Chapter 3: Compositions of Transfor

Chapter 3: Compositions of Transformations
There are things which nobody would see unless I photographed them. DIANE ARBUS
In Lesson 7.2, you reflected a point, then reflected it again to find the path of a ball. When you apply one transformation to a figure and then apply another transformation to its image, the resulting transformation is called a composition of transformations. Let’s look at an example of a composition of two translations.
Triangle ABC with vertices A(−1, 0), B(4, 0), and C(2, 6) is first translated by the rule (x, y) → (x − 6 , y − 5 ), and then its image, A' B' C', is translated by the rule (x, y) → (x + 14 , y + 3 ). a. What single translation is equivalent to the composition of these two translations? b. What single translation brings the second image, A" B" C", back to the position of the original triangle, ABC ?
Draw ABC on a set of axes and relocate its vertices using the first rule to get A' B' C'. Then relocate the vertices of A' B' C' using the second rule to get A" B" C".
a. Each vertex is moved left 6 then right 14, and down 5 then up 3. So the equivalent single translation would be (x, y) → ( x − 6 + 14, y − 5 + 3 ) or (x, y) → ( x + 8, y − 2 ). You can also write this as a translation by 8, −2 .
EXAMPLE
Solution
© 2008 Key Curriculum Press
First, consider the case of parallel lines of reflection.
Step 1 On a piece of patty paper, draw a figure and a line of reflection that does not intersect it. Step 2 Fold to reflect your figure across the line of reflection and trace the image. Step 3 On your patty paper, draw a second reflection line parallel to the first so that the image is between the two parallel reflection lines. Step 4 Fold to reflect the image across the second line of reflection. Turn the patty paper over and trace the second image. Step 5 How does the second image compare to the original figure? Name the single transformation that transforms the original to the second image. Step 6 Use a compass or patty paper to measure the distance between a point in the original figure and its second image point. Compare this distance with the distance between the parallel lines. How do they compare? Step 7 Compare your findings with those of others in your group and state your conjecture.
384 CHAPTER 7 Transformations and Tessellations
Reflections across Parallel Lines Conjecture A composition of two reflections across two parallel lines is equivalent to a single In addition, the distance from any point to its second image under the two reflections is the distance between the parallel lines.
Reflections across Two Parallel Lines
patty paper
b. Reversing the steps, the translation by −8, 2 brings the second image, A" B" C", back to ABC.
In the investigations you will see what happens when you compose reflections.
Is a composition of reflections always equivalent to a single reflection? If you reverse the reflections in a different order, do you still get the original figure back? Can you express a rotation as a set of reflections?
© 2008 Key Curriculum Press
Reflections across Two Intersecting Lines
LESSON 7.3 Compositions of Transformations 385
patty paper a protractor
Next, you will explore the case of intersecting lines of reflection.
Step 1 On a piece of patty paper, draw a figure and a reflection line that does not intersect it. Step 2 Fold to reflect your figure across the line and trace the image. Step 3 On your patty paper, draw a second reflection line intersecting the first so that the image is in an acute angle between the two intersecting reflection lines. Step 4 Fold to reflect the first image across the second line and trace the second image.
Step 5 Draw two rays that start at the point of intersection of the two intersecting lines and that pass through corresponding points on the original figure and its second image. Step 6 How does the second image compare to the original figure? Name the single transformation from the original to the second image. Step 7 With a protractor or patty paper, compare the angle created in Step 5 with the acute angle formed by the intersecting reflection lines. How do the angles compare? Step 8 Compare findings in your group and state your next conjecture.
Reflections across Intersecting Lines Conjecture A composition of two reflections across a pair of intersecting lines is equivalent to a single The angle of is the acute angle between the pair of intersecting reflection lines.
