Section 13.11: Change of Variables

Section 13.11: Change of Variables in Multiple Integrals
A change of variables can be useful when evaluating double or triple integrals. For
instance, changing from Cartesian coordinates to polar coordinates is often useful. A change
of variables can usually be described by a transformation.
Definition: A transformation T from the uv-plane to the xy-plane is a function which maps
points (u, v) to points (x, y) according to the rule:
T(u, v) = (x(u, v), y(u, v)) = (x, y).
A transformation T maps a region S in the uv-plane to a region R in the xy-plane called
the image of S. That is,
R = {T(u, v)|(u, v) ∈ S}.
We will usually work with C
1
transformations which are transformations whose component
functions x(u, v) and y(u, v) have continuous first-order partial derivatives.
Example: Find the image of the set S = {(u, v)|0 ≤ u ≤ 2, 0 ≤ v ≤ 1} under the transformation
T defined by the equations x = u − 2v and y = 2u − v.
The rectangular region S = [0, 2] × [0, 1] in the uv-plane is mapped to the parallelogram in
the xy-plane with vertices (0, 0), (2, 4), (−2, −1), and (0, 3).
Definition: The Jacobian of the transformation T defined by x = x(u, v) and y = y(u, v) is
∂(x, y)
∂(u, v)
=







∂x
∂u
∂x
∂v ∂y
∂u
∂y
∂v







=
∂x
∂u
∂y
∂v −
∂x
∂v
∂y
∂u.
Example: Find the Jacobian of the transformation defined by x = r cos θ and y = r sin θ.
The Jacobian of the transformation is
∂(x, y)
∂(r, θ)
=




cos θ −r sin θ
sin θ r cos θ



 = r(cos2
θ + sin2
θ) = r.
Theorem: (Change of Variables in a Double Integral)
Suppose that T is a one-to-one C
1
transformation that maps a region S in the uv-plane to
a region R in the xy-plane and whose Jacobian is nonzero. Suppose that f is continuous on
R and that R and S are type I or type II regions. Then
Z Z
R
f(x, y)dxdy =
Z Z
S
f(x(u, v), y(u, v))




∂(x, y)
∂(u, v)




dudv.
Example: Use the change of variables x = 2u and y = 3v to evaluate Z Z
R
x
2
dA, where R is
the region bounded by the ellipse 9x
2 + 4y
2 = 36.
The given transformation maps the ellipse to a circle:
9x
2 + 4y
2 = 36
x
2
4
+
y
2
9
= 1
u
2 + v
2 = 1.
The Jacobian of this transformation is
∂(x, y)
∂(u, v)
=




2 0
0 3




= 6.
By the previous theorem,
Z Z
R
x
2
dA = 6 Z Z 4u
2
dA
= 24 Z 2π
0
Z 1
0
r
3
cos2
θdrdθ
= 6 Z 2π
0
cos2
θdθ
= 3 Z 2π
0
(1 + cos 2θ)dθ
= 3 
θ +
1
2
sin 2θ




2π
0
= 6π.
Example: Use the transformation defined by x =
u
v
and y = v to evaluate Z Z
R
xydA, where R
is the region in the first quadrant bounded by the lines y = x and y = 3x and the hyperbolas
xy = 1 and xy = 3.
The given transformation maps the hyperbolas xy = 1 and xy = 3 to the lines u = 1 and
u = 3 and maps the lines y = x and y = 3x to the parabolas v =
√
u and v =
√
3u. The
Jacobian of this transformation is
∂(x, y)
∂(u, v)
=





1
v
−
u
v
2
0 1





=
1
v
.
By the previous theorem,
Z Z
R
xydA =
Z Z
S
u
v
dA
=
Z 3
1
Z √
3u
√
u
u
v
dvdu
=
Z 3
1
u
h
ln(√
3u) − ln(√
u)
i
du
=
1
2
Z 3
1
ln(3)udu
=
ln(3)
4
u
2




3
1
= 2 ln(3).
Example: Make an appropriate change of variables to evaluate RR
R
5 cos 
9
y−x
y+x

dA, where R
is the trapezoidal region with vertices (2, 0), (5, 0), (0, 5), and (0, 2).
Let u = y − x and v = y + x. Then x =
1
2
(v − u) and y =
1
2
(u + v). This transformation
maps the vertices of R to (−2, 2), (−5, 5), (0, 5), and (2, 2). The region S can be described
as
S = {(u, v)|2 ≤ v ≤ 5, −v ≤ u ≤ v}.
The Jacobian of the transformation is
∂(x, y)
∂(u, v)
=







