There is also a special sequence ca

There is also a special sequence called the null sequence. This is a sequence with no elements, much as the empty set in set theory is the set with no elements. The null sequence in Maple is referenced by the keyword NULL. As such, putting the null sequence in any sequence doesn’t change the sequence at all.
 > NULL, a, b, c; a, b, c, NULL; a, b, NULL, c

 a, b, c
 a, b, c
 a, b, c
Using a null sequence allows a list to be built up by parts within a variable, a little
like the total variable was in the previous subsection.
. > S := NULL

. > S := S, a, b, c

. > S := S, d, e

S :=

S := a, b, c


S := a, b, c, d, e

If we want to produce a sequence that follows a fairly predictable pattern, we have a handy command, seq. To print out the first ten squares we simply input
. > seq(k2, k = 1..10)
1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100
or for something a little more complicated
. 2 k .

 > seq



3 • k

+ 2 , k = 4..15

155
50, 2 , 111,

301
2 , 196,

495
2 , 305,

737
2 , 438,

1027
2 , 595,
b

1365


2

In general, to have Maple print out the sequence {xn}n=a we use the command
seq(xn, n = a..b). There is a shortcut that can be applied if we wish to repeat the same
term multiple times, which will come in handy when we do some calculus. To do this we use the sequence operator ($).
. > x$4
x, x, x, x
This sequence operator can be used as a shortcut to the seq command, but be warned that it isn’t quite as flexible as the seq command (see Exercises 5 and 6).
If we have a sequence, we may wish to use only a subsequence of it, or perhaps only a single element. Maple allows this through indexing using the index operator [], or through subscripting in the graphical editor. Be warned, subscripting is a shorthand for the square bracket operator. If unsure, use square brackets. For subsequences we also use the range (..) operator.
. > S := seq(k2, k = 1..10);
S := 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100
 > S[3]; S4;


16

8 1 Number Theory
 > S[5..8]; S3..7




 > S[..4]; S..3; S[6..]; S7..







25, 36, 49, 64
9, 16, 25, 36, 49


1, 4, 9, 16
1, 4, 9
36, 49, 64, 81, 100
49, 64, 81, 100

In the latter example, the “half ranges” ..n and m.. mean “the first n elements” and “from the mth to the last element,” respectively. Such notions make sense because we are indexing a sequence that contains only a finite number of elements. An alternate way of thinking of these ranges is to consider that Maple automatically inserts the beginning or the end index for the missing number as appropriate.
We now look at two related notions to sequences: lists and sets. Syntactically, a list or set is just a sequence enclosed in [] or {}, respectively. Sets are unsorted and ignore
duplication, as should be expected by the reader familiar with elementary set theory. Lists are ordered and allow duplications. Both lists and sets can be nested, which makes them distinct in behavior from sequences. Lists and sets are also useful for removing ambiguity when trying to have a function recognize a sequence as a single input, an example of which can be seen in Exercise 14.
 > L := [1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4]; S := {1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4}




 > [L, S]; {L, S}



L := [1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4]
S := {1, 2, 3, 4}

[[1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4], {1, 2, 3, 4}]
{[1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4], {1, 2, 3, 4}}

Lists and sets may be indexed exactly as with a sequence, with the difference that if a range (using the .. operator) is given for the index, then a list or set, respectively, is produced. Indexing a single element produces only the element as with a sequence
. > L[1], L2, S[3], S4

. > L[3..5], L..3, S[3..], S2..3

1, 1, 2, 2

[2, 2, 3], [1, 1, 2], {3, 4}, {2, 3}

Observe that in the above two examples we have used a sequence to display the results of the calculations on a single line.
If we wish to know whether a list or a set contains a particular element, we may use the in operator. This may be thought of as being the ∈ operator, and is even printed
as such in Maple.
. > 1 in S
1 ∈ S
This command on its own does nothing but write itself out again with the element
symbol. In order to have Maple actually tell us whether 1 ∈ S (in the above case) then we need to use the is or evalb commands. We saw is in Section 1.1.3. Both functions
return a value of either true or false. In fact the function evalb is short for “evaluate
as Boolean” where a Boolean value is either true or false.