© 2008 Key Curriculum Press
386 CHAPTER 7 Transformations and Tessellations
EXERCISES 1. Name the single translation vector that can replace the composition of these three translation vectors: 2, 3 , then –5, 7 , then 13, 0 . 2. Name the single rotation that can replace the composition of these three rotations about the same center of rotation: 45°, then 50°, then 85°. What if the centers of rotation differ? Draw a figure and try it. 3. Lines m and n are parallel and 10 cm apart. a. Point A is 6 cm from line m

Kết quả (Việt) 1:

Chương 3: Bố cục của biến đổiCó những điều mà không ai sẽ nhìn thấy trừ khi tôi chụp ảnh. DIANE ARBUSTrong bài học 7.2, bạn phản ánh một điểm, sau đó được phản ánh nó một lần nữa để tìm con đường của một quả bóng. Khi bạn áp dụng một biến đổi cho một con số và sau đó áp dụng một chuyển đổi cho hình ảnh của mình, việc chuyển đổi kết quả được gọi là một thành phần của phép biến đổi. Hãy nhìn vào một ví dụ về một thành phần của hai bản dịch.Tam giác ABC có đỉnh A (−1, 0), B (4, 0) và C (2, 6) đầu tiên được dịch bởi quy tắc (x, y) → (x − 6, y − 5), và sau đó hình ảnh của mình, một 'C B' ', được dịch bởi → cai trị (x, y) (x + 14, y + 3). a. đơn dịch là tương đương với thành phần của các bản dịch này hai? b. những bản dịch đơn mang đến hình ảnh thứ hai, một "B" C", trở lại vị trí ban đầu hình tam giác, ABC?Vẽ ABC trên một tập của trục và di dời đỉnh của nó bằng cách sử dụng nguyên tắc đầu tiên để có được một 'C B' '. Sau đó di chuyển các đỉnh a ' B' C' bằng cách sử dụng quy tắc thứ hai để có được một "B" C ".a. mỗi đỉnh được di chuyển trái 6 sau đó ngay 14, và xuống 5 rồi lên 3. Vì vậy, các bản dịch tương đương đơn sẽ là (x, y) → (x − 6 + 14, y − 5 + 3) hoặc (x, y) → (x + 8, y − 2). Bạn cũng có thể viết thư này như là một bản dịch bằng 8, −2. VÍ DỤGiải pháp© 2008 chính chương trình báo chíTrước tiên, hãy xem xét trường hợp của đường thẳng song song của sự phản ánh.Bước 1 trên một mảnh giấy patty, vẽ một con số và một dòng phản ánh không giao nhau đó. Bước 2 lần để phản ánh các con số của bạn trên dòng phản ánh và theo dõi các hình ảnh. Bước 3 trên giấy của bạn patty, vẽ một đường phản xạ thứ hai song song với đầu tiên vì vậy mà hình ảnh nằm giữa hai đường song song phản ánh. Bước 4 lần để phản ánh hình ảnh trên dòng thứ hai của sự phản ánh. Biến patty giấy trên và theo dõi hình ảnh thứ hai. Bước 5 cách so sánh hình ảnh thứ hai để con số ban đầu? Tên biến đổi đơn biến đổi ban đầu để hình ảnh thứ hai. Bước 6 sử dụng một la bàn hoặc patty giấy để đo khoảng cách từ một điểm trong hình gốc và điểm ảnh thứ hai của mình. So sánh khoảng cách này với khoảng cách giữa các đường thẳng song song. Làm thế nào để họ so sánh? Bước 7 so sánh kết quả của bạn với những người khác trong nhóm và tiểu bang của bạn phỏng đoán của bạn.384 chương 7 biến đổi và TessellationsPhản ánh trên thành phần song song dòng phỏng đoán A hai phản ánh trên hai đường thẳng song song là tương đương với một duy nhất Ngoài ra, khoảng cách từ bất kỳ điểm đến hình ảnh thứ hai của mình theo các phản xạ hai là khoảng cách giữa các đường thẳng song song.Phản ánh trên hai đường thẳng song songPatty giấyb. đảo ngược các bước, Dịch bởi −8, 2 mang đến hình ảnh thứ hai, một "B" C", trở lại để ABC.Trong các cuộc điều tra, bạn sẽ thấy những gì sẽ xảy ra khi bạn soạn phản xạ.Là một phần của phản xạ luôn luôn tương đương với một sự phản ánh đơn? Nếu bạn đảo ngược các phản xạ theo một thứ tự khác nhau, làm bạn vẫn nhận được con số ban đầu trở lại? Bạn có thể nhận một xoay như là một tập hợp các phản xạ?