−
1
2
1
2
1
2
1
2







= −
1
2
.
By the Theorem,
Z Z
R
5 cos 
9
y − x
y + x

dA = 5 Z Z
S
cos 
9u
v
 1
2

dA
=
5
2
Z 5
2
Z v
−v
cos 
9u
v

dudv
=
5
18 Z 5
2
sin 
9u
v




v
−v
dv
=
5
18 Z 5
2
v(sin(9) − sin(−9))dv
=
5
9
sin(9) Z 5
2
vdv
=
5
18
sin(9)(25 − 4)
=
35
6
sin(9).
There is a similar change of variables formula for triple integrals. Consider a C
1
transformation
T that maps a region S in uvw-space to a region R in xyz-space according to the
rule:
T(u, v, w) = (x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)) = (x, y, z).
The Jacobian of this transformation is
∂(x, y, z)
∂(u, v, w)
=










∂x
∂u
∂x
∂v
∂x
∂w ∂y
∂u
∂y
∂v
∂y
∂w ∂z
∂u
∂z
∂v
∂z
∂w










.
Theorem: (Change of Variables in a Triple Integral)
Suppose that T is a one-to-one C
1
transformation that maps a region S in uvw-space to a
region R in xyz-space and whose Jacobian is nonzero. Suppose that f is continuous on R
and that R and S are type 1, 2, or 3 regions. Then
Z Z Z
R
f(x, y, z)dxdydz =
Z Z Z
S
f(x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w))




∂(x, y, z)
∂(u, v, w)




dudvdw.

Kết quả (Việt) 1:

Phần 13.11: Thay đổi của các biến trong nhiều tích phânMột sự thay đổi của biến thể hữu ích khi đánh giá tích phân đôi hoặc gấp ba lần. ChoVí dụ, thay đổi từ tọa độ Descartes với tọa độ cực là thường hữu ích. Một sự thay đổibiến thường có thể được mô tả bởi một biến đổi.Định nghĩa: Một biến đổi T từ uv máy bay với xy-phẳng là một hàm mà bản đồđiểm (u, v) đến điểm (x, y) theo các quy tắc:T (u, v) = (x (u, v), y (u, v)) = (x, y).Một biến đổi T ánh xạ một vùng S trong uv máy bay tới một khu vực R trong xy-phẳng được gọi làhình ảnh của S. Đó làR = {T (u, v) | () u, v) ∈ S}.Chúng tôi sẽ thường làm việc với C1biến đổi được biến đổi thành phần màchức năng x(u, v) và y (u, v) đã liên tục đầu tiên để một phần derivatives.Ví dụ: Tìm thấy hình ảnh của bộ S = {(u, v) |0 ≤ u ≤ 2, 0 ≤ v ≤ 1} theo sự chuyển đổiT được xác định bởi các phương trình x = u − 2v và y = 2u − v.Khu vực hình chữ nhật S = [0, 2] x [0, 1] trong uv máy bay là ánh xạ tới hình bình hành trongxy-máy bay với đỉnh (0, 0), (2, 4), (−2, −1), và (0, 3).Định nghĩa: Jacobi chuyển đổi T được xác định bởi x = x(u, v) và y = y (u, v) là∂ (x, y)∂ (u, v)=∂x∂u∂x∂v ∂y∂u∂y∂v=∂x∂u∂y∂v −∂x∂v∂y∂u.Ví dụ: Tìm Jacobi chuyển đổi được xác định bởi x = r cos i và y = r sin θ.Jacobi sự chuyển đổi là∂ (x, y)∂(r, θ)=cos θ −r sin θsin θ r cos θ = r(cos2θ + sin2θ) = r.Theorem: (Change of Variables in a Double Integral)Suppose that T is a one-to-one C1transformation that maps a region S in the