The intention of this article is to

The intention of this article is to present the definitions of different functionals of the Earth’s gravity
field and possibilities for their approximative calculation from a mathematical representation of the
outer potential. In history this topic has usually been treated in connection with the boundary value
problems of geodesy, i.e. starting from measurements at the Earth’s surface and their use to derive a
mathematical representation of the geopotential.
Nowadays global gravity field models, mainly derived from satellite measurements, become more and
more detailed and accurate and, additionally, the global topography can be determined by modern satel-
lite methods independently from the gravity field. On the one hand the accuracy of these gravity field
models has to be evaluated and on the other hand they should be combined with classical (e.g. gravity
anomalies) or recent (e.g. GPS-levelling-derived or altimetry-derived geoid heights) data. Furthermore,
an important task of geodesy is to make the gravity field functionals available to other geosciences. For
all these purposes it is necessary to calculate the corresponding functionals as accurately as possible
or, at least, with a well-defined accuracy from a given global gravity field model and, if required, with
simultaneous consideration of the topography model.
We will start from the potential, formulate the definition of some functionals and derive the formulas
for the calculation. In doing so we assume that the Earth’s gravity potential is known outside the
masses, the normal potential outside the ellipsoid and that mathematical representations are available
for both. Here we neglect time variations and deal with the stationary part of the potential only.
Approximate calculation formulas with different accuracies are formulated and specified for the case
that the mathematical representation of the potential is in terms of spherical harmonics. The accuracies
of the formulas are demonstrated by practical calculations using the gravity field model EIGEN-6C2
(F¨rste et al., 2012).o
More or less, what is compiled here is well-known in physical geodesy but distributed over a lot of
articles and books which are not cited here. In the first instance this text is targeted at non-geodesists
and it should be “stand-alone readable”.
Textbooks for further study of physical geodesy are (Heiskanen & Moritz, 1967; Pick et al., 1973;
Van´cek & Krakiwsky, 1982; Torge, 1991; Moritz, 1989; Hofmann-Wellenhof & Moritz, 2005).ıˇ

Kết quả (Việt) 1:

Mục đích của bài viết này là để trình bày definitions different functionals của lực hấp dẫn của trái đấtQuấn và khả năng của họ tính toán approximative từ toán học là một đại diện của cáctiềm năng bên ngoài. Trong lịch sử chủ đề này đã thường được điều trị kết hợp với các giá trị biên giớivấn đề về đo đạc, tức là bắt đầu từ các đo đạc tại bề mặt trái đất và sử dụng của họ để lấy được mộttoán học đại diện của geopotential. Mô hình lực hấp dẫn toàn cầu ngày nay quấn chủ yếu có nguồn gốc từ số đo truyền hình vệ tinh, trở thành nhiều hơn vàchi tiết và chính xác hơn và, ngoài ra, địa hình toàn cầu có thể được xác định bởi hiện đại satelLite phương pháp một cách độc lập từ quấn lực hấp dẫn. Trên một độ chính xác của lực hấp dẫn quấn tayMô hình đã được đánh giá và trên mặt khác họ nên được kết hợp với cổ điển (ví dụ như trọng lựcdị thường) hoặc dữ liệu (ví dụ như GPS-San lấp mặt bằng-có nguồn gốc hoặc nguồn gốc độ geoid heights) gần đây. Hơn nữa,một nhiệm vụ quan trọng của đo đạc là làm cho lực hấp dẫn quấn functionals có sẵn cho khoa học địa chất khác. ChoTất cả các mục đích này, nó là cần thiết để tính toán các functionals tương ứng chính xác càng tốthoặc ít nhất, với độ chính xác tốt-defined từ một mô hình quấn cho lực hấp dẫn toàn cầu, và nếu cần thiết, vớiđồng thời xem xét mô hình địa hình. Chúng tôi sẽ bắt đầu từ tiềm năng, xây dựng definition một số functionals và lấy công thứcđể tính toán. Làm như vậy chúng ta giả sử lực hấp dẫn của trái đất tiềm năng được biết đến ở bên ngoài cáckhối lượng, tiềm năng bình thường ở bên ngoài ellipsoid và tuyên bố rằng toán học có sẵncho cả hai. Ở đây chúng tôi bỏ qua thời gian biến thể và đối phó với các phần di chuyển của các tiềm năng chỉ. Ước tính toán công thức với different phàm được xây dựng và specified cho các trường hợpcách trình bày toán học tiềm năng là trong điều khoản của hình cầu hài. Phàm nhữngcông thức được chứng minh bằng thực tế tính toán bằng cách sử dụng các mô hình lực hấp dẫn quấn EIGEN - 6C 2(F¨rste và ctv., 2012) .o Nhiều hơn hoặc ít hơn, những gì được biên dịch ở đây là nổi tiếng trong vật lý trắc địa nhưng phân phối hơn rất nhiềubài báo và sách mà không trích dẫn ở đây. Trong trường hợp vòng văn bản này là mục tiêu không phải của geodesistsvà nó nên "độc lập có thể đọc được". Sách giáo khoa cho nghiên cứu thêm về trắc địa vật lý là (Heiskanen & Moritz, 1967; Chọn et al., 1973;Van´cek & Krakiwsky, 1982; Torge, năm 1991; Moritz, năm 1989; Hofmann-Wellenhof & Moritz, 2005). ıˇ