Kết quả (Việt) 1:

Đó cũng là một chuỗi đặc biệt gọi là dãy null. Đây là một chuỗi không có yếu tố, nhiều càng tập rỗng trong lý thuyết tập hợp là tập hợp không có yếu tố. Trình tự trống trong Maple được tham chiếu bởi từ khoá NULL. Như vậy, đưa dãy không theo bất kỳ thứ tự không thay đổi trình tự ở tất cả. > NULL, a, b, c; a, b, c, NULL; a, b, NULL, c  a, b, c a, b, c a, b, cSử dụng một chuỗi không cho phép một danh sách để được xây dựng bởi các bộ phận trong một biến, một chútnhư biến tất cả vào tiểu mục trước đó.. > S: = NULL . > S: = S, a, b, c. > S: S, d, e = S: =S: = a, b, cS: = a, b, c, d, e Nếu chúng tôi muốn tạo ra một trình tự sau một mô hình khá dự đoán được, chúng tôi có một lệnh tiện dụng, và In ra các hình vuông mười lần đầu tiên chúng tôi chỉ đơn giản là đầu vào. > seq (k2, k = 1..10)1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100hoặc cho một cái gì đó nhiều hơn một chút phức tạp. 2 k.  > seq 3 • k + 2, k = 4..15 15550, 2, 111, 3012, 196, 4952, 305, 7372, 438, 10272, 595,b 1365 2 Nói chung, có Maple in ra chuỗi {xn} n = một chúng tôi sử dụng lệnhseq (xn, n = một.. b). là có một phím tắt có thể được áp dụng nếu chúng ta muốn lặp lại cùng mộtthuật ngữ nhiều lần, mà sẽ có ích khi chúng tôi làm một số tính toán. Để làm điều này, chúng tôi sử dụng các nhà điều hành chuỗi ($).. > x$ 4x, x, x, xNhà điều hành chuỗi này có thể được sử dụng như một phím tắt để lệnh seq, nhưng được cảnh báo rằng nó không phải là khá linh hoạt như seq lệnh (xem bài tập 5 và 6).Nếu chúng tôi có một chuỗi, chúng tôi có thể sử dụng chỉ là một subsequence của nó, hoặc có lẽ chỉ là một yếu tố duy nhất. Maple cho phép điều này thông qua chỉ mục bằng cách sử dụng [] nhà điều hành chỉ mục, hoặc subscripting trong trình soạn thảo đồ họa. Được cảnh báo, subscripting là viết tắt cho các nhà điều hành quảng trường khung. Nếu không chắc chắn, sử dụng dấu ngoặc vuông. Đối với subsequences, chúng tôi cũng sử dụng các nhà điều hành phạm vi (.).. > S: = seq (k2, k = 1..10);S: = 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100 > S [3]; S4;16 8 lý thuyết số 1 > S [5..8]; S3... 7  > S [.. 4]; S.. 3; S [6...]; S7... 25, 36, 49, 649, 16, 25, 36, 491, 4, 9, 161, 4, 936, 49, 64, 81, 10049, 64, 81, 100 Trong ví dụ sau, "một nửa dãy"... n và m... có nghĩa là "các yếu tố n đầu tiên" và "từ mth cho phần tử cuối cùng," tương ứng. Khái niệm như vậy có ý nghĩa bởi vì chúng tôi lập chỉ mục một chuỗi có chứa chỉ là một số hữu hạn các yếu tố. Một cách thay thế của tư duy của các phạm vi này là để xem xét Maple tự động chèn vào đầu hoặc các chỉ số kết thúc cho số phù hợp.Chúng tôi bây giờ nhìn vào hai khái niệm có liên quan đến trình tự: danh sách và trình bày. Cú pháp, một danh sách hoặc tập hợp là chỉ một chuỗi các đính kèm trong [] hoặc (), tương ứng. Bộ được phân loại và bỏ quasao chép, như nên được mong đợi của người đọc quen thuộc với tiểu học lý thuyết tập hợp. Danh sách được sắp xếp và cho phép đôi. Danh sách và bộ có thể được lồng nhau, mà làm cho chúng khác biệt trong hành vi từ trình tự. Danh sách và bộ cũng có ích để loại bỏ sự mơ hồ khi cố gắng để có một chức năng công nhận một chuỗi như là một đầu vào duy nhất, một ví dụ trong đó có thể được nhìn thấy trong tập thể dục 14. > L: = [1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4]; S: = {1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4}  > [L, S]; {L, S} L: = [1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4]S: = {1, 2, 3, 4}[[1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4], {1, 2, 3, 4}]{[1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4], {1, 2, 3, 4}} Danh sách và bộ có thể được lập chỉ mục chính xác như với một chuỗi, với sự khác biệt đó nếu một phạm vi (bằng cách sử dụng các... nhà điều hành) được đưa ra cho các chỉ mục, sau đó một danh sách hoặc tập hợp, tương ứng, được sản xuất. Đánh chỉ mục một yếu tố duy nhất tạo ra chỉ là các yếu tố như với một chuỗi. > L [1], L2, S [3], S4 . > L [3..5], L.. 3, S [3..], S2. 3 1, 1, 2, 2[2, 2, 3], [1, 1, 2], {3, 4} {2, 3} Quan sát mà trong ví dụ trên, hai, chúng tôi đã sử dụng một trình tự để hiển thị các kết quả tính toán trên một dòng đơn.Nếu chúng tôi muốn biết liệu một danh sách hoặc một tập hợp có một yếu tố cụ thể, chúng tôi có thể sử dụng các nhà điều hành tại. Điều này có thể được dùng như là các nhà điều hành ∈, và thậm chí được innhư vậy trong Maple.. > 1 thuộc S1 ∈ SLệnh này ngày của riêng mình không có gì nhưng viết chính nó ra một lần nữa với các yếu tốbiểu tượng. Để có phong thực sự cho chúng tôi biết cho dù 1 ∈ S (trong trường hợp trên) sau đó chúng tôi cần phải sử dụng các là hoặc evalb lệnh. Chúng tôi thấy là trong phần 1.1.3. Cả hai chức năngtrở về giá trị hoặc là đúng hoặc sai. Trong thực tế evalb chức năng là ngắn cho "đánh giánhư Boolean"nơi một giá trị Boolean là đúng hoặc sai.