uv-plane toa region R in the xy-plane and whose Jacobian is nonzero. Suppose that f is continuous onR and that R and S are type I or type II regions. ThenZ ZRf(x, y)dxdy =Z ZSf(x(u, v), y(u, v))∂(x, y)∂(u, v)dudv.Example: Use the change of variables x = 2u and y = 3v to evaluate Z ZRx2dA, where R isthe region bounded by the ellipse 9x2 + 4y2 = 36.The given transformation maps the ellipse to a circle:9x2 + 4y2 = 36x24+y29= 1u2 + v2 = 1.The Jacobian of this transformation is∂(x, y)∂(u, v)=2 00 3= 6.By the previous theorem,Z ZRx2dA = 6 Z Z 4u2dA= 24 Z 2π0Z 10r3cos2θdrdθ= 6 Z 2π0cos2θdθ= 3 Z 2π0(1 + cos 2θ)dθ= 3 θ +12sin 2θ2π0= 6π.Example: Use the transformation defined by x =uvand y = v to evaluate Z ZRxydA, where Ris the region in the first quadrant bounded by the lines y = x and y = 3x and the hyperbolasxy = 1 and xy = 3.The given transformation maps the hyperbolas xy = 1 and xy = 3 to the lines u = 1 andu = 3 and maps the lines y = x and y = 3x to the parabolas v =√u and v =√3u. TheJacobian of this transformation is∂(x, y)∂(u, v)=1v−uv20 1=1v.By the previous theorem,Z ZRxydA =Z ZSuvdA=Z 31Z √3u√uuvdvdu=Z 31uhln(√3u) − ln(√u)idu=12Z 31ln(3)udu=ln(3)4u231= 2 ln(3).Example: Make an appropriate change of variables to evaluate RRR5 cos 9y−xy+xdA, where Ris the trapezoidal region with vertices (2, 0), (5, 0), (0, 5), and (0, 2).Let u = y − x and v = y + x. Then x =12(v − u) and y =12(u + v). This transformationmaps the vertices of R to (−2, 2), (−5, 5), (0, 5), and (2, 2). The region S can be describedasS = {(u, v)|2 ≤ v ≤ 5, −v ≤ u ≤ v}.The Jacobian of the transformation is∂(x, y)∂(u, v)=−12121212= −12.By the Theorem,Z ZR5 cos 9y − xy + xdA = 5 Z ZScos 9uv 12dA=52Z 52Z v−vcos 9uvdudv=518 Z 52sin 9uvv−vdv=518 Z 52v(sin(9) − sin(−9))dv=59sin(9) Z 52vdv=518sin(9)(25 − 4)=356sin(9).There is a similar change of variables formula for triple integrals. Consider a C1transformationT that maps a region S in uvw-space to a region R in xyz-space according to therule:T(u, v, w) = (x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)) = (x, y, z).The Jacobian of this transformation is∂(x, y, z)∂(u, v, w)=∂x∂u∂x∂v∂x∂w ∂y∂u∂y∂v∂y∂w ∂z∂u∂z∂v∂z∂w.Theorem: (Change of Variables in a Triple Integral)Suppose that T is a one-to-one C1transformation that maps a region S in uvw-space to aregion R in xyz-space and whose Jacobian is nonzero. Suppose that f is continuous on Rand that R and S are type 1, 2, or 3 regions. ThenZ Z ZRf(x, y, z)dxdydz =Z Z ZSf(x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w))∂(x, y, z)∂(u, v, w)dudvdw.