Kết quả (Việt) 2:

Mục đích của bài viết này là để trình bày các định nghĩa fi de của functionals erent di ff của lực hấp dẫn của Trái đất
fi lĩnh và khả năng tính toán approximative của họ từ một đại diện toán học của các
tiềm năng bên ngoài. Trong lịch sử chủ đề này đã thường được điều trị kết hợp với các giá trị ranh giới
các vấn đề về đo đạc, tức là bắt đầu từ các phép đo trên bề mặt của Trái đất và sử dụng chúng để lấy được một
đại diện toán học của geopotential.
Mô hình lực hấp dẫn fi lĩnh Ngày nay toàn cầu, chủ yếu là từ việc đo đạc vệ tinh, càng trở nên
chi tiết và chính xác hơn, và thêm vào đó, địa hình toàn cầu có thể được xác định bởi satel- hiện đại
phương pháp lite độc lập từ các lĩnh lực hấp dẫn fi. Một mặt chính xác của các fi lĩnh lực hấp dẫn
mô hình đã được đánh giá và mặt khác họ nên được kết hợp với cổ điển (ví dụ như lực hấp dẫn
bất thường) hay gần đây (ví dụ như GPS-san-nguồn gốc hoặc chiều cao geoid altimetry có nguồn gốc từ) dữ liệu. Hơn nữa,
một nhiệm vụ quan trọng về đo đạc là làm cho functionals lĩnh lực hấp dẫn fi có sẵn cho khoa học địa lý khác. Đối với
tất cả các mục đích nó là cần thiết để tính toán functionals tương ứng càng chính xác càng tốt
, hoặc ít nhất, với một fi chính xác ned cũng-de từ một mô hình fi lĩnh lực hấp dẫn toàn cầu nhất định và, nếu cần thiết, có
xem xét đồng thời của các mô hình địa hình.
Chúng tôi sẽ bắt đầu từ các tiềm năng, xây dựng các định nghĩa fi de của một số functionals và lấy được các công thức
để tính toán. Khi làm như vậy, chúng tôi cho rằng tiềm năng lực hấp dẫn của Trái đất được biết đến bên ngoài
quần chúng, khả năng bình thường bên ngoài ellipsoid và đại diện toán học có sẵn
cho cả hai. Ở đây chúng ta bỏ qua các biến thời gian và đối phó với các phần tĩnh của các chỉ tiềm năng.
Công thức tính toán xấp xỉ với độ chính xác erent di ff được xây dựng và ed fi cụ thể đối với trường hợp
mà các đại diện toán học của các tiềm năng về sóng hài hình cầu. Các độ chính xác
của các công thức được chứng minh bởi các tính toán thực tế bằng cách sử dụng lực hấp dẫn fi lĩnh mô hình Eigen-6C2
(F¨rste et al., 2012) .o
Nhiều hơn hoặc ít hơn, những gì được biên dịch ở đây là nổi tiếng trong trắc địa vật lý nhưng phân bố trên nhiều các
bài báo và sách mà không được trích dẫn ở đây. Trong ví dụ đầu tiên kinh văn này là mục tiêu không geodesists
. Và nó phải được "độc lập có thể đọc được"
Sách giáo khoa để nghiên cứu thêm về đo đạc vật lý (Heiskanen & Moritz, 1967;. Pick et al, 1973;
Van'cek & Krakiwsky , 1982; Torge, 1991; Moritz, 1989; Hofmann-Wellenhof & Moritz, 2005) .I