Kết quả (Việt) 2:

Ngoài ra còn có một trình tự đặc biệt được gọi là chuỗi null. Đây là một chuỗi không có các yếu tố, nhiều như các tập rỗng trong lý thuyết tập hợp là tập hợp rỗng. Các chuỗi null trong Maple được tham chiếu bởi NULL từ khóa. Như vậy, việc đưa các chuỗi null trong bất kỳ trình tự không thay đổi trình tự nào cả.
> NULL, a, b, c; a, b, c, NULL; a, b, NULL, c

 a, b, c
 a, b, c
 a, b, c
Sử dụng một chuỗi rỗng cho phép một danh sách được xây dựng bởi các bộ phận trong một biến, một chút
như tổng biến là ở phần
trước.> S:. = NULL. > S: = S, a, b, c. > S: = S, d, e S: = S: = a, b, c S: = a, b, c, d, e Nếu chúng tôi muốn tạo ra một chuỗi mà sau một mô hình rất dễ đoán, chúng tôi có một tiện dụng lệnh, seq. Để in ra mười ô vuông đầu tiên, chúng tôi chỉ đơn giản là đầu vào. > Seq (k2, k = 1..10) 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100 hoặc cho một chút gì đó phức tạp hơn. 2 k. > seq   3 • k + 2, k = 4..15 155 50, 2, 111, 301 2, 196, 495 2, 305, 737 2, 438, 1027 2, 595, b 1365 2 Nói chung, để có Maple in ra dãy {xn} n = a chúng ta sử dụng lệnh seq (xn, n = a..b). Có một phím tắt có thể được áp dụng nếu chúng ta muốn lặp lại cùng một hạn nhiều lần, trong đó sẽ có ích khi chúng ta làm một số tính toán. Để làm được điều này chúng tôi sử dụng các nhà điều hành chuỗi ($)..> X 4 $ x, x, x, x hành trình tự này có thể được sử dụng như một phím tắt cho lệnh seq, nhưng được cảnh báo rằng nó không phải là khá linh hoạt như các seq lệnh (xem bài tập 5 và 6). Nếu chúng ta có một chuỗi, chúng ta có thể sử dụng chỉ một dãy con của nó, hoặc có lẽ chỉ có một yếu tố duy nhất. Maple cho phép điều này thông qua các chỉ mục bằng cách sử dụng toán tử chỉ số [], hoặc thông qua subscripting trong trình soạn thảo đồ họa. Được cảnh báo, subscripting là một cách viết tắt cho các nhà điều hành khung vuông. Nếu không chắc chắn, sử dụng dấu ngoặc vuông. . Đối với subsequences chúng tôi cũng sử dụng khoảng (..) điều hành.> S: = seq (k2, k = 1..10); S: = 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 , 100 > S [3]; S4;   16 8 1 số lý thuyết > S [5..8]; S3..7   > S [.. 4]; S..3; S [6 ..]; S7 ..       