCramer's công thức mục x−1 nghịch đảo được đưa ra bởi chức năng hợp lý trong các mục x (với yếu tố quyết định trong các mẫu số). Nó saumà G = GL (n, R) là một nhóm Lie.Ví dụ 2.8.5 cho G là một nhóm tùy ý, được trang bị với các rời rạccấu trúc liên kết (xem ví dụ 2.3.4 bật). Nó là một nhóm Lie 0-chiều.Định lý 2.8. Hãy để G ⊂ GL (n, R) là một nhóm con cũng là một đa tạp trongRn2. Sau đó G là một nhóm Lie.

Kết quả (Việt) 2:

Ví dụ 2.8.2 Các bộ × R-zero không số thực là một 1 chiều
nhóm Lie, với phép nhân như các hoạt động và với các phần tử trung tính
1. Tương tự như vậy các tập C × khác không số phức là một Lie 2 chiều
nhóm, với phép nhân phức tạp như các hoạt động. Các cấu trúc mịn màng
được xác định bởi các biểu đồ (x1, x2) 7 → x1 + IX2. Các sản phẩm
xy = (x1 + IX2) (y1 + iy2) = x1y1 - x2y2 + i (x1y2 + x2y1)
là một chức năng trơn tru của các mục, và như vậy là nghịch đảo
x-1 = (x1 + IX2) -1 = x1 - IX2
x2
1 + x2 2.
Ví dụ 2.8.3 Cho G = SO (2), nhóm của tất cả 2 × 2 ma trận thực sự mà
là trực giao, đó là, họ đáp ứng các mối quan hệ AAT = I, và trong đó có
yếu tố quyết định 1 . Các thiết lập G là trong một-một trong những thư với các vòng tròn đơn vị
trong R2 bởi các bản đồ
(x1, x2) 7 →? -?. Xx 12 x x2 1
Nếu chúng ta cho G cấu trúc mịn để bản đồ này là một diffeomorphism,
sau đó nó sẽ trở thành một nhóm Lie 1 chiều, gọi là nhóm vòng tròn. Các
phép nhân các ma trận được đưa ra bởi một biểu hiện trơn tru trong x1 và x2, và
như vậy là nghịch đảo x 7 → x-1, trong đó chỉ chiếm một sự thay đổi của các dấu hiệu trên x2.
Ví dụ 2.8.4 Cho G = GL (n, R ), tập hợp của tất cả n nghịch × n ma trận.
Đó là một nhóm, với phép nhân ma trận là các hoạt động. Nó là một đa tạp
trong thời trang dưới đây. Các bộ M (n, R) của tất cả các n thực × n ma trận là trong
thư song ánh với Rn2 và do đó là một đa tạp của kích thước
n2. Các tập hợp con G = {A ∈ M (n, R) | det A 6 = 0} là một tập con mở, bởi vì
các chức năng tố quyết định là liên tục. Do đó G là một đa tạp.
Hơn nữa, nhân ma trận M (n, R) × M (n, R) → M (n, R) được
cho bởi biểu thức thông suốt trong các mục (liên quan đến sản phẩm và số tiền),
do đó nó là một Bản đồ trơn tru. Nó sau đó những hạn chế để G × G cũng là
trơn tru.
Cuối cùng, bản đồ x 7 → x-1 là mịn G → G, vì theo
công thức Cramer của các mục của nghịch đảo x-1 được đưa ra bởi chức năng hợp lý trong các mục của x (với các yếu tố quyết định trong các mẫu số). Nó sau
đó G = GL (n, R) là một nhóm Lie.
Ví dụ 2.8.5 Cho G là một nhóm tùy tiện, trang bị rời rạc
topology (xem Ví dụ 2.3.4). Đây là một nhóm Lie 0-chiều.
Định lý 2.8. Cho G ⊂ GL (n, R) là một phân nhóm cũng là một đa tạp trong
Rn2. Sau đó G là một nhóm Lie.