Kết quả (Việt) 2:

Mục 13.11: Thay đổi biến trong Nhiều Tích
Một sự thay đổi của các biến số có thể hữu ích khi đánh giá tích gấp đôi hoặc gấp ba. Ví
dụ, thay đổi từ Cartesian tọa độ đến tọa độ cực thường có ích. Một sự thay đổi
của các biến thường có thể được mô tả bởi một chuyển đổi.
Định nghĩa: Một chuyển đổi T từ uv-máy bay đến xy-máy bay là một chức năng mà bản đồ
điểm (u, v) đến điểm (x, y) theo quy tắc:
T (u, v) = (x (u, v), y (u, v)) = (x, y).
Một chuyển đổi T bản đồ một khu vực S trong uv-máy bay đến một khu vực R trong xy-máy bay gọi là
hình ảnh của S. Đó là,
R = {T (u, v) | (u, v) ∈ S}.
Chúng tôi sẽ thường làm việc với C
1
biến đổi đó là biến đổi mà thành phần
chức năng x (u, v) và y (u, v) có thứ tự đầu tiên dẫn một phần liên tục.
Ví dụ: Tìm các hình ảnh của tập S = {(u, v) | 0 ≤ u ≤ 2, 0 ≤ v ≤ 1} trong việc chuyển đổi
T được xác định bởi phương trình x = u - 2v và y = 2u - v.
Các hình chữ nhật khu vực S = [0, 2] × [0, 1] trong uv-plane được ánh xạ tới các hình bình hành trong
các xy-máy bay với đỉnh (0, 0) , (2, 4), (-2, -1) và (0, 3).
Định nghĩa: Jacobian của việc chuyển đổi T được xác định bởi x = x (u, v) và y = y (u, v) là
∂ (x, y)
∂ (u, v)
= ∂x ∂u ∂x ∂v ∂y ∂u ∂y ∂v = ∂x ∂u ∂y ∂v - ∂x ∂v ∂y ∂u. Ví dụ: Tìm Jacobian của việc chuyển đổi được xác định bởi x = r cos θ và y = r sin θ. Các Jacobian của việc chuyển đổi là ∂ (x, y) ∂ (r, θ) = cos θ r sin θ sin θ r cos θ  = r (cos2 θ + sin2 θ) = r. Định lý: (Thay đổi biến trong một Integral Double) Giả sử T là một one-to-one C 1 chuyển đổi mà các bản đồ một khu vực S trong uv-máy bay đến một khu vực R trong xy-máy bay và có Jacobian là khác không. Giả sử f là liên tục trên R và R và S là loại I hoặc loại II vùng. Sau đó ZZ R f (x, y) dxdy = ZZ S f (x (u, v), y (u, v)) ∂ (x, y) ∂ (u, v) dudv. Ví dụ: Sử dụng các thay đổi của các biến x = 2u và y = 3V để đánh giá ZZ R x 2 dA, trong đó R là khu vực được giới hạn bởi các ellipse 9x 2 + 4Y 2 = 36. Các biến đổi cho bản đồ hình elip với một vòng tròn: 9x 2 + 4Y 2 = 36 x 2 4 + y 2 9 = 1 u 2 + v 2 = 1. Các Jacobian của chuyển đổi này là ∂ (x, y) ∂ (u, v) = 2 0 0 3 = 6. By định lý trước đó, ZZ R x 2 dA = 6 ZZ 4u 2 dA = 24 Z 2π 0 Z 1 0 r 3 cos2 θdrdθ = 6 Z 2π 0 cos2 θdθ = 3 Z 2π 0 (1 + cos 2θ) dθ = 3? θ + 1 2 sin 2θ? 2π 0 = 6π. Ví dụ: Sử dụng các chuyển đổi được xác định bởi x = u v và y = v để đánh giá ZZ R xydA, trong đó R là các khu vực trong góc phần tư đầu tiên được giới hạn bởi các đường y = x và y = 3x và hyperbolas xy = 1 và xy = 3. Việc chuyển đổi được bản đồ các hyperbolas xy = 1 và xy = 3 với các dòng u = 1 và u = 3 và bản đồ các đường y = x và y = 3x cho parabol v = √ u và v = √ 3U. Các Jacobian của chuyển đổi này là ∂ (x, y) ∂ (u, v) = 1 v - u v 2 0 1 = 1 v. Bởi lý trước đó, ZZ R xydA = ZZ S u v dA = Z 3 1 Z √ 3U √ u u v dvdu = Z 3 1 u h ln (√ 3U) - ln (√ u) i du = 1 2 Z 3 1 ln (3) udu = ln (3) 4 u 2 3 1 = 2 ln (3). Ví dụ: Thực hiện một thay đổi thích hợp của các biến để đánh giá RR R? 5 cos 9 y-x y + x? dA, trong đó R là khu vực hình thang với đỉnh (2, 0), (5, 0), ( 0, 5), và (0, 2). Hãy để u = y - x và v = y + x. Sau đó x = 1 2 (v - u) và y = 1 2 (u + v). Sự chuyển đổi này bản đồ các đỉnh của R để (-2, 2), (-5, 5), (0, 5), và (2, 2). Các khu vực S có thể được mô tả như là S = {(u, v) | 2 ≤ v ≤ 5, v ≤ u ≤ v}. Các Jacobian của việc chuyển đổi là ∂ (x, y) ∂ (u, v) = - 1 2 1 2 1 2 1 2 = - 1 2. Bởi lý, ZZ R 5 cos? 9 y - x y + x? dA = 5 ZZ S cos? 9u v? ? 1 2? DA = 5 2 Z 5 2 Z v v? Cos 9u v? Dudv = 5 18 Z 5 2 sin? 9u v? V v dv = 5 18 Z 5 2 v (sin (9) - sin (-9)) dv = 5 9 sin (9) Z 5 2 VDV = 5 18 sin (9) (25 - 4) = 35 6. sin (9) Có một sự thay đổi tương tự như của các biến công thức tích phân ba. Hãy xem xét một C 1 chuyển đổi T mà các bản đồ một khu vực S trong UVW-không gian đến một khu vực R trong xyz-không gian theo các quy tắc: T (u, v, w) = (x (u, v, w), y (u , v, w), z (u, v, w)) = (x, y, z). Các Jacobian của chuyển đổi này là ∂ (x, y, z) ∂ (u, v, w) = ∂x ∂ u ∂x ∂v ∂x ∂w ∂y ∂u ∂y ∂v ∂y ∂w ∂z ∂u ∂z ∂v ∂z ∂w. Định lý: (Thay đổi biến trong một Integral Ba) Giả sử T là một one-to-one C 1 chuyển đổi mà các bản đồ một khu vực S trong UVW-không gian đến một khu vực R trong xyz-không gian và có Jacobian là khác không. Giả sử rằng f là liên tục trên R và R và S là loại 1, 2, hoặc 3 miền. Sau đó Z ZZ R f (x, y, z) dxdydz = ZZZ S f (x (u, v, w), y (u, v, w), z (u, v, w)) ∂ (x, y , z) ∂ (u, v, w) dudvdw.