© 2008 chính chương trình báo chíPhản ánh trên hai đường giao nhauBÀI các tác phẩm 7.3 của biến đổi 385Patty giấy một protractorTiếp theo, bạn sẽ khám phá vụ án đường giao nhau của sự phản ánh.Bước 1 trên một mảnh giấy patty, vẽ một con số và một dòng phản ánh không giao nhau đó. Bước 2 lần để phản ánh các con số của bạn trên đường và theo dõi các hình ảnh. Bước 3 trên giấy của bạn patty, vẽ một đường phản xạ thứ hai giao nhau lần đầu tiên vì vậy mà hình ảnh ở một góc cấp tính giữa hai dòng phản ánh giao nhau. Bước 4 lần để phản ánh hình ảnh đầu tiên trên dòng thứ hai và theo dõi hình ảnh thứ hai.Bước 5 vẽ hai tia bắt đầu tại điểm giao lộ của các đường giao nhau hai và đó đi qua điểm tương ứng trên hình gốc và hình ảnh thứ hai của mình. Bước 6 cách so sánh hình ảnh thứ hai để con số ban đầu? Tên biến đổi đơn từ gốc để hình ảnh thứ hai. Bước 7 với một giấy protractor hoặc patty, so sánh các góc được tạo ở bước 5 với góc cấp tính được hình thành bởi các đường giao nhau phản ánh. Các góc độ so sánh như thế nào? Bước 8 so sánh kết quả trong nhóm và tiểu bang của bạn phỏng đoán tiếp theo của bạn.Phản xạ qua phỏng đoán giao nhau đường một phần hai phản ánh trên một cặp của các đường giao nhau là tương đương với một góc là góc giữa các cặp giao nhau phản ánh dòng cấp tính.© 2008 chính chương trình báo chí386 chương 7 biến đổi và TessellationsBÀI TẬP 1. Tên vector đơn dịch thuật có thể thay thế các thành phần của các dịch ba vectơ: 2, 3, sau đó –5, 7, sau đó 13, 0. 2. tên xoay duy nhất có thể thay thế các thành phần của các phép quay ba cùng tâm quay: 45°, 50°, sau đó 85°. Nếu các trung tâm của vòng quay khác nhau? Vẽ một nhân vật và thử nó. 3. dòng m và n là song song và 10 cm ngoài. a. điểm A là 6 cm từ dòng m

Kết quả (Việt) 2:

Chương 3: Các chế phẩm biến đổi
Có những điều mà không ai có thể nhìn thấy, trừ khi tôi chụp ảnh chúng. Diane Arbus
Trong Lesson 7.2, bạn phản ánh một điểm, sau đó phản ánh nó một lần nữa để tìm ra con đường của một quả bóng. Khi bạn áp dụng một biến đổi đến một con số và sau đó áp dụng một chuyển đổi để hình ảnh của mình, việc chuyển đổi kết quả được gọi là một thành phần của phép biến đổi. Hãy xem xét một ví dụ về một thành phần của hai bản dịch.
Tam giác ABC có đỉnh A (-1, 0), B (4, 0) và C (2, 6) lần đầu tiên được dịch bởi các quy tắc (x, y) → (x - 6 y - 5), và sau đó hình ảnh của mình, A 'B' C ', được dịch bởi các quy tắc (x, y) → (x + 14, y + 3). a. Những bản dịch duy nhất là tương đương với các thành phần của hai bản dịch này? b. Những bản dịch duy nhất mang lại hình ảnh thứ hai, A "B" C ", trở lại vị trí của tam giác ban đầu, ABC?
Vẽ ABC trên một tập hợp các trục và di chuyển các đỉnh của nó bằng cách sử dụng quy tắc đầu tiên để có được A 'B' C '. sau đó di chuyển các đỉnh của A 'B' C 'bằng cách sử dụng quy tắc thứ hai để có được A "B" C ".
a. Mỗi đỉnh này được di rời 6 sau đó đúng 14, và giảm 5 sau đó lên 3. Vì vậy, các bản dịch duy nhất tương đương sẽ là (x, y) → (x - 6 + 14, y - 5 + 3) hoặc (x, y) → (x + 8, y - 2). Bạn cũng có thể viết thư này như một bản dịch bằng 8, -2.
VÍ DỤ
Solution
© 2008 Key Curriculum Press
Đầu tiên, hãy xem xét trường hợp của đường song song phản xạ.
