Nonlinear Equations 4.1 Examples 4.

Nonlinear Equations
4.1 Examples
4.1.1 A Transcendental Equation
Nonalgebraic equations are referred to as being "transcendental." An example is cos x cosh x 1 (4.2) and is typical for equations arising in problems of resonance. Before one starts computing roots, it is helpful to gather some qualitative properties about them: symmetries among the How many roots are there? approximately are they located? With regard to symmetry, one notes immediately from (4.2) that the roots are located symmetrically with respect to the origin: if a is a root, so is -a. Also, a 0 is a trivial root (which is uninteresting in applications) It suffices therefore to consider positive roots.
A quick way to get insight into the number and location of roots of (4-2) is to divide the equation by cosx and to rewrite it in the form cosh x (4.3) cos x
No roots are being lost by this transformation, since clearly cosx 0 at any root observes where the two graphs intersect. The respective abscissae of intersection are the desired (rea) roots of (4.2). This is illustrated in Fig. 4.1 (not drawn to scale) It is evident from this figure that there are infinitely many positive roots. Indeed, each interval [(2n 1,2,3 has exactly two roots, an Bn, with an rapidly approaching the left endpoint, and Bn the right endpoint, as n increases. These account for all positive roots and thus, by symmetry, for all nonvanishing real roots. In applications, it is likely that only the smallest positive root, a1, will be of interest.
4.1.2 A Two-Point Boundary Value Problem
Here we are looking for a function y e C10, ll satisfying the differential equation (4.4) and the boundary conditions (4.5)

Kết quả (Việt) 1:

Phương trình phi tuyến 4.1 ví dụ 4.1.1 một phương trình siêu Việt Nonalgebraic phương trình được gọi là "siêu Việt". Một ví dụ là cos x cosh x 1 (4.2) và là điển hình cho phương trình phát sinh trong các vấn đề của cộng hưởng. Trước khi một trong những bắt đầu máy tính nguồn gốc, nó là hữu ích để thu thập một số đặc tính chất lượng về họ: sự trong số những cách thức nhiều rễ là có? họ nằm xấp xỉ? Đối với các đối xứng, một ghi chú ngay lập tức từ (4.2) các rễ được đặt đối xứng đối với nguồn gốc: nếu một là một gốc, vì vậy là - một. Ngoài ra, một 0 là một gốc tầm thường (đó là uninteresting trong ứng dụng) nó suffices do đó cần xem xét nguồn gốc tích cực. Một cách nhanh chóng để có được cái nhìn sâu sắc vào số lượng và vị trí của rễ (4-2) là để chia các phương trình cosx và viết lại nó trong hình thức cosh x (4.3) cos x Không có rễ đang bị mất bởi chuyển đổi này, vì rõ ràng cosx 0 bất kỳ gốc quan sát nơi giao nhau của hai đồ thị. Abscissae giao điểm, tương ứng là rễ mong muốn (rea) (4.2). Điều này được minh họa trong hình 4.1 (không được rút ra để quy mô), nó là điều hiển nhiên từ con số này đang vô cùng nhiều rễ tích cực. Thật vậy, mỗi khoảng thời gian [(2n 1,2,3 có nguồn gốc từ chính xác hai, Bn một, với một nhanh chóng tiếp cận endpoint trái, và Bn điểm cuối bên phải, như n tăng. Tài khoản cho tất cả các rễ tích cực và do đó, bởi sự đối xứng, cho tất cả rễ nonvanishing thực sự. Trong các ứng dụng, có thể chỉ nhỏ nhất tích cực gốc, a1, sẽ quan tâm. 4.1.2 một vấn đề giá trị hai điểm biên Ở đây chúng tôi đang tìm kiếm một chức năng y e C10, ll thỏa mãn phương trình vi phân (4.4) và các điều kiện biên (4,5)