25, 36, 49, 64 9, 16, 25, 36, 49 1, 4, 9, 16 1, 4, 9 36, 49, 64, 81, 100 49, 64, 81, 100 Trong ví dụ sau, "phạm vi nửa" ..n và m .. có nghĩa là "các yếu tố đầu tiên n" và "từ mth đến yếu tố cuối cùng," tương ứng. Những quan niệm như vậy có ý nghĩa bởi vì chúng tôi đang lập chỉ mục một chuỗi chỉ chứa một số hữu hạn các phần tử. Một cách thay thế tư duy của các phạm vi này là xem xét rằng Maple sẽ tự động chèn vào đầu hoặc chỉ số cuối cho số mất tích một cách thích hợp. Bây giờ chúng ta nhìn vào hai khái niệm có liên quan đến trình tự: danh sách và bộ. Cú pháp, một danh sách hoặc tập chỉ là một chuỗi khép kín trong [] hoặc {}, tương ứng. Bộ là không được phân loại và bỏ qua sự trùng lặp, như nên được dự kiến bởi các độc giả quen thuộc với lý thuyết tập tiểu. Danh sách được ra lệnh và cho phép trùng lặp. Cả hai danh sách và các bộ có thể được lồng vào nhau, mà làm cho họ khác biệt trong hành vi từ các trình tự. Danh sách và bộ cũng rất hữu ích để loại bỏ sự mơ hồ khi cố gắng để có một hàm nhận một chuỗi như là một đầu vào duy nhất, một ví dụ trong số đó có thể được nhìn thấy trong bài tập 14. > L: = [1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4]; S: = {1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4}   > [L, S]; {L, S}   L: = [1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4] S: = {1, 2, 3, 4} [[1, 1, 2, 2, 3 , 3, 4, 4], {1, 2, 3, 4}] {[1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4], {1, 2, 3, 4}} Chức năng và bộ có thể được lập chỉ mục một cách chính xác như với một chuỗi, với sự khác biệt mà nếu một phạm vi (bằng cách sử dụng các toán tử ..) được trao cho các chỉ số, sau đó là một danh sách hoặc thiết lập, tương ứng, được sản xuất. Lập chỉ mục cho một yếu tố duy nhất chỉ còn sản xuất các yếu tố như với một chuỗi. > L [1], L2, S [3], S4. > L [3..5], L..3, S [3 ..], S2..3 1, 1, 2, 2 [2, 2, 3], [1, 1, 2], {3 , 4}, {2, 3} Quan sát rằng trong hai ví dụ trên chúng ta đã sử dụng một trình tự để hiển thị các kết quả của các tính toán trên một dòng duy nhất. Nếu chúng ta muốn biết liệu một danh sách hoặc một tập hợp chứa một yếu tố đặc biệt, chúng tôi có thể sử dụng trong điều hành. Đây có thể được coi như là các nhà điều hành ∈, và thậm chí còn được in như vậy trong Maple..> 1 trong S 1 ∈ S lệnh này tự nó không làm gì nhưng viết chính nó ra một lần nữa với các yếu tố biểu tượng. Để có Maple thực sự cho chúng tôi biết 1 ∈ S (trong trường hợp trên) thì chúng ta cần phải sử dụng các lệnh đang hoặc evalb. Chúng ta đã thấy tại mục 1.1.3. Cả hai hàm trả về giá trị đúng hoặc sai. Trong thực tế, chức năng evalb là viết tắt của "đánh giá là Boolean", nơi một giá trị Boolean là đúng hoặc sai.