Bước 1 Mở một mảnh giấy patty, vẽ một hình và một dòng suy tư không giao nhau đó. Bước 2 Fold để phản ánh con số của bạn qua dòng suy tư và theo dõi các hình ảnh. Bước 3 Trên giấy tờ patty của bạn, vẽ một đường phản xạ song song thứ hai để là người đầu tiên để hình ảnh là giữa hai dòng suy nghĩ song song. Bước 4 Fold để phản ánh hình ảnh trên dòng thứ hai của sự phản ánh. Xoay giấy patty hơn và theo dõi những hình ảnh thứ hai. Bước 5 Làm thế nào để hình ảnh thứ hai so sánh với con số ban đầu? Đặt tên cho chuyển đổi duy nhất mà biến đổi ban đầu để hình ảnh thứ hai. Bước 6 Sử dụng giấy la bàn hoặc patty để đo khoảng cách giữa một điểm trong con số ban đầu và điểm ảnh thứ hai của mình. So sánh khoảng cách này với khoảng cách giữa các đường song song. Làm thế nào để họ so sánh? Bước 7 So sánh kết quả của bạn với những người khác trong nhóm của bạn và nêu giả thuyết của bạn.
384 Chương 7 Các phép biến đổi và Tessellations
Reflections trên song song dòng Conjecture Một thành phần của hai phản xạ trên hai đường thẳng song song là tương đương với một đơn Ngoài ra, khoảng cách từ bất kỳ điểm nào để hình ảnh thứ hai của mình theo hai phản xạ là khoảng cách giữa các đường song song.
Reflections trên hai Parallel Lines
patty giấy
b. Đảo ngược các bước, bản dịch của -8, 2 mang đến hình ảnh thứ hai, A "B" C ", trở lại với ABC.
Trong các cuộc điều tra, bạn sẽ thấy những gì sẽ xảy ra khi bạn soạn phản xạ.
Là một thành phần của phản xạ luôn luôn tương đương với một đơn phản ánh? Nếu bạn đảo ngược các phản xạ theo một thứ tự khác nhau, bạn vẫn có được những con số ban đầu trở lại? bạn có thể thể hiện một vòng quay như một tập hợp các phản xạ?
© 2008 Chương trình chính Press
Reflections qua hai giao nhau dòng
bài 7.3 các chế phẩm biến đổi 385
giấy patty một thước đo
Tiếp theo, bạn sẽ khám phá những trường hợp giao nhau đường phản xạ.
Bước 1 Mở một mảnh giấy patty, vẽ một hình và một dòng suy nghĩ mà không cắt nó. Bước 2 Fold để phản ánh con số của bạn trên đường và theo dõi các hình ảnh. Bước 3 trên giấy tờ patty của bạn, vẽ một đường phản xạ thứ hai giao nhau đầu tiên để hình ảnh nằm trong một góc hẹp giữa hai dòng suy tư giao nhau. Bước 4 Fold để phản ánh hình ảnh đầu tiên trên dòng thứ hai và theo dõi các hình ảnh thứ hai .
Bước 5 Vẽ hai tia mà bắt đầu tại điểm giao nhau của hai đường giao nhau và đi qua điểm tương ứng trên hình gốc và hình ảnh thứ hai của mình. Bước 6 Làm thế nào để hình ảnh thứ hai so sánh với con số ban đầu? Đặt tên cho việc chuyển đổi đơn từ bản gốc để hình ảnh thứ hai. Bước 7 Với một giấy thước đo góc hoặc patty, so sánh các góc tạo ra trong bước 5 với các góc hẹp hình thành bởi những dòng suy tư giao nhau. Làm thế nào để các góc độ so sánh? Bước 8 So sánh những phát hiện trong nhóm của bạn và nêu giả thuyết tiếp theo của bạn.
Những phản ánh qua giao nhau dòng Conjecture Một thành phần của hai phản xạ trên một cặp đường giao nhau là tương đương với một đơn Các góc là góc nhọn giữa các cặp giao nhau đường phản ánh.
© 2008 Giáo trình chính Press
386 CHƯƠNG 7 các phép biến đổi và Tessellations
Bài tập 1. Tên vector bản dịch duy nhất có thể thay thế các thành phần của ba vectơ dịch: 2, 3, sau đó -5, 7, khi đó 13 tuổi, 0. 2. Tên vòng xoay duy nhất có thể thay thế các thành phần của ba phép quay về trung tâm cùng quay: 45 °, sau đó 50 °, sau đó 85 °. Điều gì nếu các trung tâm của vòng quay khác nhau? Vẽ một hình và thử nó. 3. Các đường kẻ m và n là song song và 10 cm. a. Điểm A là 6 cm từ dòng m