§1. The case when there are finitel

§1. The case when there are finitely many points, lines, etc.

The nodes of an infinite graph paper are painted two colours. Prove that there exist two horizontal and two vertical lines on whose intersection lie points of the same colour.

Inside an equilateral triangle with side 1 five points are placed. Prove that the distance between certain two of them is shorter than 0.5.
In a 3 × 4 rectangle there are placed 6 points.√Prove that among them there are
two points the distance between which does not exceed 5.

On an 8 × 8 checkboard the centers of all the cells are marked. Is it possible to divide the board by 13 straight lines so that in each part there are not more than 1 of marked points?

Given 25 points in plane so that among any three of them there are two the distance between which is smaller than 1, prove that there exists a circle of radius 1 that contains not less than 13 of the given points.

In a unit square, there are 51 points. Prove that certain three of them can be covered by a disk of radius 17 .


385


k2−k+1

1
386 CHAPTER 21. DIRICHLET’S PRINCIPLE

Each of two equal disks is divided into 1985 equal sectors and on each of the disks

some 200 sectors are painted (one colour). One of the disks was placed upon the other one and they began rotating one of the disks through multiples of 3601985◦ . Prove that there exists at least 80 positions for which not more than 20 of the painted sectors of the disks coincide.

Each of 9 straight lines divides a square into two quadrilaterals the ratio of whose areas is 2 : 3. Prove that at least three of those nine straight lines pass through one point.

In a park, there grow 10, 000 trees planted by a so-called square-cluster method (100 rows of 100 trees each). What is the largest number of trees one has to cut down in order to satisfy the following condition: if one stands on any stump, then no other stump is seen (one may assume the trees to be sufficiently thin).

What is the least number of points one has to mark inside a convex n-gon in order for the interior of any triangle with the vertices at vertices of the n-gon to contain at least one of the marked points?

Point P is taken inside a convex 2n-gon. Through every vertex of the polygon and P a line is drawn. Prove that there exists a side of the polygon which has no common interior points with neither of the drawn straight lines.

Prove that any convex 2n-gon has a diagonal non-parallel to either of its sides.

The nodes of an infinite graph paper are painted three colours. Prove that there exists an isosceles right triangle with vertices of one colour.

Kết quả (Việt) 1:

§1. Trường hợp khi có finitely nhiều điểm, đường dây, vv. Các nút của một đồ thị vô hạn giấy được sơn hai màu sắc. Chứng minh rằng có tồn tại hai ngang và hai đường thẳng đứng trên giao lộ có nói dối điểm của cùng một màu sắc. Bên trong một tam giác đều với bên 1 năm điểm được đặt. Chứng minh rằng khoảng cách giữa nhất định hai người trong số họ là ngắn hơn 0,5. 3 × 4 hình chữ nhật có đặt 6 points.√Prove rằng trong số đó có nhữnghai điểm khoảng cách giữa mà không vượt quá 5. Trên một 8 × 8 checkboard Trung tâm của tất cả các tế bào được đánh dấu. Có thể chia bảng 13 đường thẳng vì vậy mà trong mỗi phần không có nhiều hơn 1 điểm đánh dấu? Cho 25 điểm trong máy bay như vậy trong bất kỳ ba của họ có hai khoảng cách giữa mà là nhỏ hơn 1, chứng minh rằng có tồn tại một hình tròn bán kính 1 có chứa không ít hơn 13 người trong số những điểm nhất định. Trong một hình vuông đơn vị, có 51 điểm. Chứng minh rằng một số ba trong số họ có thể được bao phủ bởi một đĩa bán kính 17. 385 K2−k + 11386 CHƯƠNG 21. NGUYÊN TẮC DIRICHLET Mỗi hai bằng đĩa này được chia thành năm 1985 bằng ngành và trên mỗi đĩamột số lĩnh vực 200 được sơn (một trong những màu sắc). Một của những đĩa được đặt theo một trong những khác và họ bắt đầu quay một đĩa thông qua các bội số của 3601985◦. Chứng minh rằng tồn tại ít nhất 80 vị trí mà không quá 20 lĩnh vực sơn đĩa trùng. Mỗi người trong số 9 đường thẳng chia hình vuông thành hai quadrilaterals tỷ lệ của các khu vực mà là 2:3. Chứng minh rằng ít nhất ba trong số những đường nét thẳng chín đi qua một điểm. Trong một công viên, có phát triển 10, 000 cây trồng bằng phương pháp gọi là square-cụm (100 hàng 100 cây). Những gì là một số lớn nhất của cây đã cắt giảm để đáp ứng các điều kiện sau đây: nếu một đứng vào gốc cây bất kỳ, sau đó không có gốc cây khác là được thấy (một trong những có thể giả định cây được sufficiently mỏng). Những gì là của ít nhất là số điểm người ta có đánh dấu bên trong một n-gon lồi để cho nội thất của bất kỳ tam giác có đỉnh tại đỉnh của n-gon có chứa ít nhất một trong các điểm đánh dấu? Điểm P được thực hiện bên trong một lồi 2n-gon. Qua mỗi đỉnh của đa giác và P một dòng được rút ra. Chứng minh rằng có tồn tại một bên của đa giác đã không có điểm nội thất phổ biến với cả vẽ đường thẳng. Chứng minh rằng bất kỳ lồi 2n-gon có một đường chéo không-song song với một trong hai mặt của nó. Các nút của một đồ thị vô hạn giấy được sơn ba màu sắc. Chứng minh rằng có tồn tại một tam giác cân với đỉnh của một màu sắc.

Kết quả (Việt) 2:

§1. Các trường hợp khi có hữu hạn nhiều điểm, đường, vv

Các nút của một giấy đồ thị vô hạn được sơn hai màu. Chứng minh rằng có tồn tại hai chiều ngang và hai đường thẳng đứng trên có điểm cùng màu nằm ngã tư.

Bên trong một tam giác đều có cạnh 1 năm điểm được đặt. Chứng minh rằng khoảng cách giữa một số hai trong số đó là ngắn hơn 0,5.
Trong một hình chữ nhật 3 × 4 có được đặt 6 points.√Prove rằng trong số đó có
hai điểm khoảng cách giữa chúng không vượt quá 5.

Trên một checkboard 8 × 8 các trung tâm của tất cả các tế bào được đánh dấu. Có thể chia các bảng bằng 13 đường thẳng vì vậy mà trong mỗi phần không có nhiều hơn 1 điểm đánh dấu?

Với 25 điểm trong mặt phẳng để trong bất kỳ ba trong số họ có hai khoảng cách giữa mà là nhỏ hơn 1, chứng minh rằng có tồn tại một vòng tròn bán kính 1 chứa không ít hơn 13 điểm nhất định.

trong một đơn vị vuông, có 51 điểm. Chứng minh rằng số ba trong số họ có thể được bao phủ bởi một đĩa bán kính 17.


385


k2-k + 1

1
386 CHƯƠNG 21. Dirichlet 's NGUYÊN TẮC

Mỗi hai đĩa bằng được chia thành 1.985 phần bằng nhau và trên mỗi đĩa

khoảng 200 ngành là sơn (một màu). Một trong những đĩa được đặt trên một trong những khác và họ bắt đầu quay một trong những đĩa thông qua bội số của 3601985◦. Chứng minh rằng có tồn tại ít nhất 80 vị trí mà không quá 20 của ngành sơn của những đĩa trùng.

Mỗi 9 đường thẳng chia hình vuông thành hai tứ giác tỷ lệ mà khu vực này là 2: 3. Chứng minh rằng ít nhất ba chín đường thẳng đi qua một điểm.

trong một công viên, có tăng 10, 000 cây trồng bằng phương pháp vuông cụm cái gọi là (100 dòng trong mỗi 100 cây). . Nếu đứng trên bất kỳ gốc cây, sau đó không có gốc cây khác được nhìn thấy (người ta có thể giả định rằng cây là su ffi ciently mỏng): số lượng lớn nhất của cây, người ta phải cắt giảm để đáp ứng các điều kiện sau đây là những gì

số lượng ít nhất là gì điểm người ta phải đánh dấu bên trong một lồi n-gon để cho nội thất của bất kỳ hình tam giác với đỉnh ở đỉnh của n-gon chứa ít nhất một trong các điểm đánh dấu?

Point P được thực hiện bên trong một lồi 2n-gon . Qua mỗi đỉnh của đa giác và P một đường vẽ. Chứng minh rằng có tồn tại một mặt của đa giác mà không có điểm nội thất phổ biến với cả các đường thẳng được vẽ.

Chứng minh rằng bất kỳ 2n-gon lồi có một không song song chéo tới một trong hai mặt của nó.

Các nút của một giấy vô hạn đồ thị là sơn ba màu. Chứng minh rằng có tồn tại một tam giác cân với đỉnh của một màu.